§1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Vectơ chỉ phương của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ U được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng A nếu U * 0 và giá của U song song hoặc trùng A. Phương trình tham sô' của đường thẳng X = x0 + y = y0 + u2t [t e R] Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A đi qua điểm M0[x0; y0] và nhận U [Ui; u2] làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham sô' của đường thẳng A là: u9 . Nêu Ui * 0 thì k = — là hệ sô góc của A. U1 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng A nếu n*0 và n vuông góc với vectơ ch? phương của A. Phương trình tổng quát của đường thẳng Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét: Nếu đường thẳng A có phương trình là ax + by + c = 0 thì A có vectơ pháp tuyến là n = [a; b] và vectơ chỉ phương là U = [-b; a]. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Đường thẳng A cắt Ox và Oy lần lượt tại M[a, 0] và N[0; b] [với a * 0, b * 0] có phương trình là: — + Ị = 1 a b VỊ trí tương đổi của hai đường thẳng ChoA,: aìX + b,y + c, = 0 A2: a2x + b2y + c2 = 0 A,, A2 cắt nhau A-I H A2 a1 b1 = 0 ai bi • a2 b2 hoặc • a2 b2 b1 Cl *0 C1 ai b2 c2 c2 a2 *0 , , a. bi A2 cat nhau -A. —L Ai — A2 o Trường hợp a2, b2, c2 đều khác 0, thì: „ . ai bi C1 A, // A2 —L = -—L TÍ — ai bi C1 A[ = A2 AA- = p- = -Al. a2 b2 c2 Góc giữa hai đưởng thẳng Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi [à số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay góc giữa a và b. Khi a song song hoặc trùng với b ta quy ước góc giữa chúng bằng 0° Cho A|: A,x + B^y + C-I = 0 và A2: A2X + B2y + c2 = 0 a là góc giữa A, và A2 thì cosa = I A4An + B.|B2 ị i'f2 1 A2+B2 = COS [rvnJ Đặc biệt: ả] 1A2o A,A2 + B,B2 = 0 Nếu Ai và A2 có phương trình y - k,x + m, và y = k2x + m2 thì Ai 1 A2 k1.k2 = - 1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M0[x0; yo]. Khoảng cách từ điểm Mo đến đường thẳng A, kí hiệu là d[M0,A]. được tính bởi công thức: d[M0,A]: Ti |ax0 +by0 + c| B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Lập phương trình tham sô' của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: d đi qua điểm M[2; 1] và có vectơ chỉ phương u = [3; 4]; d đi qua điểm M[-2; 3] và vectơ pháp tuyến là n = [5; 1]. [ỹiắé Ta có: M[2; 1] và U = [3; 4]. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ , , , " - fx = 2 + 3t chỉ phương u là: < [y = l + 4t M[-2; 3]; vectơ pháp tuyến n = [5; 1] thì d có vectơ chỉ phương U = [1; -5] , f X = -2 + t Phương trình tham sô của d là: < [y = 3-5t Lập phương trình tổng quát của đường thẳng A trong mỗi trường hợp sau: A đi qua M[-5; -8] và có hệ sô’ góc k = -3; b] A đi qua hai điểm A[2; 1] và B[-4; 5]. ỹiắi Phương trình đường thẳng A đi qua M[-5; -8] có hệ sô' góc k = -3 là: y - yM = k[x - XM] y + 8 = -3[x + 5] 3x + y + 23 = 0 A có vectơ chỉ phương AB = [-6; 4] x , •> » V - íx = 2 - 6t Phương trình tham sô của đường thắng A đi qua A và B là: < [y = l + 4t Khử t ta được: x -2 = y -1 2x + 3y - 7 - 0. 3. -6 4 Cho tam giác ABC, biết A[1; 4], B[3; -1] và C[6; 2]. Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA; Lập phương trình tổng quát cùa đường cao AH và trung tuyến AM. Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là: X~*A = y-yA -5x + 5 = 2y - 8 o 5x + 2y - 13 = 0 XB-XA yB-yA 3-1 -1"4 Tương tự BC: X - y - 4 = 0; CA: 2x + 5y - 22 = 0 Đường cao AH đi qua A[ 1; 4] vuông góc với BC nên AH: X + y + c = 0 AH qua A[l; 4] nên l + 4 + C = 0=>C = -5. Vậy phương trình đường cao AH: X + y - 5 = 0. M là trung điểm của BC thì M Phương trình trung tuyến AM: ^x+y-5 = 0. XA-XM yA-yM 4_i 2 2 Viết phương trinh tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M[4; 0] và điểm N[0; -1]. Áp dụng phương trình đoạn chắn. Phương trình đường thẳng qua hai điểm M[4; 0] và N[0; -1] là 4 + “ = lo-x + 4y + 4 = 0 X - 4y - 4 = 0. 4-1 7 J Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng Ơ1 và d2 sau đày: df 4x - 10y + 1 = 0 và d2: X + y + 2 = 0; dt: 12x - 6y + 10 = 0 và d2: c = 5 + t_ [y = 3 + 2t d,:8x+ 10y - 12 = 0 và d2: jx = z6 + 5t ly = 6-4t 4 -10 Ta có — —— nên di và d2 cắt nhau. 11 Phương trình t ,ng quát của d2 là: d2 : 2x - y - 7 = 0. _ , 12 -6 10 , .. , Ta có — = nên di // d2. 2-1-7 Phương trình tổng quát của d2 là: d2: 4x + 5y - 6 = 0. , 8 _ 10 _ -12 . , _ , Ta có — = = —— nên di = d2. IX 2 I 6. Cho đường thẳng d có phương trinh tham sô' 4 5-6 y = 3 + t Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A[0; 1] một khoảng bằng 5. ỹiẰi Ta có M[2 + 2t; 3 + t] e d và AM = 5 AM = 5 AM2 = 25 [2 + 2t]2 + [2 + t]2 = 25 5t2 + 12t - 17 = 0 » Vậy có hai điểm M thoả mãn đề bài là: Mi[4; 4]; M2^-^;--|j. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng dt và ci2 lần lượt có phương trình dư4x-2y + 6 = 0 và d2: X - 3y + 1 = 0. ỹiẦí Ta có dp 4x - 2y + 6 = 0 d2: X - 3y + 1 = 0. Gọi tp là góc giữa di và d2 có: costp = 10 _ 72 1072 - 2 |aia2+bib2| _ |4 + 6| _ 10 - VĩẽTĨ.TĩTõ " 72Õ.7ĨÕ Vậy: [p = 45°. A[3; 5], B[1;-2], C[1;2], Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau: A: 4x + 3y + 1 =0; d: 3x - 4y - 26 = 0; m: 3x + 4y - 11 =0. Ta có A[3; 5] A: 4x + 3y + 1 = 0 Ta có C[l; 2] m: 3x + 4y - 11 = 0 d[C,m] , l” ựgl- nl ■ 0 . vậỵ c e m. 79 + 16 Tim bán kính của đường trồn tàm C[-2; -2] tiếp xúc với đường thẳng A: 5x+ 12y-10 = 0 ỹiải Bán kính đường tròn là khoảng cách từ c đến A. R g d[C, A] = 725 +144 13 „ 44 Vậy R = c. BÀI TẬP LÀM THÊM Cho tam giác ABC có phương trinh cạnh AB là 6x - 3y + 2 = 0. Các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là 4x - 3y + 1 = 0,7x + 2y - 22 = 0. Lập phương trình tổng quát hai cạnh AC, BC và đường cao qua c. ‘rựcứcttỹ [tẩn Gọi H là trực tâm tam giác ABC: [A] = AB r\ AH => A[-l; -1] |B[ = AB n HB => B[2; 4] AC: 2x - 7y - 5 - 0; BC: 3x + 4y - 22 = 0; CH: 3x + 5y - 23 = 0 Viết phương trinh tổng quát các cạnh của tam giác ABC nếu cho B[-4; -5] và hai đường cao có phương trình là: 5x + 3y - 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0 Giả sử hai đường cao AH: 3x + 8y.+ 13 = 0; CK: 5x + 3y - 4 = 0 AB qua A và vuông góc với CK nên AB: 3x - 5y - 13 = 0 BC qua B và vuông góc với AH nên BC: 8x - 3y + 17 = 0 AC: 5x + 2y - 1 = 0 Cho ba trung điểm của ba cạnh của tam giác là: M, [2 ; 1], M2[5 ; 3], M3[3; -4]. Viết phương trinh tổng quát các cạnh của tam giác. a] 2x + 3y + 1 =0 và 4x + 5y - 6 = 0; b] 4x - y + 2 = 0 và -8x + 2y + 1 =0; c] 3x - 2y + 1 =0 và -6x + 4y - 2 = 0. 5. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho A[1; 3] và hai Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây, nếu chúng cắt nhau thì tìm tọa độ giao điểm. đường trung tuyến có phương trình là: X - 2y + 1 = 0 và y - 1 =0. Cho tam giác ABC, có trung điểm một cạnh là M[-1; 1] còn hai cạnh kia có phương trinh là X + y - 2 = 0 và 2x + 6y + 3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác. dẳtí Giả sử M là trung điểm BC, hai cạnh có phương trình đã cho là AB, AC. Xác định được A, các trung điểm p, Q của các cạnh AB và AC. Cho hình vuông đỉnh A[-4; 5] và một đường chéo đặt trên đường thẳng 7x - y + 8 = 0. Viết phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông. dẩti Đường chéo AC: X + 7y - 31 = 0 Đường thẳng AB hợp với đường chéo AC một góc 45°. Cho hai điểm P[2; 5] và Q[5; 1]. Viết phương trình đường thẳng đi qua p sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3. ĩ]afitĩ: 7x + 24y — 134 = 0. Cho tam giác ABC có diện tích bằng , hai đỉnh A[3; -3], B[3; -2] và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x - y - 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh c. Cho ba đường thẳng dư 3x + 4y - 6 = 0; d2: 4x + 3y - 1 = 0; d3: y = 0. Gọi A là giao điểm của d, và d2, {B} = d2 n d3; {C} = d, nd2 Viết phương trình phân giác trong của góc A và tính diện tích tam giác ABC. Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp AABC. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P[2; 1] sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng d[: 2x - y + 5 = 0 và đ2: 3x + 6y - 1 =0 tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của dì và d2. 4».' 3x + y - 5 = 0; X - 3y - 5 = 0.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng. Phương pháp giải: Để viết phương trình tham số của đường thẳng A ta cần xác định Điểm A[2; 3]. Một vectơ chỉ phương [a; b] của A Khi đó phương trình tham số của A. Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng A ta cần xác định Điểm A[1; 3]. Một vectơ chỉ phương qua [a; b], ab = 0 của A. Phương trình chính tắc của đường thẳng A là [trường hợp ab = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc] Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại Nếu A có VTCP = [a; b] thì n = [-b; a] là một VTPT của A. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho điểm A[1; -3] và B[-2; 3]. Viết phương trình tham số của đường thẳng A trong mỗi trường hợp sau: a] A đi qua A và nhận vectơ m[1; 2] làm vectơ pháp tuyến A đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB c] A là đường trung trực của đoạn thẳng AB Vì A nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của A là u[-2; 1]. Vậy phương trình tham số của đường thẳng A là A: Ta có AB[-3; 6] mà A song song với đường thẳng AB nên nhận a[-1; 2] làm VTCP x = -t. Vậy phương trình tham số của đường thẳng A là A Vì A là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên nhận AB[-3; 6] làm VTPT và đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB. Ta có A nhận u[-1; 2] làm VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng A.
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc [nếu có] của đường thẳng A trong môi trường hợp sau: a] A di qua điểm A[3; 0] và B[1; 3] A di qua và vuông góc với đường thẳng d’. Đường thẳng A đi qua hai điểm A và B nên nhận AB =[-2; 3] làm vectơ chỉ phương do đó phương trình tham số là x = 3 – 2t, phương trình chính tắc là y = 3t phương trình tổng quá b] A vuông góc d’ nên VTCP của d’ cũng là VTPT của A nên đường thẳng A nhận [-3; 5] làm VTPT và t[-5; -3] làm VTCP do đó đó phương trình tổng quát là 3[- 3] + 5[4 – 4] = 0 hay phương trình tham số l hương trình chính tắc là y = – 3. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. a] Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác. b] Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chân đường phân giác trong góc A và G là trọng tâm của AABC.