Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là kiến thức quan trọng và thường có trong đề thi THPT quốc gia. Mà đây là kiến thức nâng cao, nên còn rất nhiều em đang gặp khó khăn không biết cách tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Do vậy, bài viết hôm nay chúng tôi sẽ tổng hợp kiến thức lý thuyết, công thức, cách tính và cho một số bài tập về bán kính đường tròn nội tiếp tam giác để các em dễ hiểu.
>>Xem thêm:
Định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác đó [hoặc có thể gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn]
Tính chất đường tròn nội tiếp tam giác gồm:
- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác chính là giao điểm của 3 đường phân giác
- Trong tam giác đều, tâm của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp trùng nhau
Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng diện tích tam giác chia cho nửa chu vi
Trong đó: r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
S là diện tích tam giác
p là nửa chu vi tam giác
Công thức tính nửa chu vi tam giác là:
P = [a + b + c ]/2
Công thức tính diện tích tam giác là
S = p.r
Bài tập tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có lời giải chi tiết
Bài tập 1: Cho tam giác MNP biết MN = 8cm, MP = 9cm, NP = 11cm. Hỏi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?
Lời giải
Nửa chu vi tam giác MNP là:
Theo hê – rông, diện tích tam giác MNP là:
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP là:
Bài tập 2: Cho tam giác MNP đều cạnh 2a, Hỏi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?
Lời giải
Diện tích tam giác đều MNP là:
S = ½ MN.MP.sinM
= ½ .2a.2a.sin60o
= a2√3
Nửa chu vi tam giác MNP là:
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP là:
Bài tập 3: Cho tam giác ABC biết AB = 12cm, AC = 13cm, CD = 15cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Lời giải
Nửa chu vi tam giác ABC là:
Diện tích tam giác ABC là:
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:
Như vậy, trên đây là toàn bộ kiến thức về cách tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Hy vọng với những kiến thức trên sẽ giúp các em dễ hiểu, dễ nhớ công thức, có thể dễ dàng giải những bài toán từ cơ bản đến nâng cao, và đạt điểm tối đa môn Toán nhé.
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. Tâm của mỗi đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm hai đường phân giác của hai góc ngoài của tam giác hoặc giao điểm của tia phân giác của góc trong và một trong hai đường phân giác của góc ngoài không kề với nó.
Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!
Ví dụ:
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng các tiếp điểm trên cạnh BC của đường tròn bàng tiếp góc A và của đường tròn nội tiếp đối xứng với nhau qua trung điểm của BC.
Giải:
Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp, O là tâm của đường tròn bàng tiếp góc A, D là tiếp điểm của [I] trên BC. Gọi P, F, Q là tiếp điểm của [O] với các đường thẳng AB, BC, AC.
Đặt BC = a; AC = b; AB = c. Theo tính chất các tiếp tuyến của đường tròn [O]:
CF = CQ = AQ – AC [1]
AP + AQ = 2AQ = chu vi ABC [2]
Từ 1 và 2 suy ra:
Có thể bạn quan tâm: Tính chất đối xứng của đường tròn
2CF = 2QA – 2AC = [a + b + c] – 2b = a + c – b [3]
Theo tính chất các tiếp tuyến của đường tròn [I] ta có
2BD = a + c – b [4]
Từ 3 và 4 suy ra CF = BD.
Vậy D và F đối xứng với nhau qua trung điểm của BC.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Gọi a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác ABC; ha; hb; hc là các đường cao tương ứng; Ra; Rb; Rc là bán kính của các đường tròn bàng tiếp tương ứng; r là bán kính của đường tròn nội tiếp; p là nửa chu vi tam giác; S là diện tích tam giác. Chứng minh rằng:
S = Ra[p – a] = Rb[p – b] = Rc[p – c]; 1/r = 1/Ra + 1/Rb + 1/Rc; 1/Ra = 1/hc + 1/hb – 1/ha;
Bài 2: Tính cạnh huyền của một tam giác vuông, biết r là bán kính của đường tròn nội tiếp và R là bán kính của đường tròn bàng tiếp góc vuông.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi [P], [Q], [R] theo thứ tự là các đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C.
Gọi tiếp điểm của [Q], [R] trên đường thẳng BC theo thứ tự E, F. Chứng minh rằng CE = BF. Gọi H, I, K theo thứ tự là tiếp điểm của các đường tròn [P], [Q], [R] với các cạnh BC, AC, AB. Nếu AH = BI = CK thì tam giác ABC là tam giác gì?
Chia sẻ cùng gia sư Toán thủ khoa:
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Đã gửi 17-08-2017 - 18:43
Gọi R là bán kính đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Chứng minh rằng diện tích của tam giác ABC được tính theo công thức:$S=[p-a].R$
Gọi I là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC
Ta có
$S_{ABC}=S_{ABI}+S_{ACI}-S_{BIC}=\frac{Rb}{2}+\frac{Rc}{2}-\frac{Ra}{2}=R.\frac{b+c-a}{2}=R[p-a]$