Bài tập TOÁN cao cấp dạng toàn phương

dạng toàn phương Bài giảng Dạng toàn phương Dạng toàn phương xác định dấu Nhận dạng đườn Mặt bậc hai Nhận dạng đường và mặt bậc hai

Bạn đang xem: Bài tập dạng toàn phương có lời giải

pdf

pdf

pdf

pdf
hcmut.edu.vnTP. HCM — 2013.TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM]DẠNG TOÀN PHƯƠNGTP. HCM — 2013.1 / 43Nội dung123Định nghĩa dạng toàn phương. Phương phápbiến đổi trực giao, phương pháp biến đổiLagrange đưa dạng toàn phương về dạng chínhtắcDạng toàn phương xác định dấu: Luật quántính, tiêu chuẩn SylvesterNhận dạng đường và mặt bậc haiTS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM]DẠNG TOÀN PHƯƠNGTP. HCM — 2013.2 / 43Những khái niệm cơ bảnĐịnh nghĩaĐịnh nghĩaDạng toàn phương trong Rn là một hàm thựcf : Rn → R, ∀x = [x1, x2, . . . , xn ]T ∈ Rn :f [x] = x T .M.x, trong đó M là ma trận đối xứngthực và được gọi là ma trận của dạng toàn phương[trong cơ sở chính tắc].Ví dụf [x] = f [x1, x2] = 2x12 + 3x22 − 6x1x2 là dạng toàn2 −3phương. Ma trận M có dạng M =−3 3TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM]DẠNG TOÀN PHƯƠNGTP. HCM — 2013.3 / 43Những khái niệm cơ bảnĐịnh nghĩaDạng toàn phương trong R3 thường được ghi ởdạng f [x] = f [x1, x2, x3] =Ax12 + Bx22 + Cx32 + 2Dx1x2 + 2Ex1x3 + 2Fx2x3.Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trậnđối xứngA D EM =D B F E F C x1f [x1, x2, x3] = x T .M.x = [x1 x2 x3].M.  x2 x3TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM]DẠNG TOÀN PHƯƠNGTP. HCM — 2013.4 / 43Những khái niệm cơ bảnVí dụVí dụf [x] = f [x1, x2, x3] =x12 − 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 − x32 là 1 dạng toànphương. Ma trận của dạng toàn phương là1 −1 2M =  −1 0 1 2 1 −1TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM]DẠNG TOÀN PHƯƠNGTP. HCM — 2013.5 / 43Những khái niệm cơ bảnĐưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giaoCho dạng toàn phương f [x] = x T .M.x, vớix = [x1, x2, x3]T . Vì M là ma trận đối xứng thựcnên M chéo hóa được bởi ma trận trực giao P vàma trận chéo D : D = P T MP ⇒ M = PDP T .Khi đóf [x] = x T .P.D.P T .x = [P T .x]T .D.[P T .x]. Đặty = P T .x = P −1x ⇔ x = Py . Tacóg [y ]=λ1 0 0y1y T Dy = [y1, y2, y3]  0 λ2 0   y2  . Vậy0 0 λ3y3f [x] = g [y ] = λ1y12 + λ2y22 + λ3y32.TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM]DẠNG TOÀN PHƯƠNGTP. HCM — 2013.6 / 43Những khái niệm cơ bảnĐưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giaoĐịnh nghĩaDạng toàn phương g [y ] = y T Dy được gọi là dạngchính tắc của dạng toàn phương f [x] = x T Mx.Định lýDạng toàn phương f [x] = x T Mx luôn luôn có thểđưa về dạng chính tắc g [y ] = y T Dy bằng cáchchéo hóa trực giao ma trận M của dạng toànphương.TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM]DẠNG TOÀN PHƯƠNGTP. HCM — 2013.7 / 43Những khái niệm cơ bảnĐưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giaoĐưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biếnđổi trực giaoBước 1. Viết ma trận M của dạng toàn phương[trong cơ sở chính tắc]Bước 2. Chéo hóa M bởi ma trận trực giao P vàma trận chéo D.Bước 3. Kết luận: dạng chính tắc cần tìm làg [y ] = y T Dy . Phép biến đổi cần tìm x = Py .TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM]DẠNG TOÀN PHƯƠNGTP. HCM — 2013.8 / 43Những khái niệm cơ bảnVí dụVí dụĐưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắcbằng phép biến đổi trực giaof [x1, x2, x3] = −4x1x2 − 4x1x3 + 3x22 − 2x2x3 + 3x32Ma trận của0M =  −2−2dạng toànphương−2 −23 −1 −1 3TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM]DẠNG TOÀN PHƯƠNGTP. HCM — 2013.9 / 43Những khái niệm cơ bảnVí dụ−λ −2−2det[M − λI ] = −2 3 − λ −1 = 0−2 −1 3 − λ⇔ −λ3 + 6λ2 − 32 = 0 ⇔ λ1 = −2, λ2 = λ3 = 4.Xác địnhtrận trực giao. Với λ1 = −2, ta có ma P∗1 = P∗2 = √261√ . Với λ2 = λ3 = 4,6 √16− √230− √15√2  , P∗3 =  − √13055√030TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM]DẠNG TOÀN PHƯƠNGta có.TP. HCM — 2013.10 / 43

Xem thêm: Đề Thi Thử Thpt Quốc Gia 2019 Môn Toán, Đề Thi Thpt Quốc Gia 2019 Môn Toán Có Đáp Án

Đồ án tốt nghiệp Cách dạy trẻ Đơn xin việc Bài tiểu luận Kỹ năng Ôn thi Đề thi Violympic Mẫu tờ trình Đơn xin nghỉ việc Trắc nghiệm Mẫu giấy ủy quyền

44

337 KB

4

168

Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu

Đang xem trước 10 trên tổng 44 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên

DẠNG TOÀN PHƯƠNG Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM] DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 1 / 43 Nội dung 1 2 3 Định nghĩa dạng toàn phương. Phương pháp biến đổi trực giao, phương pháp biến đổi Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Dạng toàn phương xác định dấu: Luật quán tính, tiêu chuẩn Sylvester Nhận dạng đường và mặt bậc hai TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM] DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 2 / 43 Những khái niệm cơ bản Định nghĩa Định nghĩa Dạng toàn phương trong Rn là một hàm thực f : Rn → R, ∀x = [x1, x2, . . . , xn ]T ∈ Rn : f [x] = x T .M.x, trong đó M là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của dạng toàn phương [trong cơ sở chính tắc]. Ví dụ f [x] = f [x1, x2] = 2x12 + 3x22 − 6x1 x2 là dạng  toàn 2 −3 phương. Ma trận M có dạng M = −3 3 TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM] DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 3 / 43 Những khái niệm cơ bản Định nghĩa Dạng toàn phương trong R3 thường được ghi ở dạng f [x] = f [x1, x2, x3] = Ax12 + Bx22 + Cx32 + 2Dx1x2 + 2Ex1x3 + 2Fx2x3. Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận đối xứng   A D E M =D B F  E F C   x1 f [x1, x2, x3] = x T .M.x = [x1 x2 x3].M.  x2  x3 TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM] DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 4 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ Ví dụ f [x] = f [x1, x2, x3] = x12 − 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 − x32 là 1 dạng toàn phương. Ma trận của dạng toàn phương là   1 −1 2 M =  −1 0 1  2 1 −1 TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM] DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 5 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Cho dạng toàn phương f [x] = x T .M.x, với x = [x1, x2, x3]T . Vì M là ma trận đối xứng thực nên M chéo hóa được bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D : D = P T MP ⇒ M = PDP T . Khi đó f [x] = x T .P.D.P T .x = [P T .x]T .D.[P T .x]. Đặt y = P T .x = P −1x ⇔  x = Py . Tacóg [y ]= λ1 0 0 y1 y T Dy = [y1, y2, y3]  0 λ2 0   y2  . Vậy 0 0 λ3 y3 f [x] = g [y ] = λ1y12 + λ2y22 + λ3y32. TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM] DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 6 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Định nghĩa Dạng toàn phương g [y ] = y T Dy được gọi là dạng chính tắc của dạng toàn phương f [x] = x T Mx. Định lý Dạng toàn phương f [x] = x T Mx luôn luôn có thể đưa về dạng chính tắc g [y ] = y T Dy bằng cách chéo hóa trực giao ma trận M của dạng toàn phương. TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM] DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 7 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao Bước 1. Viết ma trận M của dạng toàn phương [trong cơ sở chính tắc] Bước 2. Chéo hóa M bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D. Bước 3. Kết luận: dạng chính tắc cần tìm là g [y ] = y T Dy . Phép biến đổi cần tìm x = Py . TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM] DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 8 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ Ví dụ Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao f [x1, x2, x3] = −4x1x2 − 4x1x3 + 3x22 − 2x2x3 + 3x32 Ma trận  của 0 M =  −2 −2 dạng toànphương −2 −2 3 −1  −1 3 TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM] DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 9 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ −λ −2 −2 det[M − λI ] = −2 3 − λ −1 = 0 −2 −1 3 − λ ⇔ −λ3 + 6λ2 − 32 = 0 ⇔ λ1 = −2, λ2 = λ3 = 4. Xác định trận trực giao. Với λ1 = −2, ta có  ma   P∗1 =    P∗2 =  √2 6 1 √  . Với λ2 = λ3 = 4, 6  √1 6   − √230 − √15   √2  , P∗3 =  − √1 30 5 5 √ 0 30 TS. Lê Xuân Đại [BK TPHCM] DẠNG TOÀN PHƯƠNG ta có   . TP. HCM — 2013. 10 / 43

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.