- LG a
- LG b
Cho elip [E]: \[9{x^2} + 25{y^2} = 225\].
LG a
Tìm tọa độ hai điểm \[{F_1}\], \[{F_2}\] và các đỉnh của [E].
Phương pháp giải:
- Đưa phương trình \[\left[ E \right]\] về dạng chính tắc rồi suy ra \[a,b\].
- Tính \[c\] theo công thức \[{c^2} = {a^2} - {b^2}\] và suy ra tọa độ các tiêu điểm.
Giải chi tiết:
[E]: \[9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\].
a] Ta có: \[{a^2} = 25,{b^2} = 9\]\[ \Rightarrow a = 5,b = 3\].
Ta có : \[{c^2} = {a^2} - {b^2} = 16\]\[ \Rightarrow c = 4\].
Vậy [E] có hai tiêu điểm là : \[{F_1}\left[ { - 4;0} \right]\] và \[{F_2}\left[ {4;0} \right]\] và có bốn đỉnh là \[{A_1}\left[ { - 5;0} \right]\], \[{A_2}\left[ {5;0} \right]\], \[{B_1}\left[ {0; - 3} \right]\], \[{B_2}\left[ {0;3} \right]\].
LG b
Tìm điểm \[M \in [E]\] sao cho \[M \] nhìn \[{F_1}{F_2}\] dưới một góc vuông.
Phương pháp giải:
Sử dụng chú ý \[\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}\] \[ \Leftrightarrow OM = O{F_1} = O{F_2} = c\], tìm \[c\].
- Lập hệ phương trình ẩn \[x,y\], giải hệ và kết luận.
Giải chi tiết:
Gọi \[M[x;y]\] là điểm cần tìm, ta có :
\[\left\{ \begin{array}{l}M \in [E]\\\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in [E]\\O{M^2} = {c^2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{x^2} + 25{y^2} = 225\\{x^2} + {y^2} = 16\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \dfrac{{175}}{{16}}\\{y^2} = \dfrac{{81}}{{16}}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \dfrac{{5\sqrt 7 }}{4}\\y = \pm \dfrac{9}{4}\end{array} \right.\]
Vậy có bốn điểm \[M \] thỏa mãn điều kiện của đề bài là :
\[\left[ {\dfrac{{5\sqrt 7 }}{4};\dfrac{9}{4}} \right]\], \[\left[ {\dfrac{{5\sqrt 7 }}{4}; - \dfrac{9}{4}} \right]\], \[\left[ { - \dfrac{{5\sqrt 7 }}{4};\dfrac{9}{4}} \right]\], \[\left[ { - \dfrac{{5\sqrt 7 }}{4}; - \dfrac{9}{4}} \right]\].