1. Mặt cầu tâm O, bán kính R
• Định nghĩa 1: Mặt cầu tâm O bán kính R là tập hợp những điểm M trong không gian mà OM = R, hay
• Định nghĩa 2 : Hình tròn xoay sinh bởi nửa đường tròn đường kính CD khi quay xung quanh đường thẳng CD là mặt cầu tâm là trung điểm O của CD, bán kính
- Nếu OM = R thì M thuộc mặt cầu [S]. Khi đó OM là bán kính của mặt cầu.
- Nếu OA > R thì A ở ngoài mặt cầu, nếu OB < R thì B ở trong mặt cầu.
- Nếu OI, OJ là hai bán kính mà I, 0, J thẳng hàng thì IJ được gọi là một đường kính của [S].
- Tính chất:
+ Mỗi điểm nằm trên mặt cầu đều nhìn một đường kính không đi qua nó dưới một góc vuông.
+ Tập hợp những điểm M nhìn đoạn IJ cho trước dưới một góc 90° là mặt cầu đường kính IJ.
• Khối cầu hay hình cầu S[O ; R] là tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S[O ; R] cùng với tất cả các điểm nằm
trong mặt cầu. Như vậy hình cầu S[O ; R] được định nghĩa là:
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng
Giữa mặt cầu S[O ; R] và mặt phẳng [P] có ba vị trí tương đối phụ thuộc vào khoảng cách từ O đến [P] và bán kính R.
• d[O ; [P]] < R : [P] cắt mặt cầu S[O ; R] theo một đường tròn [T] mà tâm I của [T] là hình chiếu vuông góc của O lên [P]. Bán kính của [T] là r, cho bởi:
Đường tròn [T] có bán kính lớn nhất khi và chỉ khi d[O ; [P]] = 0, khi đó [P] đi qua O và [T] được gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.
• d[O ; [P]] = R : [P] tiếp xúc với S[O ; R] tại một điểm I, I là hình chiếu vuông góc của O lên [P]. Trong trường hợp này, [P] được gọi là một tiếp diện của mặt cầu, I là tiếp điếm của [P] và S[O ; R].
• d[O; [P]] > R: [P] không cắt S[O ; R].
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Giữa mặt cầu S[O ; R] và đường thẳng Δ có ba vị trí tương đối phụ thuộc vào d[O ; Δ] và bán kính R.
• d[O ; Δ] < R : Δ cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Khi đó hình chiếu vuông góc của O lên AB là trung điểm của đoạn AB.
• d[O ; Δ] = R : Δ tiếp xúc mặt cầu tại một điểm A duy nhất. A được gọi là tiếp điểm của Δ với mặt cầu và Δ là tiếp tuyến với mặt cầu tại A. Ngoài ra, OA vuông góc với Δ. Đường thẳng Δ tiếp xúc mặt cầu [S] tại A khi và chỉ khi Δ vuông góc với OA tại A.
• d[O ; Δ] > R : Δ không cắt mặt cầu.
4. Định lí
Nếu A là điểm nằm ngoài mặt cầu S[O ; R] thì từ A có vô số tiếp tuyến đến mặt cầu. Khi đó
• Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
• Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
5. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
• Diện tích mặt cầu S[O ; R] : S = 4πR2.
• Thể tích khối cầu S[O ; R] : V =
6. Các khái niệm nội tiếp và ngoại tiếp thường gặp
• Khối đa diện nội tiếp trong mặt cầu:
- Khối đa diện được gọi là nội tiếp trong mặt cầu nếu các đỉnh của khối đa diện này đều nằm trên mặt
cầu. Khi đó, mặt cầu còn được gọi là ngoại tiếp khối đa diện.
- Tâm của mặt cầu ngoại tiếp một khối đa diện là điểm cách đều các đỉnh của khối đa diện đó.
- Tồn tại mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp khi và chỉ khi đáy hình chóp là một đa giác nội tiếp được.
• Mặt cầu nội tiếp một tứ diện:
- Mặt cầu được gọi là nội tiếp tứ diện nếu tâm mặt cầu ở trong tứ diện và các mặt của tứ diện đều là tiếp diện của mặt cầu.
- Khoảng cách từ tâm mặt câu nội tiếp tứ diện đến mỗi mặt của tứ diện đều bằng bán kính mặt cầu.
- Tính chất: Mỗi tứ diện đều có mặt cầu nội tiếp và mặt cầu ngoại tiếp.
7. Trục của đường tròn, trục của tam giác
• Tập hợp những điểm cách đều các đỉnh của một tam giác là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng này gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác hay trục của tam giác.
• Tổng quát: Tập hợp các điểm cách đều các điểm của một đường tròn là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của đường tròn đó. Đường thẳng này được gọi là trục của đường tròn.
• Trục của đường tròn thường được sử đụng trong các bài toán về xác định tâm và bán kính của một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Ví dụ:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6, BC = 8. Tìm tập hợp những điểm M trong không gian mà
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 200.
GiảiGọi O là tâm hình chữ nhật. Ta có : AC = BD = 10. Trong các tam giác MAC và MBD, ta có
MA2 + MC2 = 2MO2 +
MB2 + MD2 = 2MO2 +
Cộng [1] và [2] vế theo vế, ta có MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MO2 +
Vậy : MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 200 ⇔ 4MO2 = 100 ⇔ MO2 = 25 ⇔ MO = 5.
Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 200 là mặt cầu tâm O bán kính R = 5.
Với bộ Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án năm 2021 sẽ giúp học sinh hệ thống lại kiến thức bài học và ôn luyện để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Hình học lớp 12.
Câu 1: Cho mặt cầu tâm O bán kính R và điểm A bất kì trong không gian. Điểm A không nằm ngoài mặt cầu khi và chỉ khi:
A. OA = R B. OA ≤ R C. OA < R D. OA > R
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuôg cân đỉnh B và BC = a, SA ⊥ [ABC], SA = 2a. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Điểm S nằm trong mặt cầu tâm A bán kính a
B. Điểm S nằm ngoài mặt cầu tâm A bán kính 2a
C. Điểm C nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 2a
D. Cả ba điểm S, B, C cùng nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 2a.
Từ giả thiết ta có: SA = 2a; AB = a và AC = a√2 .
Đáp án đúng là C.
Câu 3: Cho mặt cầu [S] tâm O bán kính R và một mặt phẳng [P]. Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng [P]. Mặt phẳng [P] có nhiều hơn một điểm chung với mặt cầu [S] nếu :
A. h ≤ R B. h ≥ R C. h > R D. h < R
Từ vị trí tương đối của một mặt phẳng với mặt cầu ta có đáp án đúng là D.
Câu 4: Cho mặt cầu [S] tâm O bán kính R và một đường thẳng d. Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến đường thẳng d. Đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu [S] nếu và chỉ nếu:
A. h ≤ R B. h = R C. h > R D. h < R
Từ vị trí tương đối của một đường thẳng và mặt cầu ta có đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu [S] khi và chỉ khi đường thẳng d tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu [S].
Đáp án đúng là A.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng [SBC] theo a là:
A. 2a B. a C. a√2/2 D. 2a√5/5
Ta có mặt cầu S[A;r] tiếp xúc với mặt phẳng [SBC] khi và chỉ khi r = d[A; [SBC]] .
Hạ AH ⊥ SB tại H. Do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ [SAB] , suy ra BC ⊥ AH .
Mặt khác AH ⊥ SB nên AH ⊥ [SBC] hay d[A; [SBC]] = AH Xét tam giác vuông SAB ta có:
Đáp án đúng là D.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a. SA vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SB và đáy là 45o . Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng [SBD] theo một đường tròn có bán kính bằng a là:
Ta có mặt cầu S[A;r] cắt mặt phẳng [SBD] theo một đường tròn có bán kính bằng a khi và chỉ khi ta có
Ta có:
Hạ AK ⊥ BD tại K, hạ AH ⊥ SK tại H. Do BD ⊥ AK và BD ⊥ SA nên BD ⊥ [SAK] , suy ra BD ⊥ AH. Mặt khác AH ⊥ SK nên ta có AH ⊥ [SBDB] hay d[A; [SBD]] = AH. Xét tam giác vuông SAK và tam giác vuông ABD ta có:
Khi đó ta có:
Đáp án đúng là C.
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với SC theo a là :
Ta có mặt cầu S[A ;r] tiếp xúc với đường thẳng SC khi và chỉ khi ta có r = d[A; SC].
Xét tam giác vuông ABC ta có AC = a√2 . Hạ AH ⊥ SC tại H. Xét tam giác vuông SAC ta có :
Chọn B.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = AB = 2AD = 2a. Hai mặt phẳng [SAB] và [SAD] cùng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu tâm B cắt SC theo một dây có độ dài 2a là :
Do [SAB] ⊥ [ABCD] và [SAD] ⊥ [ABCD] ta có SA ⊥ [ABCD]. Theo định lí ba đường vuông góc ta có BC ⊥ SB .
Hạ BH ⊥ SC tại H. Xét tam giác vuông SBC ta có:
Ta có mặt cầu S[B;r] cắt đường thẳng SC theo một dây cung có độ dài 2a khi và chỉ khi ta có
Đáp án đúng là C.
Câu 9: Cho hai quả cầu cùng bán kính là 5cm. Để đựng hai quả cầu Nam phải làm một hình hộp chữ nhật từ bìa carton. Hỏi trong các đáp án dưới đây, Nam cần ít nhất bao nhiêu xen-ti-mét vuông bìa carton để làm được chiếc hộp đó?
A. 300[cm2] B. 1000[cm2] C. 250[cm2] D. 1250[cm2]
Hình hộp chữ nhật đựng được hai quả cầu bán kính 5cm thì độ dài các cạnh ít nhất là 10cm, 10cm, 20cm. Khi đó ta có: Stp = 2 x 102 + 4 x 10 x 20 = 1000[cm2] .
Đáp án đúng là B.
Câu 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp có đáy là một tứ giác nội tiếp được đường tròn.
B. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là hình chóp tam giác
C. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có các cạnh bên bằng nhau.
D. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu có cạnh bên vuông góc với đáy.
Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp đó có đáy là một đa giác nội tiếp được đường tròn nên mệnh đề A và B đúng. Hình chps có các cạnh bên bằng nhau có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy nên hình chóp đó có đáy nội tiếp được đường tròn và do đó đáp án C đúng.
Đáp án cần chọn là D.
Câu 11: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình lăng trụ có mặtc ầu ngoại tiếp nếu đáy của nó là hình vuông
B. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng
C. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn
D. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng tam giác.
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
Theo định lí ba đường vuông góc ta có tam giác SBC, SDC lần lượt vuông tại B, D. Gọi I là trung điểm của SC. Từ các tam giác SAC, SBC, SDC vuông ta có:
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu là
Đáp án đúng là C.
Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là:
Ta có:
Ta nhận thấy tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương chính là tâm của hình lập phương đó. Do đó I chính là trung điểm của AC’ và mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính là
Đáp án đúng là C.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Câu 15: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S,ABC , biết các cạnh đáy có độ dài bằng a , cạnh bên SA = a√3 .
Câu 16: Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' .
Gọi G, G; lần lượt là tâm của hai đáy ABC và A'B'C' .
Ta có GG' chính là trục của các tam giác ABC và A'B'C' .
Gọi O là trung điểm của GG' thì O cách đều 6 đỉnh của hình lăng trụ
nên là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. Bán kính mặt cầu là R = OA .
Xét tam giác OAG vuông tại G , ta có:
Câu 17: Cho đường thẳng a và điểm A cách đường thẳng a một khoảng bằng 4cm. Trong các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng a, mặt cầu [S] có diện tích nhỏ nhất thì diện tích đó bằng :
A. 4π[cm2] B. 16π/3[cm2] C. 16π[cm2] D. 64π[cm2]
Gọi S[I ;r] là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với a.
Ta có diện tích của mặt cầu là : S = 4πr3 nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi r đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi tiếp điểm của đường thẳng a và mặt cầu là H và hình chiếu vuông góc hạ từ A lên đường thẳng A là A’. Khi đó ta có :
2r = IA + IH ≥ AH ≥ AA' => r ≥ AA'/2 = 2[cm]
Vậy r đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2cm khi I là trung điểm của AA’.
Khi đó mặt cầu [S] có diện tích nhỏ nhất là S = 4π22 = 16π[cm2].
Đáp án đúng là C.
Câu 18: Cho mặt cầu [S] tâm O bán kính R và một mặt phẳng [P]. Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng [P]. Mặt phẳng [P] và mặt cầu [S] có điểm chung nếu và chỉ nếu :
A. h < R B. h = R C. h ≤ R D. h ≥ R
Từ vị trí tương đối của một mặt phẳng và mặt cầu ta có mặt phẳng [P] có điểm chung với mặt cầu [S] khi và chỉ khi mặt phẳng [P] tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu [S]
Câu 19: Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O cách Δ một khoảng bằng 20cm. Mặt cầu [S] tâm O cắt đường thẳng Δ theo một dây có độ dài 30cm có bán kính r bằng :
A. r = 45cm B. r = 30cm C. r = 25cm D. r = 20cm
Câu 20: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA tạo với đáy một góc bằng 30o và SA=2a. Trong các điểm S, B, C điểm nào nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 3a.
A. Không điểm nào C. Chỉ hai điểm B và C
B. Chỉ điểm S D. Cả ba điểm
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Ta có:
góc SAO = 30o => AO = a√3 => AB = AC = 3a
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SAB là tam giác đều. Bán kính mặt cầu tâm A cắt SB theo một dây có độ dài a là:
A. a√13/2 B. 2a C. 2a√2 D. a√3
Gọi S[A;r] là mặt cầu tâm A cắt đường thẳng SB theo một dây có độ dài a, khi đó ta có:
Gọi H là trung điểm của SB. Do tam giác SAB đều nên AH ⊥ SB hay AH là khoảng cách từ A đến SB. Xét tam giác đều SAB ta có :
Câu 22: Cho đường tròn [C] ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a, chiều cao AH. Quay đường tròn [C] xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng là:
Bán kính mặt cầu được tạo thành khi quay đường tròn [C] quanh trục AH là
Câu 23: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a và B^ = 30° . Quay tam giác vuông này quanh trục AB , ta được một hình nón đỉnh B . Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón đó và S2 là diện tích mặt cầu có đường kính AB . Khi đó, tỉ số
Câu 24:Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh a.
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2AD = 2a, SA vuông góc với đáy, SA = a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :
Theo định lí ba đường vuông góc ta có hai tam giác SBC và SDC lần lượt vuông góc tại B, D. Gọi I là trung điểm của SC thì ta có : IA = IB = ID = SC/2 = IS = IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
Câu 26:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
Câu 27: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa SA và đáy là 60o , SA = 2a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó SO ⊥ [ABCD] và SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Từ giả thiết ta có :
=> SO = SA.sin60o = a√3
Trong mặt phẳng [SAO], đường trung trực của SA cắt SO tại I. Khi đó I cách đều các đỉnh của hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Gọi M là trung điểm của SA, khi đó ta có :
Câu 28:Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 và SA, SB, SC đôi một vuông góc. Khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có thể tích là:
Gọi M,N lần lượt là trung điểm SC, AB
Vì ΔSAB vuông góc tại S nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔSAB .
Trong mặt phẳng [MSN] dựng hình chữ nhật MSNO thì ON là trục đường tròn ngoại tiếp ΔSAB và OM là đường trung trực của đoạn SC trong mặt phẳng [OSC]
Câu 29: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a√2 và góc giữa A’B và mặt phẳng [ABC] là 60o . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là :
Trong tam giác vuông ABC ta có
=> AA' = AB.tan60o = a√3.
Gọi I là tâm của hình chữ nhật BCC’B’ và M là trung điểm của BC. Do tam giác ABC vuông tại A nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và do đó IM là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy ABC và I cách đều B, B’ nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Khi đó ta có :
Câu 30:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a .
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB mà [SAB] ⊥ [ABCD] nên SH ⊥ [ABCD]
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, d là đường thẳng qua O và song song SH thì d ⊥ [ABCD] hay d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
Trong mặt phẳng [SAB] từ G kẻ đường thẳng vuông góc với [SAB] cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = IS.
Câu 31: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
Gọi H là tâm đáy
thì SH là trục của hình vuông .
Gọi M là trung điểm của ABCD .
Trong mp [SDH] kẻ trung trực của đoạn SD cắt SH tại O
Thì OS = OA = OC = OD
Nên O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
Bán kính mặt cầu là R = SO .
Ta có :
Câu 32: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A và AB = SB = a , SB vuông góc với mặt phẳng [ABC]. Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng SC và AB là :
Mặt cầu S[I,r] tiếp xúc với AB, SC lần lượt tại T, K. Khi đó ta có:
2r = IT + IK ≥ d[AB; SC] => r ≥ d[AB, SC]/2
Dựng hình bình hành ABDC, khi đó ta có ABDC là hình vuông cạnh a. Hạ BH vuông góc với SD tại H. Khi đó ta có BH ⊥ [SCD].
Suy ra: d[SC; AB] = d[AB, [SCD]] = d[B; [SCD]]