Chứng minh phương trình có nghiệm trong chương trình giải tích lớp 11 thuộc chương giới hạn – liên tục. Đây là một dạng toán khá đơn giản. Ta có bài toán như sau:
Chứng minh phương trình $$f[x] = 0$$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {a;b} \right]\].
Các bước giải bài toán:
Bước 1. Chứng minh hàm số liên tục trên khoảng \[\left[{a;b} \right]\].
Bước 2. Tính \[f[a],f\left[ b \right]\].
Bước 3. Chứng minh \[f[a].f\left[ b \right] \le 0\].
Bước 4. Kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\].
Phương pháp này tương đối dễ hiểu, vì hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên khoảng \[\left[ {a;b} \right]\] nên đồ thì của hàm số này từ \[f\left[ a \right]\] đến \[f\left[ b \right]\] là một đường liền nét.
Mà \[f[a].f\left[ b \right] \le 0\] nghĩa là \[f\left[ a \right]\] và \[f\left[ b \right]\] trái dấu nên một điểm nằm trên và một điểm nằm dưới trục hoành.
Vậy đồ thị của hàm số này từ \[f\left[ a \right]\] đến \[f\left[ b \right]\] sẽ cắt trục Ox tại ít nhất một điểm nên phương trình sẽ có ít nhất một nghiệm trên khoảng \[\left[ {a;b} \right]\].
Ta tham khảo một số ví dụ để nắm được phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm.
Ví dụ 1. Chứng minh phương trình \[{x^4} – 3{x^2} + 5x – 6 = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \[\left[ {1;2} \right]\].
Hướng dẫn:
Đặt \[f\left[ x \right] = {x^4} – 3{x^2} + 5x – 6\] thì \[f\left[ x \right]\] là hàm đa thức nên liên tục trên R, vậy \[f\left[ x \right]\] liên tục trên khoảng \[\left[ {1;2} \right]\].
\[f\left[ 1 \right] = – 3,f\left[ 2 \right] = 8\]
Suy ra \[f\left[ 1 \right].f\left[ 2 \right] = – 24 \] < 0
Vậy phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \[\left[ {1;2} \right]\].
Ví dụ 2. Chứng minh phương trình $$m{\left[ {x – 1} \right]^3}\left[ {x – 2} \right] + 2x – 3 = 0$$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Hướng dẫn:
Đặt $$f\left[ x \right] = m{\left[ {x – 1} \right]^3}\left[ {x – 2} \right] + 2x – 3$$ thì $$f\left[ x \right]$$ là hàm đa thức nên liên tục trên R.
$$f\left[ 1 \right] = – 1,f\left[ 2 \right] = 1 \Rightarrow f\left[ 1 \right].f\left[ 2 \right] = – 1$$ < 0
Vậy phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \[\left[ {1;2} \right]\].
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình $${m^2}{x^4} + 2m{x^3} + 3x – 1 = 0$$ luôn có nghiệm với mọi m.
Hướng dẫn:
Với Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập chứng minh phương trình có nghiệm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
+] Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b] và f[a].f[b] < 0, thì phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng [a; b].
+] Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.
- Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f[x] = 0.
- Bước 2: Tìm 2 số a và b [a < b] sao cho f[a] . f[b] < 0
- Bước 3: Chứng minh hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b].
Từ đó suy ra phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a; b].
Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.
+] Một số chú ý:
- Nếu f[a].f[b] ≤ 0 thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc [a; b].
- Nếu hàm số f[x] liên tục trên [a; + ∞] và có f[a] .
- Nếu hàm số f[x] liên tục trên [-∞; a] và có f[a] .
Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = x3 + x - 1
Hàm f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R [định lý cơ bản về tính liên tục]
Suy ra hàm f[x] liên tục trên đoạn [0; 1] [vì [0; 1] ⊂R] [1]
Ta có: f[0] = 03 + 0 – 1 = - 1 ; f[1] = 13 + 1 – 1 = 1
⇒ f[0] . f[1] = - 1. 1 = - 1 < 0 [2]
Từ [1] và [2] suy ra f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1] [tính chất hàm số liên tục].
Vậy phương trình x3 + x - 1 = 0 có nghiệm [đpcm].
Ví dụ 2: Chứng minh 4x4 + 2x2 - x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng [-1; 1].
Hướng dẫn giải:
+ Đặt f[x] = 4x4 + 2x2 - x - 3
Vì f[x] là hàm đa thức nên f[x] liên tục trên R.
Suy ra f[x] liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].
+ Ta có: f[-1] = 4.[-1]4 + 2.[-1]2 - [-1] - 3 = 4
f[0] = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3
f[1] = 4.14 + 2.12 - 1 - 3 = 2
+ Vì f[-1].f[0] = 4.[-3] = -12 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [-1; 0]
Vì f[0] . f[1] = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0; 1]
Mà hai khoảng [-1; 0] và [0; 1] không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc [-1; 1]. [đpcm]
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình x5 - 5x3 + 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = x5 - 5x3 + 4x - 1 thì f[x] liên tục trên R [vì f[x] là hàm đa thức].
Ta có:
Vì
Vì
Vì
Vì
Vì f[1] . f[3] = -1 . 119 = -119 < 0 nên phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng [1; 3].
Do các khoảng
Mà phương trình f[x] = 0 có bậc là 5, nên nó có không quá 5 nghiệm
Vậy phương trình f[x] = 0 có đúng 5 nghiệm [đpcm].
Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình [m2 - m + 3]x2n - 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = [m2 - m + 3]x2n - 2x - 4
Ta có:
Mặt khác hàm số f[x] xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]
Do đó phương trình f[x] = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng [-2; 0].
Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đặt f[x] = x3 + ax2 + bx + c thì f[x] liên tục trên R [vì f[x] là hàm đa thức].
Ta có:
Tương tự:
Như vậy có x1 ; x2 để f[x1] . f[x2] < 0 suy ra phương trình có nghiệm x ∈ [x1; x2]
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a, b, c.