Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB = DC thì AD = BCBài 4: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB,BC, CD, DA. Chứng minh: MN=QP;Hƣớng dẫnNP= MQBài 1:Cách 1: EF là đường trung bình của ∆ ABC nên EF//CD,A1EF= BC=CD⇒ EF=CD⇒ EF CD[1]2EF cùngEFhướng CD [2]Từ [1],[2] ⇒ EF = CDDBHình 2.7Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành1EF= BC=CD và EF//CD⇒ EFDC là hình bình hành⇒ EF = CD2Bài 2:Chứng minh chiều thuận [ ⇒]:AB // CD* ABCD là hình bình hành ⇒ AB = AB //CD* AB =CD⇒ AB = DCChứng minh chiều đảo [ ⇐]:Hình 2.8AB* AB = DC ⇔ AB , DC cùng hướng vàABCD* AB và DC cùng hướng ⇒ AB // CD [1]*=⇒ AB = CD [2].Từ [1] và [2] suy ra ABCD là hình bình hànhBài 3:DC=C AB = DC ⇒ AB=DC, AB]/CD⇒ABCD là hình bình hành ⇒ AD = BC 1Bài 4: MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng AC và MN//PQ //AC.2Vậy MNPQ là hình bình hành ⇒ ĐPCM.Nếu HS nắm vững các kiến thức cơ bản và giải được một số dạng bài tậpở nút 3 thì tiếp tục chuyển sang nút 4. Nút 4 trình bày các vấn đề nhằm mởrộng, đào sâu, nâng cao nội dung về vectơ.Nút 4: Mở rộng/đào sâu/nâng cao[1] Hệ tiên đề Weyl [lấy điểm, vectơ làm khái niệm cơ bản để định nghĩa đườngthẳng, mặt phẳng và các khái niệm khác của Hình học không gian];Không gian Ơ-clit 2 và 3 chiều chỉ là trường hợp riêng của không gianƠ-clit n chiều [n∈N].Để xây dựng không gian n-chiều tốt nhất là dùng hệ tiên đề do HermannWeyl đề nghị năm 1918, được trình bày dưới đây [H. Weyl 1885-1955, nhàtoán học người Đức]. Cho không gian vector n-chiều V.Không gian afin n-chiều: Giả sử ta có một tập hợp A không rỗng màmỗi phần tử của nó được gọi là điểm [khái niệm cơ bản]. Tập A được gọi làkhông gian afii n-chiều liên kết với không gian vectơ n-chiều V nếu các tiên đềsau đây được thỏa mãn:Tiên đề 1: Với bất kì cặp điểm có thứ tự A, B của A có thể xác địnhđược một vector của V, mà ta sẽ kí hiệu là vectơ AB.Tiên đề 2: Với mỗi điểm A cho trước của A và mỗi vectơ u cho trướccủa V, có duy nhất một điểm B của A sao cho AB = u .Tiên đề 3: Với bất kì ba điểm A, B, C của A ta có:AB = AC + CBKhông gian afin 2-chiều được gọi là mặt phẳng afin.Không gian vector Ơ-clit: Không gian vectơ n-chiều V, trên đó có xácđịnh phép toán tích vô hướng: với hai vectơ a, b bất kì của V ta cho tương ứng với một số thực, kí hiệu là a.b, sao cho các tiên đề dưới đây được thỏa mãn,được gọi là không gian vectơ Ơ-clit n-chiều; Các tiên đề đó là:1. Với mọi vectơ a, b của V, có: a.b = b.a2. Với mọi vectơ a, b của V và một số thực tùy ý k, có: [k.a].b = k.[a.b]3. Với mọi vectơ a, b, c của V, có: a.[b + c] = a.b + a.c4. Với mọi vectơ a ≠ 0 của V, có: a.a > 0Với vector a tùy ý, tích vô hướng a.a được kí hiệu làa2 > 0 ,a2 , chú ý rằnga2được gọi là độ dài của vector a và kí hiệu là a , tức làaa2Không gian Ơ-clit n-chiều: Nếu V là một không gian vectơ Ơ-clit nchiều [xem định nghĩa ở trên] thì không gian afin A liên kết với V gọi là khônggian Ơ-clit n-chiều.Không gian Ơ-clit thường được kí hiệu là E.Không gian Ơ-clit 2 chiều được gọi là mặt phẳng Ơ-clit.Trong hệ tiên đề Weyl, “điểm” là khái niệm cơ bản, còn các khái niệmkhác như: đường thẳng, mặt phẳng, ở giữa, độ dài đoạn thẳng, số đo góc… đềuđược định nghĩa.Định nghĩa: Giả sử A là không gian afin liên kết với không gian vectơV. Cho điểm A thuộc A và vector a khác vectơ - không của V. Tập hợp cácđiểm M của A sao cho AM = k.u , với mọi số thực k, gọi là một đường thẳng.Điểm B gọi là nằm giữa A và C nếu có số k < 0 sao cho BA = k.BC .Độ dài đoạn thẳng AB trong không gian Ơ-clit là độ dài của vectơ AB.Số đo góc giữa hai vector u và v là số thực φ được xác định bởi côngthức cosϕ=u v. .u v Từ đó, ta có thể định nghĩa góc giữa hai đường thẳng và sự vuông gócgiữa hai đường thẳng.Trong trường hợp n=3, ta chứng minh được hệ tiên đề Weyl không gianƠ-clit 3 chiều tương đương với hệ tiên đề Hin-be và tương đương với hệ tiên đềở phổ thông nói trên.Nút 5: Ứng dụng kiến thức vào thực tiễnTrong nút 5 [Ứng dụng kiến thức vào thực tiễn] chúng tôi trình bày mộtsố ứng dụng của vectơ trong khoa học kỹ thuật; một số bài toán trong thực tiễnmà việc giải nó liên quan đến kiến thức về vectơ.Vectơ thường được ứng dụng nhiều trong việc điều hướng, như điềuhướng máy bay trên đường hàng không, điều hướng thuyền bơi trên mặt nước...Ví dụ, khi một chiếc thuyền băng qua một con sông chảy, ta cần phải xácđịnh được các yếu tố: điểm xuất phát, điểm đích trên bờ đối diện, vận tốc dòngchảy, để từ đó xác định phương và vận tốc cho thuyền một cách thích hợp. Điềunày chỉ có thể được biết được nhờ các ứng dụng của vectơ, đó chính làmột vectơ vậntốc.Vận tốc của thuyền phụthuộc vào vận tốc dòng nướcVậntốcthựccủathuyềnkhi điquasôngVậntốcdòngnướcHình 2.9Nút 6: Những bài giảng hayKhi HS hoặc GV muốn tham khảo các bài giảng hay liên quan đến vectơthì vào nút 6. Chúng tôi sẽ tích hợp trên trang web liên kết sau để học sinh tham khảo bài “Các định nghĩa”: //www.youtube.com/watch?v=1v2cDA7f44k;//www.youtube.com/watch?v=MQBWXr2vRgA.Nút 7: Lịch sử vấn đề, bối cảnh này sinh những tƣ tƣởng toán họcVectơ là một khái niệm nền tảng của toán học và có nhiều ứng dụngtrong Vật lý. Ý tưởng đầu tiên về vectơ trong việc sử dụng hình bình hành đểbiểu diễn hợp của hai lực, một cách làm khá phổ biến ở thế kỷ 16 - 17. Tuynhiên, không phải khái niệm vectơ toán học và phép cộng vectơ đã được biết ởthời kỳ này.Quy tắc bình hành bổ sung cho lý thuyết vectơ là rất trực quan nhưngnguồn gốc của nó không rõ ràng. Nó có thể đã xuất hiện trong một tác phẩm bịmất của Aristotle [384-322 trước Công nguyên], và nó đang ở trong kỹ thuật cơkhí của Heron [thế kỷ thứ nhất sau công nguyên] của Alexandria. Đây cũng làhệ quả tất yếu đầu tiên trong Principia Mathematica năm 1687 của IsaacNewton [1642 - 1727]. Trong Principia, Newton xử lý rộng rãi với những gìbây giờ được coi là đơn vị vectơ [ví dụ như vận tốc, lực], nhưng chưa kháiniệm về một vectơ. Nghiên cứu có hệ thống và sử dụng các vectơ xuất hiệncuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20.Việc nghiên cứu lịch sử đã chỉ ra rằng khái niệm vectơ được nảy sinh từhai xu hướng nghiên cứu sau:- Xây dựng các hệ thống tính toán trong nội tại hình học.- Liên quan đến việc mở rộng số thực.[I]. HỆ THỐNG TÍNH TOÁN ĐẦU TIÊN TRONG NỘI TẠI HÌNH HỌC[1]. Leibniz và hình học vị tríÝ tưởng đầu tiên về sáng tạo ra một hệ thống tính toán trong nội tại hìnhhọc thuộc về Leibniz [1646 - 1716], xuất phát từ nhận xét rằng phương phápgiải tích của Descartes và Fermat. Nó cung cấp một công cụ khá mạnh cho việcgiải các bài toán hình học nhưng lại tạo ra tấm màn che lấp đi trực giác hình học.Leibniz muốn tìm cách đại số hóa hình học nhưng không thoát khỏiphạm vi hình học. Với ý định đó Leibniz đã xây dựng hình học vị trí, lý thuyết này được hình thành trên hệ tương đẳng “Hai cặp điểm được gọi là tương đẳngnếu các khoảng cách giữa ai điểm của từng cặp bằng nhau, hai bộ ba điểm đượcgọi là tương đẳng nếu hai tam giác giữa chúng chồng khít lên nhau”. Với kháiniệm tương đẳng ông đã giải quyết được một vài bài toán khá cơ bản nhưng chỉdừng lại ở đó.Hình học vị trí không đáp ứng được những mong muốn của Leibniz vìkhi xem xét quan hệ giữa hai điểm với khái niệm tương đẳng chỉ giữ lại độ dài.Hơn nữa trong hình học vị trí Leibniz không định nghĩa phép toán trên các đốitượng hình học.[2]. Tính toán tâm tỉ cự của MobiusAugust Ferdiman Mobius [1790 - 1866] không trực tiếp xây dựng nên lýthuyết vectơ nhưng ông lại chiếm một vị trí quan trọng trong lịch sử hình thànhlý thuyết này. Kết quả ông công bố năm 1827 là một mô hình toán học giốngvới hệ thống vectơ ngày nay trên khá nhiều phương diện.Một trong những tư tưởng cốt lõi và mới mẻ của Mobius liên quan đếnsự định hướng các hình trong không gian. Xuất phát điểm, ông xem xét quan hệgiữa các đoạn thẳng cộng tuyến, tư tưởng của ông là sự thay đổi về chiều ứngvới sự thay đổi về dấu, chẳng hạn như AB = -BA. Sau đó ông đưa vào phépcộng các đoạn thẳng cộng tuyến rồi mở rộng quy tắc dấu và quy tắc cộng.Năm 1843, Mobius khái quát phép cộng và trừ các đoạn thẳng [địnhhướng] cộng tuyến, nhưng đồng phẳng. Năm 1862, ông xây dựng phép nhânhình học hai đoạn thẳng. Tích hình học của Mobius bằng tích vectơ ngày nayvề phương diện số nhưng không đồng nhất. Sau đó ông xây dựng tích chiếu củahai đoạn thẳng định hướng [tương đương với tích vô hướng ngày nay].Phát minh của Mobius là một kết quả rất quan trọng đối với sự phát sinhtính toán vectơ.[3]. Tính toán tƣơng đẳng của BellavitisNăm 1883 nhà toán học người Ý Bellavitis công bố các tính toán cáctương đẳng của mình. Theo định nghĩa của Bellavitis, hai đoạn thẳng được gọi là tương đương nếu chúng song song, cùng hướng và có độ dài bằng nhau.Trong lý thuyết của mình, Bellavitis định nghĩa phép cộng của hai haynhiều đoạn thẳng bằng cách sử dụng quan hệ tương đẳng. Ngoài ra ông cònđịnh nghĩa tích của một đoạn thẳng với một số.Ta thấy mô hình của Bellavitis chứa nhiều yếu tố của lý thuyết vectơ hiệnđại. Hơn nữa, Bellavitis đã thành công trong việc xây dựng một cấu trúc đại sốtrên các đối tượng hình học mà không cần bất cứ một trung gian đạisố nào.Bellavitis thử mở rộng lý thuyết của mình ra trong không gian nhưngkhông thành công. Khó khăn mà ông gặp phải là định nghĩa tích của hai đoạnthẳng vì khái niệm độ nghiêng không xác định khi ở trong không gian.[II]. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨCNgay từ thế kỷ 15 việc mở rộng các tính toán đại số đã đòi hỏi phải đưavào khái niệm căn bậc hai của số âm. Một số người tìm cách giải quyết vấn đềnày với sự giúp đỡ của hình học. Chính trong quá trình tìm cách biểu diễn hìnhhọc các số phức mà họ đã đi đến tính toán vectơ.Vectơ đã được sinh ra trong hai thập kỷ đầu tiên của thế kỷ 19 với chứcnăng đại diện hình học của số phức. Caspar Wessel [1745 - 1818], Jean RobertArgand [1768 - 1822], Carl Friedrich Gauss [1777 - 1855], và ít nhất một hoặchai người khác quan niệm của số phức như điểm trên mặt phẳng hai chiều, nhưlà vectơ hai chiều. Nhà toán học và các nhà khoa học đã làm việc với và ápdụng những con số mới bằng nhiều cách khác nhau; ví dụ, Gauss đã sử dụngtầm quan trọng của số phức để chứng minh định lý cơ bản của Đại số [1799].Năm 1837, William Rowan Hamilton [ 1805-1865 ] cho thấy rằng những consố phức tạp có thể được xem xét một cách trừu tượng như cặp có thứ tự [a, b ]các số thực. Ý tưởng này là một phần ý tưởng nghiên cứu của nhiều nhà toánhọc, bao gồm cả Hamilton trong việc nghiên cứu mở rộng "số" hai chiều lên ba chiều; nhưng không ai có thể thực hiện điều này, trong khi vẫn giữ các tính chấtđại số cơ bản của số thực.Việc biểu diễn hình học của các đại lượng ảo được soạn thảo độc lập vớinhau bởi 5 nhà toán học là: Caspar Wessel, Argand, Mourey, Warren, Buee.Như vậy, lịch sử hình thành lý thuyết vectơ chỉ cho ta những khó khăn,trở ngại mà các nhà toán học phải vượt qua luôn liên quan đến việc định hướngcác đối tượng hình học và việc xây dựng các phép toán nhân trên các đườngđịnh hướng.Nút 8: Kiểm tra đánh giáHọc xong các kiến thức, HS có thể kiểm tra khả năng nhận thức củamình qua các bài kiểm tra trong nút này. Trong bài kiểm tra có nhiều hình thứcnhư: câu hỏi đúng sai, trắc nghiệm chọn một phương án đúng, chọn nhiềuphương án đúng, điền khuyết… bài kiểm tra được thiết kế trên các phần mềmtương tác như: Adobe Presenter, Lecture Maker, Violet, QuizCreator,…Đây là giao diện bài kiểm tra được thiết kế trên phần mềm LectureMaker 2.0Hình 2.10 Sau đây là một bài kiểm tra đánh giá cho học sinh sau khi học xong.Câu 1: Chọn khẳng định đúngA] Hai vectơ có giá vuông góc thì cùng phương.B] Hai vectơ cùng phương thì giá của chúng song song.C] Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng.D] Hai vectơ cùng ngược hướng với vectơ thứ ba thì cùng hướng.→ có điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 6 điểmCâu 2: Số các vectơ khác 0phân biệt cho trước làA] 12B] 21C] 27→Câu 3: Cho ngũ giác ABCDE, số các véctơ khác 0D] 30có điểm đầu và điểmcuối là các đỉnh của ngũ giác bằng?A] 25B] 20C] 18D] 10Câu 4: Cho hình bình hành ABCD, ta có:A]AB =CDB]AO =COC]OB =ODD]BC = ADCâu 5: Cho hình thoi ABCD có BAC=60o, AB=1. Độ dài của AC là:A]1B] 3C]123D] 2Câu 6: Cho tứ giác ABCD có AB = DC . Tứ giác ABCD là:A] hình bình hành B] hình chữ nhật C] hình thoiCâu 7: Các khẳng định sau, câu nào đúng, câu nào sai?A]a, b cùnga b phương thì chúng cùng hướng.B] a, b cùng hướng thì chúng cùng phương.C] NếuD]thì a bNếu AB,AC cùng hướng thì A,B,C thẳng hàng.Câu 8: Ứng dụng của vectơ trong thực tiễn làD] hình vuông A] Điều hướng máy bay trên đường hàng không?B] Điều hướng thuyền trên đường thủy.