- Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.
- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.
Tam giác ABC vuông cân tại A thì B^=C^=45o
2. Tam giác đều.
Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
Tam giác ABC đều thì AB = AC = BC và A^=B^=C^=60o
Hệ quả:
- Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60°.
- Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
- Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60° thì tam giác đó là tam giác đều.
Dạng 1: Cách vẽ tam giác cân, vuông cân, tam giác đều.
1. Phương pháp giải:
Dựa vào các cách vẽ tam giác đã học và định nghĩa các tam giác cân, vuông cân, đều.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Vẽ tam giác ABC cân tại C có AB = 6 cm, AC = BC = 5cm.
Giải: [Vẽ tương tự như cách vẽ tam giác thường biết độ dài ba cạnh]
Cách vẽ:
- Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm.
- Vẽ cung tròn tâm A bán kính 5cm.
- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5cm.
- Hai cung tròn này cắt nhau tại C.
- Nối CA, CB ta được tam giác ABC cần vẽ.
Ví dụ 2: Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A.
Giải:
- Vẽ góc vuông xAy
- Trên tia Ax lấy điểm B, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AB = AC
- Nối B với C
- Khi đó ta được tam giác ABC vuông cân tại A.
Ví dụ 3: Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 4 cm.
Giải:
- Vẽ đoạn thẳng BC = 4 cm
- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 4 cm.
- Vẽ cung tròn tâm C bán kính 4 cm.
- Hai cung tròn này cắt nhau tại A.
- Nối AB, AC ta được tam giác ABC cần vẽ.
Dạng 2: Nhận biết một tam giác là tam giác cân, vuông cân, đều.
1. Phương pháp giải:
Những dấu hiệu nhận biết các tam giác cân, vuông cân, đều:
*Tam giác cân:
- Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau [theo định nghĩa].
- Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.
*Tam giác vuông cân:
- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau [theo định nghĩa].
- Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45o là tam giác vuông cân.
*Tam giác đều:
- Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau [theo định nghĩa].
- Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều.
- Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 4: Tìm các tam giác cân, vuông cân, đều trên hình vẽ sau:
Giải:
[a] Áp dụng định lý góc ngoài trong tam giác ABC có:
A^+B^+C^=180o ⇒C^=180o−A^−B^
⇒C^=180o−50o−65o=65o
ΔABC có B^=C^=65o
Do đó ΔABC cân tại A.
[b] Ta có, ΔHKF vuông tại H có K^=45o
Nên ΔHKF là tam giác vuông cân tại H [1]
Vì DEF^=HKF^=45o
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên HK // DE
Vì HK⊥HF, HK // DE
⇒DE⊥DF [Tính chất từ vuông góc đến song song]
Ta có, ΔDEF vuông tại D có E^=45o
Nên ΔDEF là tam giác vuông cân tại D [2]
Từ [1] và [2] suy ra ΔHKF, ΔDEF là tam giác vuông cân.
[c] Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác MNP có:
M^+N^+P^=180o⇒M^=180o−N^−P^
⇒M^=180o−60o−60o=60o
Ta có, ΔMNP có M^=N^=P^ [=60o]
Do đó ΔMNP là tam giác đều.
Dạng 3: Sử dụng định nghĩa, tính chất tam giác cân, vuông cân, đều để suy ra các đoạn thẳng, các góc bằng nhau.
1. Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa và tính chất của tam giác cân, vuông cân, đều.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân tại A [BC < AB]. Trên cạnh AB lấy D sao cho CD = CB.
- Chứng minh: ACB^=CDB^.
- Trên tia đối của tia CA lấy E sao cho CE = AD. Chứng minh BE = BA.
Giải:
GT
Cho ΔABC, AB = AC [BC < AB]
CD = CB [DAB]
CE là tia đối của tia CA: CE = AD
KL
- ACB^=CDB^
- BE = BA
- ΔABC cân tại A nên ABC^=ACB^ [1]
Vì ΔBCD cân tại C [do CD = CB] nên CDB^=DBC^= ABC^ [2]
Từ [1] và [2] suy ra ACB^=CDB^
- Ta có: ACB^+BCE^=180o
CDB^+ADC^=180o
Mà ACB^=CDB^ [câu a]
Do đó: ADC^=BCE^
Xét ΔADC và ΔECB có:
CE = AD [gt]
ADC^=BCE^ [cmt]
CD = CB [gt]
Do đó: ΔADC=ΔECB [c.g.c]
⇒BE=AC [hai cạnh tương ứng]
Mà AC = AB [do tam giác ABC cân tại A]
Vậy BE = AB [đpcm].
Dạng 4: Tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc.
1. Phương pháp giải:
Dựa vào định lý tổng ba góc của một tam giác và mối quan hệ giữa các cạnh, các góc trong tam giác đó.