Đường cao trong tam giác là một đường thẳng có tính chất quan trọng và liên quan rất nhiều đến các bài toán hình học phẳng. Vậy đường cao là gì, cách tính đường cao trong tam giác như thế nào. Cùng tham khảo bài viết dưới đây để có câu trả lời và biết công thức tính đường cao trong tam giác đơn giản nhất nhé.
Mục lục bài viết
Cách tính đường cao trong tam giác sử dụng công thức Heron:
Với a, b, c là độ dài các cạnh; ha là đường cao được kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC; p là nửa chu vi:
Ví dụ:
Cho tam giác ABC, cạnh AB = 4 cm, cạnh BC = 7 cm, cạnh AC = 5 cm. Tính đường cao AH kể từ A cắt BC tại H và tính diện tích ABC.
Giải:
Tính đường cao trong tam giác đều
Giả sử tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a như hình vẽ:
Trong đó:
- h là đường cao của tam giác đều
- a là độ dài cạnh của tam giác đều
Công thức tính đường cao trong tam giác vuông
Giả sử có tam giác vuông ABC vuông tại A như hình vẽ trên:
Công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông:
1. a2=b2+c2
2. b2=a.b′ và c2=a.c′
3. ah = bc
4. h2=b′.c'
5.
Trong đó:
- a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông như hình trên;
- b’ là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền;
- c’ là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền;
- h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.
Giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:
Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC [hệ thức lượng]
Vậy BC=25[cm]; AC=20[cm]; AH=12[cm]
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.
Giải:
Xét tam giác vuông ABC, ta có:
BC2 = AB2+ AC2 [ theo định lý py-ta-go]
BC2 = 242+ 322
BC2 = 1600
BC = 40[cm]
EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20[cm]
Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:
Có ∠A = ∠E = 90o
∠C chung
=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD [g.g]
=> AC/EC = AB/ED
=> ED = AB.EC/AC = 15cm
Vậy ED = 15cm
Công thức tính đường cao trong tam giác cân
Giả sử các bạn có tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc tại H như hình trên:
Công thức tính đường cao AH:
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:
⇒ HB=HC= ½BC
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:
AH²+BH²=AB²
⇒AH²=AB²−BH²
Ví dụ: Cho Δ ABC cân tại A có BC = 30[ cm ], đường cao AH = 20 [ cm ]. Tính đường cao ứng với cạnh bên của tam giác cân đó.
Giải: Xét Δ ABC cân tại A có BC = 30[ cm ]
⇒ BH = CH = 15[ cm ].
Áp dụng đinh lý Py – ta – go ta có:
Định nghĩa đường cao trong tam giác
Đường cao trong tam giác là đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy ứng với đường cao. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.
Tính chất ba đường cao của một tam giác
Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
Các bạn chỉ cần tính các thành phần chưa biết trong các công thức tính đường cao trong tam giác ở trên là có thể tính được đường cao trong tam giác.
- Trọng tâm là gì? Công thức tính trọng tâm của tam giác
Có rất nhiều các cách khác nhau để tính diện tích tam giác với nhiều công thức được sử dụng phổ biến cũng như công thức khi sử dụng cần được phải chứng minh. Ở bài viết này, Quantrimang.com sẽ giới thiệu đến các bạn những cách tính diện tích tam giác dễ hiểu và được sử dụng nhiều nhất để bạn có thể áp dụng ngay trong các bài thi.
Mục lục bài viết
Tam giác ABC có ba cạnh a, b, c, ha là đường cao từ đỉnh A như hình vẽ:
a. Công thức chung
Diện tích tam giác bằng ½ tích của chiều cao hạ từ đỉnh với độ dài cạnh đối diện của đỉnh đó.
Ví dụ:
Tính diện tích hình tam giác có độ dài đáy là 5m và chiều cao là 24dm.
Giải: Chiều cao 24dm = 2,4m
Diện tích tam giác là
b. Tính diện tích tam giác khi biết một góc
Diện tích tam giác bằng ½ tích hai cạnh kề với sin của góc hợp bởi hai cạnh đó trong tam giác.
Ví dụ:
Tam giác ABC có cạnh BC = 7, cạnh AB = 5, góc B bằng 60 độ. Tính diện tích tam giác ABC?
Giải:
c. Tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh bằng công thức Heron.
Sử dụng công thức Heron đã được chứng minh:
Với p là nửa chu vi tam giác:
Có thể viết lại bằng công thức:
Ví dụ:
Tính diện tích hình tam giác có độ dài cạnh AB = 8, AC = 7, CB = 9
Giải:
Nửa chu vi tam giác ABC là Áp dụng công thức hero ta có |
d. Tính diện tích bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác [R].
Lưu ý: Cần phải chứng minh được R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC, độ dài các cạnh a = 6, b = 7, c = 5, R = 3 [R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC]. Tính diện tích của tam giác ABC.
Giải:
e. Tính diện tích bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác [r].
|
Ví dụ: Tính diện tích tam giác ABC biết độ dài các cạnh AB = 20, AC = 21, BC = 15, r = 5 [r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC].
Giải:
Nửa chu vi tam giác là:
r= 5
Diện tích tam giác là:
2. Tính diện tích tam giác cân
Tam giác cân ABC có ba cạnh, a là độ dài cạnh đáy, b là độ dài hai cạnh bên, ha là đường cao từ đỉnh A như hình vẽ:
Áp dụng công thức tính diện tích thường, ta có công thức tính diện tích tam giác cân:
3. Tính diện tích tam giác đều
Tam giác đều ABC có ba cạnh bằng nhau, a là độ dài các cạnh như hình vẽ:
Áp dụng định lý Heron để suy ra, ta có công thức tính diện tích tam giác đều:
Xem thêm4. Tính diện tích tam giác vuông
Tam giác ABC vuông tại B, a, b là độ dài hai cạnh góc vuông:
Áp dụng công thức tính diện tích thường cho diện tích tam giác vuông với chiều cao là 1 trong 2 cạnh góc vuông và cạnh đáy là cạnh còn lại.
Công thức tính diện tích tam giác vuông:
5. Tính diện tích tam giác vuông cân
Tam giác ABC vuông cân tại A, a là độ dài hai cạnh góc vuông:
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông cho diện tích tam giác vuông cân với chiều cao và cạnh đáy bằng nhau, ta có công thức:
6. Công thức tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz
Về mặt lý thuyết, ta đều có thể dử dụng các công thức trên để tính diện tích tam giác trong không gian hay trong không gian Oxyz. Tuy nhiên như vậy sẽ gặp một số khó khăn trong tính toán. Do đó trong không gian Oxyz, người ta thường tính diện tích tam giác bằng cách sử dụng tích có hướng.
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:
Ví dụ minh họa:
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh lần lượt là A[-1;1;2], B[1;2;3], C[3;-2;0]. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài giải:
Để tính diện tích tam giác bạn cần xác định loại tam giác đó là gì, từ đó tìm ra công thức tính diện tích chính xác và các yếu tố cần thiết để tính diện tích tam giác nhanh nhất.
Các loại tam giác
Tam giác thường: là tam giác cơ bản nhất, có độ dài các cạnh khác nhau, số đo góc trong cũng khác nhau. Tam giác thường cũng có thể bao gồm các trường hợp đặc biệt của tam giác.
Tam giác cân: là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai cạnh này được gọi là hai cạnh bên. Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là góc ở đáy. Tính chất của tam giác cân là hai góc ở đáy thì bằng nhau.
Tam giác đều: là trường hợp đặc biệt của tam giác cân có cả ba cạnh bằng nhau. Tính chất của tam giác đều là có 3 góc bằng nhau và bằng 60
Tam giác vuông: là tam giác có một góc bằng 90 [là góc vuông].
Tam giác tù: là tam giác có một góc trong lớn hơn lớn hơn 90[một góc tù] hay có một góc ngoài bé hơn 90 [một góc nhọn].
Tam giác nhọn: là tam giác có ba góc trong đều nhỏ hơn 90 [ba góc nhọn] hay có tất cả góc ngoài lớn hơn 90 [sáu góc tù].
Tam giác vuông cân: vừa là tam giác vuông, vừa là tam giác cân.
Trên đây là tổng hợp các công thức tính diện tích tam giác thông dụng, tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ oxyz. Nếu có bất kì băn khoăn, thắc mắc hay đóng góp, các bạn hãy để lại comment bên dưới để cùng trao đổi với Quantrimang.com nhé.