Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng

Với Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu [S]

2. Nếu mặt phẳng [P] tiếp xúc với mặt cầu [S] tại M ∈[S] thì mặt phẳng [P] đi qua điểm M và có vecto pháp tuyến là MI→

3. Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm được vecto pháp tuyến của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax +By +Cz +D =0 [D chưa biết]

Sử dụng điều kiện khoảng cách để tìm D

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q]: x +2y -2z +1 =0 và tiếp xúc với mặt cầu [S]: x2 +y2 +z2 +2x -4y -2z -3 =0

Hướng dẫn:

Mặt cầu [S] có tâm I [-1; 2; 1] và bán kính R=3

Do [P] song song với mặt phẳng [Q] nên phương trình mặt phẳng [P] có dạng:

x +2y -2z +D =0 [D≠1].

Vì [P] tiếp xúc với mặt cầu [S] nên d[I;[P]] =R =3

⇔ |1+D|=9 ⇔

Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

x +2y -2z +8 =0

x +2y -2z -10 =0

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hình cầu: [S]: [x-1]2 +[y-2]2 +[z-3]2 =1. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa trục Oz và tiếp xúc với [S].

Hướng dẫn:

Mặt cầu [S] có tâm I[1;2;3] và bán kính R = 1

Trục Oz có vecto chỉ phương u→=[0;0;1]

Gọi n→=[a;b;c] là vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P]

Do [P] chứa trục Oy nên n→⊥u→ ⇒ n→ .u→=0

⇔ c=0 ⇒ n→=[a;b;0]

Phương trình mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→=[a;b;0] và đi qua điểm O[0; 0; 0] là: ax +by =0

Mặt phẳng [P] tiếp xúc với mặt cầu S nên d[I;[P]] =R =1

⇔ 4ab +3b2 =0 ⇔

Vậy phương trình mặt phẳng [P] là: x = 0 hoặc: 3x -4y =0

Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi [P] là mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz và cắt mặt cầu[S]: [x-1]2 +[y+2]2 +z2 =12 theo đường tròn có chu vi lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng [P] là:

Hướng dẫn:

Mặt cầu [S] có tâm I[1; -2; 0] và bán kính R=2√3

Mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng Oxz nên phương trình mặt phẳng [P] có dạng: y + D = 0 [D≠0]

Mặt phẳng [P] cắt mặt cầu [S] theo đường tròn có chu vi lớn nhất nên mặt phẳng [P] đi qua tâm I của mặt cầu.

Khi đó: -2 +D =0 ⇒ D=2

Phương trình mặt phẳng [P] là: y +2 =0

Có hai đặc điểm quan trọng của bài toán về trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

· Điều kiện tiếp xúc $d\left[ I;\left[ P \right] \right]=R$.

· Tâm I sẽ nằm trên đường thẳng D đi qua điểm tiếp xúc và vuông góc với mặt phẳng $\left[ P \right]$.

Bài tập viết phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Do $\left[ S \right]$ tiếp xúc với $\left[ P \right]$ tại $M\left[ 1;-2;3 \right]$ nên $IM\bot \left[ P \right]\Rightarrow IM$ qua $M\left[ 1;-2;3 \right]$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left[ P \right]}}}=\left[ 3;1;1 \right]$ suy ra $IM:\left\{ \begin{array}  {} x=1+3t \\  {} y=-2+t \\  {} z=3+t \\ \end{array} \right.$

Gọi $I\left[ 1+3t;-2+t;3+t \right]$. Ta có $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow 11{{t}^{2}}={{\left[ 3t+2 \right]}^{2}}+{{\left[ t-2 \right]}^{2}}+{{\left[ t+2 \right]}^{2}}$

$\Leftrightarrow 12t+12=0\Leftrightarrow t=-1$.

Suy ra $I\left[ -2;-3;2 \right];R=IA=\sqrt{11}\Rightarrow \left[ S \right]:{{\left[ x+2 \right]}^{2}}+{{\left[ y+3 \right]}^{2}}+{{\left[ z-2 \right]}^{2}}=11$.

Lời giải chi tiết

Do $\left[ S \right]$ tiếp xúc với $\left[ P \right]$ tại $M\left[ 2;-3;-2 \right]$ nên $IM\bot \left[ P \right]\Rightarrow IM$ qua $M\left[ 2;-3;-2 \right]$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left[ P \right]}}}=\left[ 1;2;3 \right]$ suy ra $IM:\left\{ \begin{array}  {} x=2+t \\  {} y=-3+2t \\  {} z=-2+3t \\ \end{array} \right.$

Gọi $I\left[ 2+t;-3+2t;-2+3t \right]$. Ta có $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow 14{{t}^{2}}={{\left[ t+2 \right]}^{2}}+{{\left[ 2t-4 \right]}^{2}}+{{\left[ 3t-4 \right]}^{2}}$

$\Leftrightarrow 36-36t=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I\left[ 3;-1;1 \right];R=IA=\sqrt{14}$.

Phương trình mặt cầu $\left[ S \right]:{{\left[ x-3 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{\left[ z-1 \right]}^{2}}=14$.

Lời giải chi tiết

Bán kính mặt cầu tâm I là: $R=d\left[ I;\left[ P \right] \right]=\frac{\left| 2.\left[ -1 \right]-2-2-3 \right|}{\sqrt{4+1+4}}=3$.

Do đó phương trình mặt cầu là: ${{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-2 \right]}^{2}}+{{\left[ z+1 \right]}^{2}}=9$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Mặt cầu có tâm $I\left[ 1;1;1 \right];\text{ }R=\sqrt{3}$.

Mặt phẳng cầm tìm có dạng $\left[ P \right]:x+y+z+m=0\text{ }\left[ \text{Do }\left[ P \right]//\left[ \alpha  \right]\Rightarrow m\ne 0 \right]$.

Điều kiện tiếp xúc: $d\left[ I;\left[ P \right] \right]=R\Leftrightarrow \frac{\left| m+3 \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=0\text{ }\left[ loai \right] \\  {} m=-6 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $I\left[ t;-1;-t \right]\in d$, do $\left[ S \right]$ tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng $\left[ P \right]$ và $\left[ Q \right]$ nên:

$d\left[ I;\left[ P \right] \right]=d\left[ I;\left[ Q \right] \right]=R\Leftrightarrow \frac{\left| 1-t \right|}{3}=\frac{\left| 5-t \right|}{3}\Leftrightarrow t=3\Rightarrow R=\frac{2}{3}$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{\left[ x-3 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{\left[ z+3 \right]}^{2}}=\frac{4}{9}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Do $I\in d$ ta gọi $I\left[ 1+3t;-1+t;t \right]$ khi đó $IA=d\left[ I;\left[ P \right] \right]=R$

$\Leftrightarrow \sqrt{11{{t}^{2}}-2t+1}=\frac{\left| 5t+3 \right|}{3}=R\Leftrightarrow 9\left[ 11{{t}^{2}}-2t+t \right]={{\left[ 5t+3 \right]}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=0\Rightarrow R=1 \\  {} t=\frac{24}{37}\Rightarrow R=\frac{77}{37} \\ \end{array} \right.$

Do $\left[ S \right]$ có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn $t=0;R=1\Rightarrow I\left[ 1;-1;1 \right]\Rightarrow \left[ S \right]:{{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{z}^{2}}=1$.

Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $I\left[ a;b;c \right]$ ta có: $d\left[ I;\left[ \alpha  \right] \right]=d\left[ I;\left[ \beta  \right] \right]=d\left[ I;\left[ \gamma  \right] \right]$ suy ra $R=\left| a-1 \right|=\left| b+1 \right|=\left| c-1 \right|$.

Do điểm $A\left[ 2;-2;5 \right]$ thuộc miền $x>1;\text{ }y1$ nên $I\left[ a;b;c \right]$ cũng thuộc miền $x>1;\text{ }y1$.

Khi đó $I\left[ R+1;-1-R;R+1 \right]$. Mặt khác $IA=R\Rightarrow \left[ {{R}^{2}}-1 \right]+{{\left[ R-1 \right]}^{2}}+{{\left[ R-4 \right]}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow R=3$. Chọn D.