I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Định nghĩa
Cho mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$. Nếu vectơ $\overrightarrow n \ne 0$ và có giá vuông góc với mặt phẳng$\left[ \alpha \right]$ thì $\overrightarrow n$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng$\alpha$.
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
1. Định nghĩa
Phương trình có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
* Nhận xét:
a] Nếu mặt phẳng$\left[ \alpha \right]$ có phương trình tổng quát là$Ax + By + Cz + D = 0$ thì nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]$.
b] Phương trình mặt phẳng đi qua điểm ${M_o}\left[ {{x_o};{y_o};{z_o}} \right]$ nhận vectơ$\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]$ làm vectơ pháp tuyến là $A\left[ {x - {x_o}} \right] + B\left[ {y - {y_o}} \right] + C\left[ {z - {z_o}} \right] = 0$.
2. Các trường hợp riêng
Vị trí đặc biệt của mặt phẳng$\left[ \alpha \right]$ so với trục tọa độ:
| By + Cz + D = 0 | $\left[ \alpha \right]$ song song hoặc chứa Ox |
| Ax+ Cz + D = 0 | $\left[ \alpha \right]$song song hoặc chứa Oy |
| Ax + By + D = 0 | $\left[ \alpha \right]$song song hoặc chứa Oz |
| Cz + D = 0 | $\left[ \alpha \right]$ song song hoặc trùng với [Oxy] |
| By + D = 0 | $\left[ \alpha \right]$song song hoặc trùng với [Oxz] |
| Ax + D = 0 | $\left[ \alpha \right]$song song hoặc trùng với [Oyz] |
III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc
1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song
$\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left[ {{\alpha _1}} \right]//\left[ {{\alpha _2}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} }\\
{{D_1} \ne k{D_2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left[ {{A_1};{B_1};{C_1}} \right] = k\left[ {{A_2};{B_2};{C_2}} \right]}\\
{{D_1} \ne k{D_2}}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\left[ {{\alpha _1}} \right] \equiv \left[ {{\alpha _2}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} }\\
{{D_1} = k{D_2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left[ {{A_1};{B_1};{C_1}} \right] = k\left[ {{A_2};{B_2};{C_2}} \right]}\\
{{D_1} = k{D_2}}
\end{array}} \right.
\end{array}
\end{array}$
2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
$\begin{array}{l}
\left[
{{\alpha _1}} \right] \bot \left[ {{\alpha _2}} \right] \Leftrightarrow
\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\\
\Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0
\end{array}$
IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Định lí:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng$\left[ \alpha \right]$ có phương trình$Ax + By + Cz + D = 0$ và điểm${M_o}\left[ {{x_o};{y_o};{z_o}} \right]$. Khoảng cách từ điểm ${M_o}$ đến mặt phẳng$\left[ \alpha \right]$, kí hiệu là $d\left[ {{M_o},\left[ \alpha \right]} \right]$, được tính theo công thức:
$d\left[ {{M_o},\left[ \alpha \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$