Cho hai điểm cố định với và hằng số . Elip[E] là tập hợp các điểm M thỏa mãn .
Các điểm là tiêu điểm của [E]. Khoảng cách là tiêu cự của [E]. được gọi là bán kính qua tiêu.
2] Phương trình chính tắc của elip:
Với :
trong đó [1] được gọi là phương trình chính tắc của [E]
3] Hình dạng và tính chất của elip:
Elip có phương trình [1] nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái , tiêu điểm phải
+ Các đỉnh :
+ Trục lớn : , nằm trên trục Ox; trục nhỏ :, nằm trên trục Oy
+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng gọi là hình chữ nhật cơ sở.
+ Tâm sai :
+ Bán kính qua tiêu điểm của điểm thuộc [E] là:
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1. Xác định các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc của elip.
1. Phương pháp giải.
Từ phương trình chính tắc ta xác định các đại lượng và ta tìm được elip từ đó ta suy ra được các yếu tố cần tìm.
2. Các ví dụ.
Ví dụ. Elip có phương trình sau . Xác định các đỉnh, độ dài trục, tiêu cự, tiêu điểm và tâm sai
Lời giải:
Từ phương trình của [E] ta có .
Suy ra tọa độ các đỉnh là
Độ dài trục lớn , độ dài trục bé
Tiêu cự , tiêu điểm là ,
Tâm sai của [E] là
Ta có suy ra
Do đó tọa độ các đỉnh là
Độ dài trục lớn , độ dài trục bé
Tiêu cự , tiêu điểm là ,
Tâm sai của [E] là
DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của đường elip.
1. Phương pháp giải.
Để viết phương trình chính tắc của elip ta làm như sau:
+ Gọi phương trình chính tắc elip là
+ Từ giả thiết của bài toán ta thiết lập các phương trình, hệ phương trình từ giải thiết của bài toán để tìm các đại lượng của elip từ đó viết được phương trình chính tắc của nó.
2. Các ví dụ.
Ví dụ.Viết phương trình chính tắc của elip [E] trong mỗi trường hợp sau:
a] [E] có độ dài trục lớn là 6 và tâm sai
b] [E]có tọa độ một đỉnh là và đi qua điểm
c] [E] có tiêu điểm thứ nhất và đi qua điểm .
d] Hình chữ nhật cơ sở của [E] có một cạnh nằm trên đường thẳng và có diện tích bằng 48.
e] [E] có tâm sai bằng và hình chữ nhật cơ sở của [E] có chu vi bằng 20.
Lời giải:
Phương trình chính tắc của [E] có dạng:
a] [E] có độ dài trục lớn là 6 suy ra , Tâm sai nên
Vậy phương trình chính tắc [E] là
b] [E] có một đỉnh có tọa độ là nằm trên trục tung nên do đó phương trình chính tắc của [E] có dạng: .
Mặt khác [E] đi qua điểm nên
Vậy phương trình chính tắc [E] là
c] [E] có tiêu điểm nên suy ra [1]
Mặt khác [2]
Thế [1] vào [2] ta được:
Vậy phương trình chính tắc [E] là
d] [E] có hình chữ nhật cơ sở có một cạnh nằm trên đường thẳng suy ra
Mặt khác hình chữ nhật cơ sở diện tích bằng 48 nên
Vậy phương trình chính tắc [E] là
e] [E] có tâm sai bằng suy ra hay [3]
Hình chữ nhật cơ sở của [E] có chu vi bằng 20 suy ra [4].
Từ [3] và [4] suy ra
Vậy phương trình chính tắc [E] là
DẠNG 3. Xác định điểm nằm trên đường elip thỏa mãn điều kiện cho trước.
1. Phương pháp giải.
Để xác định tọa độ điểm M thuộc elip có phương trình chính tắc là ta làm như sau
- Giả sử , điểm ta thu được phương trình thứ nhất.
- Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn ta tìm được tọa độ của điểm M
2. Các ví dụ:
Ví dụ: Cho elip [E] : và . Tìm thuộc [E] biết đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác đều.
Lời giải:
Giả sử . Vì đối xứng nhau qua trục hoành nên với .
Vì nên [1]
Vì tam giác đều nên
[2]
Thay [1] vào [2] ta có
⇔ hoặc
+ Nếu thay vào [1] ta có . Trường hợp này loại vì
+ Nếu thay vào [1] ta có
Vậy , hoặc , .