Với Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
1. Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→; u2→
2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là n→=[u1→ , u2→ ]
3. Lấy 1 điểm M trên d
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến.
Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] chứa đường thẳng
Hướng dẫn:
Đường thẳng d đi qua điểm M[1; 1; 1] và có vecto chỉ phương u1→[0; -2;1]
Đường thẳng d’ đi qua điểm N[1; 1; 1] và có vecto chỉ phương u2→[0; -2;1]
Ta có: [u1→ , u2→ ]=[0;3;6], MN→=[0;0;0]
Do MN→ [u1→ , u2→ ]=0 nên đường thẳng d và d’ cắt nhau.
Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và d’ cắt nhau nên [P] có một vecto pháp tuyến là n→=[u1→ , u2→ ] =[0;3;6] =3[0;1;2].
Phương trình mặt phẳng [P] là: y -2z -3 =0
Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] chứa hai đường thẳng
Hướng dẫn:
Đường thẳng d đi qua điểm M[1; -1; 12] và có vecto chỉ phương u1→[1; -1;-3]
Đường thẳng d’ đi qua điểm N[1; 2; 3] và có vecto chỉ phương u2→[-1; 2;0]
Ta có: [u1→ , u2→]=[6;3;1], MN→=[0;3;-9]
Do MN→[u1→ , u2→ ]=0 nên đường thẳng d và d’ cắt nhau.
Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và d’ cắt nhau nên [P] có một vecto pháp tuyến là n→=[u1→ , u2→ ]=[6;3;1]
Phương trình mặt phẳng [P] là:
6[x -1] +3[y -2] +z -3 =0
⇔ 6x +3y +z -15 =0
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và đường thẳng d có phương trình:
Hướng dẫn:
Đường thẳng d đi qua điểm M[3; 5; 4] và có vecto chỉ phương u1→[3; -1;4]
Đường thẳng Oy đi qua điểm O[0; 0; 0] và có vecto chỉ phương u2→[0; 1;0]
Ta có: [u1→ , u2→]=[-4;0;3], OM→=[3;5;4]
Do MN→[u1→ , u2→ ]=0 nên đường thẳng d và Oy cắt nhau.
Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và Oy cắt nhau nên [P] có một vecto pháp tuyến là n→=[u1→ , u2→ ]=[-4;0;3]
Phương trình mặt phẳng [P] là:
-4x +z =0
⇔ 4x -z =0
Kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng – Hình học 12.
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC
1. Cho đường thẳng Δ đi qua điểm M0[x0 ; y0; z0] và nhận vectơ = [a1; a2; a3] với ≠ làm vectơ chỉ phương Δ có phương trình tham số là:
2. Nếu a1; a2 ; a3 đều khác 0 thì người ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng Δ dưới dạng chính tắc như sau :
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, TRÙNG NHAU, CẮT NHAU HOẶC CHÉO NHAU
Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt đi qua hai điểm M0[x0 ; y0 ; z0] , M’0[x’0 ; y’0 ; z’0] và có vectơ chỉ phương lần lượt là = [a1, a2; a3], = [a’1, a’2; a’3].
1. Đặt = ∧ ta có các điều kiện sau :
2. Xét hệ phương trình ẩn t và t’ sau:
Khi đó:
a] Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình [1] có đúng một nghiệm.
b] Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi và không cùng phương và hệ phương trình [1] vô nghiệm.
Xem thêm: Các dạng toán cơ bản về phương trình đường thẳng
III. ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU HOẶC VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng d đi qua điểm M0[x0 ; y0 ; z0] và có vectơ chỉ phương là = [a1, a2; a3] và cho mặt phẳng [α] có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0. Gọi =[A;B;C] là vectơ pháp tuyến của [α]. Ta có các điều kiện sau :
IV. TÍNH KHOẢNG CÁCH
1. Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta thực hiện các bước :
Viết phương trình mặt phẳng [α] chứa M và vuông góc với Δ ;
– Tìm giao điểm H của Δ với [α] ;
– Khoảng cách từ M đến Δ chính là khoảng cách giữa hai điểm M và H : d[M, Δ] =MH [h.3.10].
2. Để tính khoảng cách giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng [α] song song với Δ ta thực hiện các bước :
– Lấy một điểm M0[x0 ; y0 ; z0] tuỳ ý trên Δ;
– Khoảng cách giữa Δ và [α] chính là khoảng cách từ điểm M0 đến [ α] :
d[ Δ,[a]] =d[M0, [α]] [h.3.11].
3. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ và Δ’ ta thực hiện các bước :
– Viết phương trình mặt phẳng [α] chứa đường thẳng Δ và song song với đường thẳng Δ’ ;
– Lấy một điểm M’0[x’0 ; y’0 ; z’0] tuỳ ý trên Δ’ ;
– Khoảng cách giữa Δ và Δ’ chính là khoảng cách từ điểm M0 đến [α] :
d[ Δ, Δ’] = d[M0, [α]] [h.3.12].