Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất, ta cần phải nhớ:
- Bài toán về năng suất có 3 đại lượng: khối lượng công việc, năng suất và thời gian.
- Mối quan hệ giữa 3 đại lượng:
- Khối lượng công việc = Năng suất x Thời gian
- Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian
- Thời gian = Khối lượng công việc : Năng suất
- Bài toán về công việc làm chung, làm riêng, hay vòi nước chảy chung, chảy riêng thì ta thường coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị.
- Suy ra năng suất là 1/ Thời gian.
- Lập phương trình theo: Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung.
Ví dụ Bài toán về năng suất
Bài toán 1. [Dạng toán công việc chung, công việc riêng]
Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày được 52 ha, vì vậy đội không những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch.
Lời Giải:
Gọi diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch là x, [ha], [ x> 0].
Thời gian đội dự định cày là: $\frac{x}{40}$ [giờ].
Diện tích mà đội thực cày là: [x + 4], [ha].
Thời gian mà đội thực cày là: $\frac{x+4}{52}$ [giờ].
Vì khi thực hiện đội đẵ cày xong trước thời hạn 2 ngày do đó ta có phương trình: $\frac{x}{40}$ – $\frac{x+4}{52}$= 2.
Giải phương trình trên ta được x= 360.
Vậy diện tích mà đội dự định cày theo kế hoạch là: 360 ha.
Bài toán 2. [Dạng toán công việc chung, công việc riêng]
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm được 25% khối lượng công việc. Hỏi mỗi người thợ làm một mình công việc đó trong bao lâu.
Lời Giải:
Gọi thời gian để Người thứ nhất làm một mình xong công việc là x, [giờ], x > 16.
Gọi thời gian để Người thứ hai làm một mình xong công việc là y, [giờ], y > 16.
Trong 1 giờ Người thứ nhất và người thứ hai làm được khối lượng công việc tương ứng là: $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$ .
Vì hai người làm chung trong 16 giờ thì xong KLCV do đó ta có phương trình [1] : $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{16}$
Sau 3 giờ Người thứ nhất làm được 3. $\frac{1}{x}$ [KLCV].
Sau 6 giờ Người thứ hai làm được 6. $\frac{1}{y}$ [KLCV].
Vì người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm được 25% khối lượng công việc do đó ta có phương trình: $\frac{3}{x}$ + $\frac{6}{y}$ = $\frac{1}{4}$.
Theo bài ra ta có hệ phương trình: $$\left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16} \\ & \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}. \\ \end{align} \right.$$
Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{align}& x=24 \\& y=48 \\\end{align} \right.$
Vậy thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc là: 24 [giờ].
Thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc là: 48 [giờ].
Bài toán 3. [Dạng toán công việc chung, công việc riêng]
Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành một công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm công việc khác, tổ thứ hai làm một mình phần công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Lời Giải:
Gọi thời gian tổ hai làm một nmình hoàn thành công việc là x, [giờ], x> 12.
Trong 1 giờ tổ hai làm được khối lượng công việc: $\frac{1}{x}$ [KLCV].
Sau 4 giờ hai tổ đẵ là chung được khối lượng công việc là: $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$ [KLCV].
Phần công việc còn lại tổ hai phải làm là: 1 – $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$ [KLCV].
Vì tổ hai hoàn thàmh khối lượng công việc còn lại trong 10 giờ nên ta có phương trình: $\frac{2}{3}$: x = 10.
Giải PTBN ta được x= 15. Vậy thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành khối lượng công việc là: 15 giờ.
Bài toán 4. [Dạng toán công việc chung, công việc riêng]
Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công. Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.
Lời Giải:
Gọi số công nhân của đội là x, [người], x> 0, [nguyên dương].
Số ngày hoàn thành công việc với x người là: $\frac{420}{x}$ [ngày].
Số công nhân sau khi tăng 5 người là: x + 5.
Số ngày hoàn thành công việc với x + 5 người là: $\frac{420}{x+5}$ [ngày].
Vì nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày do đó ta có phương trình:
$\frac{420}{x} -\frac{420}{x+5} = 7.$
Giải phương trình bậc hai trên ta được hai nghiệm x1 = 15; x2 = – 20 [loại].
Vậy số công nhân của đội là 15 người.
Bài toán 5. [Dạng toán công việc chung, công việc riêng]
Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự đinh xong trong 12 ngày. Họ cùng làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều động đi làm công việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đẵ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong công việc nói trên [với năng suất bình thường].
Lời Giải:
Gọi thời gian để đội I làm một mình xong công việc là x, [ngày], x > 12.
Gọi thời gian để đội II làm một mình xong công việc là y, [ngày], y > 12.
Trong 1 ngày đội I và đội II làm được khối lượng công việc tương ứng là: $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$ .
Vì hai đội dự định làm chung trong 12 ngày thì xong KLCV do đó ta có phương trình [1] $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{12}$
Phần công việc hai đội làm chung trong 8 ngày là $\frac{8}{12}$ = $\frac{2}{3}$ [KLCV].
Phần việc còn lại đội II phải làm là: $1 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ [KLCV].
Vì năng suất tăng gấp đôi nên đội II đẵ làm xong $\frac{1}{3}$ phần việc còn lại trong 3,5 ngày do ta có phương trình:$$\frac{1}{2}. \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$$
Theo bài ra ta có hệ phương trình: $$\left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12} \\ & \frac{7}{y}=\frac{1}{3}. \\ \end{align} \right.$$Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{align}& x=28 \\& y=21 \\\end{align} \right.$
Vậy thời gian để đội I làm một mình xong công việc là: 28 [ngày].
Thời gian để đội II làm một mình xong công việc là: 21 [ngày].
Bài toán 6. [Dạng toán công việc chung, công việc riêng]
Hải và Sơn cùng làm một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong. Nếu Hải làm trong 5 giờ và Sơn làm trong 6 giờ thì cả hai làm được $\frac{3}{4}$ khối lượng công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong.
Lời Giải:
Gọi thời gian Hải làm một mình xong công việc là x [giờ], x > $\frac{22}{3}$.
Gọi thời gian Sơn làm một mình xong công việc là y [giờ], y > $\frac{22}{3}$.
Năng suất của Hải và Sơn tính theo giờ là: $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$.
Vì Hải và Sơn cùng làm một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong do đó ta có phương trình: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{3}{4}$.
Sau 5 giờ Hải làm được KLCV là: 5. $\frac{1}{x}$; sau 6 giờ Sơn làm được KLCV là: 6. $\frac{1}{y}$.
Vì Hải làm trong 5 giờ và Sơn làm trong 6 giờ thì cả hai làm được $\frac{3}{4}$ KLCV do đó ta có phương trình:$$\frac{5}{x} +\frac{6}{y} = \frac{3}{22}$$
Theo bài ra ta có hệ phương trình: $$\left\{ \begin{align}& \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{22} \\ & \frac{5}{x}+\frac{6}{y}=\frac{3}{4}. \\ \end{align} \right.$$ Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{align} & x=\frac{44}{3} \\ & y=\frac{44}{3} \\ \end{align} \right.$
Vậy Hải làm công việc đó một mình trong: 44/3 giờ , Sơn làm công việc đó một mình trong: 44/3 giờ.
Bài toán 7. [Dạng toán vòi nước chảy chung, chảy riêng]
Hai vòi nước chảy chung vào một bể thì sau 4$\frac{4}{5}$ giờ đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của vòi I chảy được bằng 1$\frac{1}{2}$ lượng nước chảy được của vòi II. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể.
Lời Giải:
Gọi thời gian để vòi I chảy một mình đầy bể là x, [giờ], x > $\frac{24}{5}$.
Gọi thời gian để vòi II chảy một mình đầy bể là y, [giờ], y > $\frac{24}{5}$.
Trong 1 giờ vòi I và vòi II chảy được lượng nước tương ứng là: $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$ [bể].
Vì hai vòi cùng chảy sau $\frac{24}{5}$ thì đầy bể do đó ta có phương trình [1] : $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{5}{24}$
Vì trong 1 giờ lượng nước chảy được của vòi I bằng $\frac{2}{3}$ lượng nước chảy được của vòi II do đó ta có phương trình [2]: $\frac{1}{x}$ = $\frac{3}{2}$. $\frac{1}{y}$ ;Theo bài ra ta có hệ phương trình:$$\left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24} \\ & \frac{1}{x}=\frac{3}{2}.\frac{1}{y}. \\ \end{align} \right.$$ Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{align} & x=8 \\ & y=12 \\ \end{align} \right.$
Vậy vòi I chảy một mình đầy bể trong 8 giờ, Vòi II chảy một mình đầy bể trong 12 giờ.
Bài toán 8. [Dạng toán vòi nước chảy chung, chảy riêng]
Một Máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm được 10m3. Sau khi bơm được $\frac{1}{3}$ dung tích bể chứa, người công nhân vận hành cho máy bơm công xuất lớn hơn mỗi giờ bơm được 15 m3. Do đó bể được bơm đầy trước 48 phút so với thời gian quy định. Tính dung tích của bể chứa.
Lời Giải:
Gọi dung tích của bể chứa là x, [m3], x > 0.
Ta có thời gian dự định để bơ m đầy bể là: $\frac{x}{10}$ [giờ].
Thời gian để bơm $\frac{1}{3}$ bể với công suất 10 m3/s là: $\frac{x}{30}$ [giờ].
Thời gian để bơm $\frac{2}{3}$ bể còn lại với công suất 15 m3/s là: $\frac{2x}{45}$.
Do công suất tăng khi bơm $\frac{2}{3}$ bể còn lại nên thời gian thời gian bơm đầy trước 48 phút so với quy định do đó ta có phương trình: $\frac{x}{10}$ – [$\frac{x}{30}$ + $\frac{2x}{45}$] = $\frac{4}{5}$ ; Giải PTBN ta được x = 36. Vậy dung tích bể chứa là 36 m3.
Bài toán 9. [Dạng toán vòi nước chảy chung, chảy riêng]
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy $\frac{2}{15}$ bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu mới đầy bể.
Lời Giải:
Gọi thời gian để Vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x, [phút], x > 80.
Gọi thời gian để Vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y, [phút], y > 80.
Công suất tính theo phút của Vòi thứ nhất là: $\frac{1}{x}$ [Bể], vòi thứ hai là $\frac{1}{y}$ [Bể].
Vì hai vòi cùng chảy sau 1 giờ 20 phút = 80 Phút, thì đầy bể do đó ta có phương trình [1] : $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{80}$
Sau 10 phút Vòi 1 chảy được: 10. $\frac{1}{x}$ [Bể]. ;Sau 12 phút Vòi 2 chảy được: 12. $\frac{1}{y}$ [Bể]
Vì nếu mở Vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và Vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy $\frac{2}{15}$ bể do đó ta có phương trình: $\frac{10}{x}$ + $\frac{12}{y}$ = $\frac{2}{15}$. Theo bài ra ta có hệ phương trình: $$\left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{80} \\ & \frac{10}{x}+\frac{12}{y}=\frac{2}{15} \\ \end{align} \right.$$ Giải hệ phương trình ta được: x= 120 phút, y = 240 phút.
Vậy thời gian vòi 1 chảy đầy bể là 120 phút, vòi 2 là 240 phút.