Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy; h là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=3a,BC=4a,SA=12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122
Công thức 2: Khối tứ diện vuông [đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1]
Công thức 3: Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp [đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1]
Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy; h là độ dài cạnh bên.
Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.
Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng
Tham khảo các bài học khác
Phương pháp chung:
- Bước 1: Xác định tâm của đáy từ đó dựng đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.
- Bước 2: Dựng mặt phẳng trung trực [P] của cạnh bên bất kì.
- Bước 3: Tâm của mặt cầu là giao điểm của d và [P].
Dạng 1: Hình chóp đều.
Gọi h là chiều cao của hình chóp, a là độ dài cạnh bên của hình chóp. Ta có $$R=\frac{a^{2}}{2h}.$$ |
Giải: Gọi O là tâm của tam giác ABC, suy ra $SO=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.
Tam giác SOA vuông tại O nên $SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a}{2}$.
Áp dụng công thức $R=\frac{7a}{12}$.
Bài tập áp dụng
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.
=> Hướng dẫn giải
Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Gọi h, r là chiều cao và bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Ta có $$R=\sqrt{[\frac{h}{2}]^{2}+r^{2}}.$$ |
Giải: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
$r=AG=\frac{2}{3} AM= \frac{a \sqrt{3}}{3}$, h=SA=a.
Áp dụng công thức, ta có $R=\sqrt{[\frac{a}{2}]^{2}+[\frac{a \sqrt{3}}{3}]^{2}}=\frac{a \sqrt{21} }{6} $.
Bài tập áp dụng
Câu 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=2a, OC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB=a và $\widehat{BAC}=120^{0}$. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy [ABC]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt phẳng [ABCD] và SC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.
=> Hướng dẫn giải
Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Gọi $R_{b}, R_{d}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy, GT là độ dài giao tuyến mặt bên đó và đáy. Ta có $$ R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}.$$ |
Giải: Giao tuyến của [SAB] với [ABCD] là AB.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{d}=AO=\frac{a \sqrt{2}}{2}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên $R=SG=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.
Áp dụng công thức $R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}=\frac{a \sqrt{21}}{6}$.
Bài tập áp dụng:
Câu 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=$a \sqrt{2}$. Cạnh bên $SA=a \sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc với mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Câu 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. Mặt phẳng [SAB] vuông góc với đáy, SA=SB=2a, $\widehat{ASB}=120^{0}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
=> Hướng dẫn giải
Page 2
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, suy ra $SO \perp [ABCD]$.
$AO= \frac{AC}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}$
Xét tam giác SAO vuông tại O ta có $SO= \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a \sqrt{34}}{2}.$
Áp dụng công thức $R=\frac{SA^{2}}{2. SO}=\frac{9a \sqrt{34}}{34}$.
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó
Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp
-
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó
Điều kiện cần và đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp
-
Đáy là một đa giác nội tiếp
Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
$R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left[ \dfrac{h}{2} \right]}^{2}}}.$
Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.
Ví dụ 1.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=3a,BC=4a,SA=12a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$
| A. $R=\frac{13a}{2}.$ | B. $R=6a.$ | C. $R=\frac{17a}{2}.$ | D. $R=\frac{5a}{2}.$ |
Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122
Giải.Ta có ${{R}_{d}}=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}}{2}=\frac{5a}{2}.$
Vậy $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left[ \frac{h}{2} \right]}^{2}}}=\sqrt{{{\left[ \frac{5a}{2} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{12a}{2} \right]}^{2}}}=\frac{13a}{2}.$ Chọn đáp án A.
Công thức 2: Khối tứ diện vuông [đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1]
Khối tứ diện vuông $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc có \[R=\frac{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}.\]
Ví dụ 1:Khối tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng $\sqrt{3}.$ Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $OABC$ bằng
| A. $\frac{4}{3}.$ | B. $8.$ | C. $\frac{8}{3}.$ | D. $8.$ |
Giải. Ta có $R=\frac{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}=\sqrt{3}\Leftrightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=12.$
Mặt khác ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}.OA.OB.OC$ và theo bất đẳng thức AM – GM ta có:
\[12=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{O{{A}^{2}}.O{{B}^{2}}.O{{C}^{2}}}\Rightarrow OA.OB.OC\le 8.\]
Do đó ${{V}_{OABC}}\le \frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$ Chọn đáp án A.
Công thức 3:Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp [đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1]
$R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left[ \frac{h}{2} \right]}^{2}}}.$
Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên.
Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kính $R$ ngoại tiếp một hình lập phương cạnh $a.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
| A. $a=\frac{\sqrt{3}R}{3}.$ | B. $a=2R.$ | C. $a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}.$ | D. $a=2\sqrt{3}R.$ |
Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124
Giải. Ta có $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left[ \frac{h}{2} \right]}^{2}}}=\sqrt{{{\left[ \frac{a}{\sqrt{2}} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{a}{2} \right]}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ Vậy $a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}.$ Chọn đáp án C.
Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left[ \frac{h}{2} \right]}^{2}}}.$
Khối tứ diện $[{{H}_{1}}]$ có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng $[{{H}_{2}}],$ khi đó ${{R}_{[{{H}_{1}}]}}={{R}_{[{{H}_{2}}]}}=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left[ \frac{h}{2} \right]}^{2}}}.$
Công thức 5: Công thức cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left[ a.\cot \frac{x}{2} \right]}^{2}}}$ trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $a,x$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy, góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.
Hoặc có thể sử dụng công thức $R=\sqrt{R_{d}^{2}+R_{b}^{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}},$ trong đó ${{R}_{b}}$ là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và $a$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.
Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, tam giác $SAD$ đều cạnh $\sqrt{2}a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$
| A. $R=\frac{a\sqrt{10}}{2}.$ | B. $R=\frac{a\sqrt{42}}{6}.$ | C. $R=\frac{a\sqrt{6}}{4}.$ | D. $R=\sqrt{2}a.$ |
Giải.Ta có $R=\sqrt{{{\left[ \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{\sqrt{2}a}{2}.\cot {{60}^{0}} \right]}^{2}}}=\sqrt{{{\left[ \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} \right]}^{2}}+{{\left[ \frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{3}} \right]}^{2}}}=\frac{a\sqrt{42}}{6}.$
Chọn đáp án B.
Công thức 6: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau có $R=\frac{c{{b}^{2}}}{2h},$ trong đó $cb$ là độ dài cạnh bên và $h$ là chiều cao khối chóp, được xác định bởi $h=\sqrt{c{{b}^{2}}-R_{d}^{2}}.$