Các công thức gần đúng trong toán học năm 2024

1. ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
2. đạo hàm: đặt vấn đề • Đạo hàm bậc nhất: f [ x  h]  f [ x] f [ x ]  lim h0 h ' • Ý nghĩa hình học: – f’[x] là hệ số góc của tiếp tuyến f[x+h] f[x] • Tính gần đúng đạo hàm: –h≠0 – f’[x] là hệ số góc của cát tuyến x x+h
3. thuận [Forward difference]: Xây dựng công thức • Xét khai triển Taylor của hàm f tại lân cận x: h2 f [ x  h]  f [ x ]  f ' [ x ]h  f '' [ ] [1] 2! Trong đó ξ thuộc đoạn [x,x+h]. Từ [1] ta có: f [ x  h]  f [ x ] h ' '' f [ x]   f [ ] [ 2] h 2! Coi số hạng f’’[ξ] h/2 là sai số rút gọn, từ [2] suy ra: f [ x  h]  f [ x] f [ x]  [3] h Là công thức tính gần đúng ĐH theo PP sai phân thuận '
4. thuận [Forward difference]: Phân tích sai số • Sai số rút gọn là: f’’[ξ] h/2= O[h] Phương pháp có độ chính xác bậc nhất • Sai số làm tròn: Giả sử khi tính f[x] và f[x+h] có sai số làm tròn, công thức tính f’: f [ x  h][1  1 ]  f [ x ][1   2 ] f [ x  h]  f [ x ] 1 f [ x  h]   2 f [ x ]   h h h Do |δi| nhỏ hơn độ chính xác của máy tính ε nên sai số làm tròn khi tính f’ là:  [ f [ x  h]  f [ x ] ] h • Sai số tổng cộng đạt min khi: h 
5. thuận [Forward difference]: Ví dụ • Xét hàm: f[x] = sin x. Sử dụng PP sai phân thuận để tính gần đúng f’[π/3]. Phân tích sai số. – Tính với h=10-k, k = 1,…,16 – Tìm h để có sai số nhỏ nhất
6. ngược [Backward difference]: • Xây dựng công thức: Tương tự như trong PP sai phân thuận, thay x+h bằng x-h, ta có: f [ x]  f [ x  h] f [ x]  h ' [1] • Sai số: Tương tự như trong PP sai phân thuận – Độ chính xác bậc nhất – Sai số đạt min khi: h  • Bài tập: Sử dụng PP sai phân ngược để tính gần đúng f’[π/3], biết f[x] = sin x
7. trung tâm[Central difference]: Xây dựng công thức • Xét khai triển Taylor của hàm f tại lân cận x: h2 h3 f [ x  h]  f [ x ]  f ' [ x ]h  f '' [h]  f ''' [  ] 2! 3! h2 h3 f [ x  h]  f [ x ]  f ' [ x ]h  f '' [h]  f ''' [  ] 2! 3! Trong đó ξ+ thuộc đoạn [x,x+h], ξ- thuộc đoạn [x-h,x]. Từ [1] và [2] ta có công thức tính gần đúng ĐH theo PP sai phân trung tâm f [ x  h]  f [ x  h] f [ x]  2h ' [3] [1] [ 2]
8. trung tâm[Central difference]: Phân tích sai số • Sai số rút gọn: 1 '''  f [ ]h 2 , 6   x  h, x  h – PP có độ chính xác bậc 2; – Sai số tổng cộng đạt min khi h = ε1/2 • Bài tập: Sử dụng PP sai phân trung tâm để tính gần đúng f’[π/3], biết f[x] = sin x. So sánh với PP sai phân thuận và sai phân ngược
9. đạo hàm cấp cao: Đạo hàm cấp 2 • Xét khai triển Taylor của hàm f tại lân cận x: h 2 ' '' h 3 ' '' ' h 4 '' ' '' h 5 f [ x  h]  f [ x]  f ' [ x]h  f '' [h]  f [ x]  f [h]  f [ x]  ...[1] 2! 3! 4! 5! h 2 ' '' h 3 '' ' ' h 4 ' ' '' ' h 5 f [ x  h]  f [ x]  f ' [ x]h  f '' [h]  f [ x]  f [h]  f [ x]  ...[2] 2! 3! 4! 5! Từ [1] và [2] ta có công thức tính gần đúng ĐH bậc 2 f [ x  h]  2 f [ x ]  f [ x  h] f '' [ x ]  • Sai số rút gọn: h 2 1 ''''  f [ ]h 2 , 12 – Sai số đạt min khi h = ε1/4 [3]   x  h, x  h
10. đạo hàm riêng • Tương tự, ta có thể xây dựng các PP tính gần đúng đạo hàm riêng, ví dụ PP sai phân trung tâm tính đạo hàm riêng cho hàm f[x,y] như sau: f [ x, y ] f [ x  h, y ]  f [ x  h, y ]  x 2h f [ x, y ] f [ x, y  h ]  f [ x, y  h ]  y 2h
11. tích phân: đặt vấn đề • Tính tích phân: b I   f [ x ]dx, a trong đó f[x] là hàm khả tích trên đoạn [a,b] • Ý nghĩa hình học của tích phân: f[x] a b
12. tích phân: Tổng Riemann • Giả sử hàm f xác định trên [a,b] và Δ là phép chia đoạn [a,b] thành n đoạn đóng Ik=[xk-1,xk], k=1,…,n, trong đó a = x0< x1