Bài tập phương trình chứa tham số lớp 9

CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A. Lý thuyết

I.  Ứng dụng hệ thức Vi-ét:

Xét phương trình bậc hai: \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left[ * \right]\text{ ,}\left[ a\ne 0 \right],\Delta ={{b}^{2}}-4ac\].

Gọi \[S\], \[P\] lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm \[{{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\].

Hệ thức Viét: 

• Điều kiện \[PT\,\left[ * \right]\] có hai nghiệm trái dấu \[\Leftrightarrow P0\]

\[\Leftrightarrow {{\left[ -m \right]}^{2}}-4.\frac{1}{2}.\left[ \frac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1 \right]>0\Leftrightarrow -8m+2>0\Leftrightarrow m5\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m-5>0$

$\Leftrightarrow \Delta -\left[ 2{{m}^{2}}-4m-5 \right]

$\Leftrightarrow {{m}^{4}}-2{{m}^{2}}+1

$\Delta $ không là số chính phương.

Vậy $m=2$là giá trị cần tìm

Câu 5:

a]     ${{\Delta }^{'}}={{\left[ -\left[ m-1 \right] \right]}^{2}}-1.\left[ m-3 \right]={{m}^{2}}-3m+4={{\left[ m-\frac{3}{2} \right]}^{2}}+\frac{7}{4}>0$, $\forall m$

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

b] Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

$\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-4=0$ không phụ thuộc vào $m$.

c] $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4{{\left[ m-1 \right]}^{2}}-2\left[ m-3 \right]$

$={{\left[ 2m-\frac{5}{2} \right]}^{2}}+\frac{15}{4}\ge \frac{15}{4}$, $\forall m$

Do đó ${{P}_{\min }}=\frac{15}{4}$ và dấu $''=''$ xảy ra khi $2m-\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{4}$

Vậy ${{P}_{\min }}=\frac{15}{4}$ với $m=\frac{5}{4}$.

Câu 6:

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Ta có \[M=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1}{x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}}=\frac{{{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}=\frac{{{m}^{2}}-2\left[ m-1 \right]-1}{\left[ m-1 \right]m}\]

\[=\frac{{{m}^{2}}-2m+1}{m\left[ m-1 \right]}=\frac{{{\left[ m-1 \right]}^{2}}}{m\left[ m-1 \right]}\]

Để $M>0\Rightarrow \frac{{{\left[ m-1 \right]}^{2}}}{m\left[ m-1 \right]}>0\Rightarrow m\left[ m-1 \right]>0$

1. Ta có $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1={{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1={{m}^{2}}-2\left[ m-1 \right]-1$

$={{m}^{2}}-2m+1={{\left[ m-1 \right]}^{2}}\ge 0$, $\forall m$

Do đó ${{P}_{\min }}=0$ và dấu $''=''$ xảy ra khi $m-1=0\Leftrightarrow m=1$

Vậy ${{P}_{\min }}=0$ với $m=1$.

Câu 7:

Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là 

Theo hệ thức Vi-ét:

Ta có $\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}\le \sqrt{2}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\le 2$

     $\Leftrightarrow 2m+2+2\sqrt{2m}\le 2\Leftrightarrow m=0$ [thoả mãn]

Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm.

Câu 8:

Ta có $\Delta ={{\text{ }\!\![\!\!\text{ -[m+1] }\!\!]\!\!\text{ }}^{\text{2}}}-4m={{m}^{2}}-2m+1={{[m-1]}^{2}}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta >0\Rightarrow {{\left[ m-1 \right]}^{2}}>0\Rightarrow m\ne 1$

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Ta có $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}+2007={{x}_{1}}{{x}_{2}}\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]+2007$

$=m\left[ m+1 \right]+2007={{m}^{2}}+m+2007={{m}^{2}}+2.m.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+2006+\frac{3}{4}$

$={{\left[ m+\frac{1}{2} \right]}^{2}}+\frac{8027}{4}\ge \frac{8027}{4}$, $\forall m$

Dấu $''=''$ xảy ra $m+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}$

Vậy ${{A}_{\min }}=\frac{8027}{4}$ với $m=-\frac{1}{2}$.

Câu 9:

Ta có $\Delta ={{\left[ 2m \right]}^{2}}-4.1.\left[ 2m-1 \right]=4{{m}^{2}}-8m+4=4{{\left[ m-1 \right]}^{2}}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta >0\Rightarrow {{\left[ m-1 \right]}^{2}}>0\Rightarrow m\ne 1$

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Ta có $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}={{x}_{1}}{{x}_{2}}\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]$

$=m\left[ m+1 \right]+2007=\left[ 2m-1 \right]\left[ -2m \right]=-4{{m}^{2}}+2m=-4\left[ {{m}^{2}}-\frac{1}{2}m \right]$

$=-4\left[ {{m}^{2}}-2.m.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16} \right]=-4{{\left[ m-\frac{1}{4} \right]}^{2}}+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}$, $\forall m$

Dấu $''=''$ xảy ra $m-\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$

Vậy ${{A}_{\operatorname{m}\text{ax}}}=\frac{1}{4}$ với $m=\frac{1}{4}$.

Câu 10:

1. Ta có $\Delta ={{\left[ -2\left[ m-1 \right] \right]}^{2}}-4.1.\left[ 2m-5 \right]=4{{m}^{2}}-12m+22$

$={{\left[ 2m \right]}^{2}}-2.2m.3+9+13={{\left[ 2m+3 \right]}^{2}}+13>0$, $\forall m$

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có 

 [I]

Theo giả thiết 

 [II]

Thay [I] vào [II] ta có:

$\left[ 2m-5 \right]-\left[ 2m-2 \right]+1

Vậy với mọi $m$ thì phương trình trên có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn ${{x}_{1}}0\], \[\forall m\]

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$.

1. Vì $a+b+c=1-m+m-2=-1\ne 0$,  \[\forall m\] nên phương trình có 2 nghiệm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\ne 1\], \[\forall m\].

Phương trình  \[{{x}^{2}}-mx+m-2=0\Rightarrow {{x}^{2}}-2=mx-m\]

Ta có \[\frac{x_{1}^{2}-2}{{{x}_{1}}-1}.\frac{x_{2}^{2}-2}{{{x}_{2}}-1}=4\Leftrightarrow \frac{m{{x}_{1}}-m}{{{x}_{1}}-1}.\frac{m{{x}_{2}}-m}{{{x}_{2}}-1}=4\]\[\Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}[{{x}_{1}}-1][{{x}_{2}}-1]}{[{{x}_{1}}-1][{{x}_{2}}-1]}=4\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow m=\pm 2\]

Vậy $m=\pm 2$ là các giá trị cần tìm.

Câu 12:

1. Ta có $a.c=1.\left[ -1 \right]=-1

       b. Ta có 

 do \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là nghiệm của phương trình [1].

Do đó $P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}=\frac{m{{x}_{1}}+1+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\frac{m{{x}_{2}}+1+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}$

$=\frac{{{x}_{1}}\left[ m+1 \right]}{{{x}_{1}}}-\frac{{{x}_{2}}\left[ m+1 \right]}{{{x}_{2}}}=\left[ m+1 \right]-\left[ m+1 \right]=0$ vì \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\]$\ne 0$.

Vậy $P=0$.

Câu 13:

1. $\Delta ={{\left[ -\left[ 2m-1 \right] \right]}^{2}}-4.1.\left[ {{m}^{2}}-1 \right]=-4m+5$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0\Leftrightarrow -4m+5>0\Leftrightarrow m0\Leftrightarrow 8m>0\Leftrightarrow m>0$

Theo hệ thức Vi-ét, ta có  

 [I]

Ta có \[x_{2}^{2}[x_{1}^{2}-1]+x_{1}^{2}[x_{2}^{2}-1]=8\Leftrightarrow 2{{\left[ {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}-[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}]=8\]

\[\Leftrightarrow 2{{\left[ {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}-\left[ {{[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}]}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=8\] [II]

Thay [I] vào [II] ta có:

\[2{{[-2m+1]}^{2}}-\left[ 4-2\left[ -2m+1 \right] \right]=8\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-3m-2=0\] 

So với điều kiện có nghiệm $m>0$.

Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.

Câu 15:

Do \[4+\sqrt{3}\] là nghiệm của phương trình nên thỏa:

${{\left[ 4+\sqrt{3} \right]}^{2}}-8\left[ 4+\sqrt{3} \right]+m=0$

$\Leftrightarrow m-13=0\Leftrightarrow m=13$

Thay \[m=13\]vào phương trình ta được phương trình: \[{{x}^{2}}-8x+13=0\] $\left[ * \right]$

${{\Delta }^{'}}={{\left[ -4 \right]}^{2}}-1.13=3$

Phương trình $\left[ * \right]$ có hai nghiệm phân biệt là: 

Vậy $x=4-\sqrt{3}$ là giá trị cần tìm.

Câu 16:

1. Ta có $\Delta ={{\left[ -\left[ 2m+1 \right] \right]}^{2}}-4.1.\left[ {{m}^{2}}+m-1 \right]=5>0$, $\forall m$.

Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Ta có $A=\left[ 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right]\left[ 2{{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right]=5{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left[ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right]=9{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2{{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{2}}$

$=9\left[ {{m}^{2}}+m-1 \right]-2{{\left[ 2m+1 \right]}^{2}}={{m}^{2}}+m-11$

$={{m}^{2}}+2.m.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-11={{\left[ m+\frac{1}{2} \right]}^{2}}-\frac{45}{4}\ge -\frac{45}{4}$, $\forall m$

Dấu $''=''$ xảy ra $m+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}$

Vậy ${{A}_{\min }}=-\frac{45}{4}$ với $m=-\frac{1}{2}$.

Câu 17:

1. ${{\Delta }^{'}}={{\left[ -m \right]}^{2}}-1.\left[ {{m}^{2}}-\frac{1}{2} \right]=\frac{1}{2}>0$, $\forall m$.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.

         b. Hai nghiệm của phương trình là  

Theo đề bài ta có $\left| m-\frac{\sqrt{2}}{2} \right|=\left| m+\frac{\sqrt{2}}{2} \right|\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\sqrt{2}m+\frac{1}{2}={{m}^{2}}+\sqrt{2}m+\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}m=0\Leftrightarrow m=0$

  c. Theo định lý Pitago ta có: ${{\left[ m-\frac{\sqrt{2}}{2} \right]}^{2}}+{{\left[ m+\frac{\sqrt{2}}{2} \right]}^{2}}=9\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-8=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4=0$ 

Câu 18:

1. Vì phương trình ${{x}^{2}}-2x+m+3=0$ có nghiệm $x=-1$ nên ta có:

    ${{[-1]}^{2}}-2.[-1]+m+3=0\Leftrightarrow m+6=0\Leftrightarrow m=-6$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

    ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\Leftrightarrow -1+{{x}_{2}}=2\Leftrightarrow {{x}_{2}}=3$

Vậy $m=6$ và nghiệm còn lại là $x=3$.

1. $\Delta '={{1}^{2}}-1.\left[ m+3 \right]=-m-2$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {{\Delta }^{'}}>0\Leftrightarrow m0\Leftrightarrow m0\] nên phương trình $\left[ 1 \right]$ có hai nghiệm phân biệt: \[{{m}_{1}}=-3+\sqrt{31};\,{{m}_{2}}=-3-\sqrt{31}\]

Vậy \[m\in \left\{ -3+\sqrt{31};\,-3-\sqrt{31} \right\}\]

Bài viết gợi ý:

Video liên quan