Các cách tìm nghiệm của đa thức

14:47:3721/03/2022

Ở các bài trước, các em đã biết cách tính giá trị của đa thức một biến x tại mỗi giá trị của x cho trước. Vậy có giá trị nào của biến làm cho đa thức nhận giá trị bằng 0 không?

Nội dung bài viết này giúp các em biết: Nghiệm của đa thức một biến là gì? cách tìm nghiệm của đa thức một biến và ví dụ minh họa.

1. Nghiệm của đa thức một biến

- Nếu tại x=a, đa thức P[x] có giá trị bằng 0 thì ta nói a [hoặc x=a] là một nghiệm của đa thức đó.

* Ví dụ 1: Xét đa thức 

Ta tính được P[32] = 0. Khi đó, ta nói rằng 32 [hay x = 32] là một nghiệm của đa thức P[x].

* Ví dụ 2: 

a]  là nghiệm của đa thức P[x] = 2x + 3 vì

b] x = 2 và x = -2 là các nghiệm của đa thức Q[x] = x2 - 4 vì

 Q[-2] = 0 và Q[2] = 0.

c] Đa thức G[x] = 2x2 + 1 không có nghiệm,

 vì tại x = a bất kì, ta luôn có G[a] = 2a2 + 1 ≥ 0 + 1 ≥ 1.

2. Số nghiệm của đa thức một biến

- Một đa thức [khác đa thức không] có thể có một nghiệm, hai nghiệm,... hoặc không có nghiệm.

- Người ta chứng minh được rằng số nghiệm của một đa thức [khác đa thức không] không vượt quá bậc của nó. Chẳng hạn: đa thức bậc nhất chỉ có 1 nghiệm, đa thức bậc hai có không quá 2 nghiệm,...

* Câu hỏi 1 trang 48 Bài 9 SGK toán 7 Tập 2: x = -2; x = 0 và x = 2 có phải là các nghiệm của đa thức x3 – 4x hay không? Vì sao ?

> Lời giải:

- Giá trị của đa thức x3 – 4x tại x = -2 là: [-2]3 – 4.[-2] = – 8 + 8 = 0

- Giá trị của đa thức x3 – 4x tại x = 0 là: 03 – 4.0 = 0 – 0 = 0

- Giá trị của đa thức x3 – 4x tại x = 2 là: 23 – 4.2 = 8 – 8 = 0

Vậy x = -2; x = 0 và x = 2 chính là các nghiệm của đa thức x3 – 4x

[vì tại các giá trị đó của biến x, đa thức có giá trị bằng 0].

* Câu hỏi 2 trang 48 Bài 9 SGK toán 7 Tập 2: Trong các số cho sau, với mỗi đa thức, số nào là nghiệm của đa thức?

* Lời giải:

a] Ta có: 

 P[1/4] = 2.[1/4] + [1/2] = 1

 P[1/2] = 2.[1/2] + [1/2] = 3/2

 P[-1/4] = 2.[-1/4] + [1/2] = 0

Ta thấy: P[-1/4] = 0 nên x = -1/4 nghiệm của đa thức P[x].

b] Ta có:

 Q[3] = 32 – 2.3 – 3 = 9 – 6 – 3 = 0;

 Q[1] = 12 – 2.1 – 3 = 1 – 2 – 3 = – 4;

 Q[–1] = [–1]2 – 2.[ –1] – 3 = 1 + 2 – 3 = 0.

Ta thấy Q[3] và Q[–1] đều bằng 0 nên x = 3 và x = –1 là nghiệm của đa thức Q[x].

* Cách tìm nghiệm của đa thức một biến

Nghiệm của đa thức là a nếu tại x = a đa thức P[x] có giá trị bằng 0.

Như vậy, để tìm nghiệm của đa thức 1 biến, chúng ta cho đa thức đó bằng 0 và giải như cách giải phương trình một ẩn.

* Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức P[x] = 2x – 10

> Lời giải:

Ta có P[x] = 0 ⇔ 2x – 10 = 0 ⇔ 2x = 10 ⇔ x = 5

Vậy x = 5 là nghiệm của đa thức P[x] = 0

Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về Nghiệm của đa thức một biến là gì? cách tìm nghiệm của đa thức một biến và ví dụ. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công.

1. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:

Phương pháp:

Cho đa thức f[x], a là nghiệm của đa thức f[x] nếu f[x] = 0. Như vậy nếu đa thức f[x] chứa nhân tử [x - a ] thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.

Giá trị x = a được gọi là nghiệm của đa thức P[x]nếu P[a] = 0

Ngược lại nếu P[a] = 0 thì x=a là nghiệm của đa thức P[x]

Chú ý :

+ Một đa thức [khác đa thức 0] có thể có 1 nghiệm, 2 nghiệm, … hoặc không có nghiệm.

+Số nghiệm của đa thức không vượt quá bậc của nó

Đa thức bậc nhất chỉ có 1 nghiệm;

Đa thức bậc hai có không quá 2 nghiệm;

Đa thức bậc ba có không quá 3 nghiệm….

Ví dụ 1: x3+ 3x - 4

Nếu đa thức trên có nghiệm là a [đa thức có chứa nhân tử [x - a]] thì nhân tử còn lại có dạng [x2+ bx + c]

-ac = - 4 a là ước của - 4

Vậy trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi.

Ước của [- 4 ] là [- 1], 1,[-2], 2, [- 4], 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức đa thức chứa nhân tử [ x - 1]. Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung [ x - 1].

*Cách 1: x3+ 3x - 4 = x3- x2+ 4x2- 4 = x2[x -1] + 4[x -1][x +1]

= [x - 1][x2+ 4x + 4] =[x -1][x + 2]2

*Cách 2: x3+ 3x - 4 =x3- 1 + 3x2- 3 = [x3- 1] + 3[x2- 1]

= [ x - 1][x2+ x +1 +3[x- 1]]

= [ x - 1][x2 + 4x + 4]

= [ x - 1][x + 2]2

- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử [x-1]

-Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức có chứa nhân tử [ x + 1].

Ví dụ 2:

* Đa thức: x2- 5x + 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0

Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số [ x - 1]

*Đa thức: 5x3- 5x2+ 3x + 9 có -5 + 9 =1 + 3

Đa thức có nghiệm là [-1] hay là đa thức chứa thừa số [ x + 1].

+ Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỷ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất.

Ví dụ 3: 2x3- 5x2+ 8x - 3

Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức trên là: [-1], 1, [], , [],[] [- 3],.....Sau khi kiểm tra ta thấy x= a là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử [x - a] hay [2x - 1]. Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung [ 2x - 1]

2x3- 5x2+ 8x - 3 = 2x3 - x2 - 4x2+ 2x + 6x - 3

= x2[2x - 1] - 2x[2x - 1] + 3[2x -1]

= [2x - 1][x2- 2x + 3]

2. Tìm hiểu về phương trình bậc 3

Trước khi đi vào tìm hiểu chi tiết về cách giải, chúng ta cần biết được phương trình bậc 3là gì? Thực chất đây là một phương trình có bậc lũy thừa cao nhất là 3. Phương trình bậc ba có dạng chuẩn thường là phương trình có dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0 [Với a khác 0]

3. Cách giải phương trình bậc 3

Cách 1: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Cách 2:Phương phápCardano

Cách 3: Phương pháp lượng giác hoá

Một phương trình bậc ba, nếu có3nghiệm thực, khi biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ liên quan đến số phức. Vì vậy ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm một cách biểu diễn khác đơn giản hơn, dựa trên hai hàm sốcosvàarccos.

Lưuý rằng nếu phương trình có3nghiệm thực thìp