- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 2
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 3
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 4
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 5
Bài 1 trang 91 sgk Hình học 11
Cho hình lăng trụ tứ giác: \[ABCD.A'B'C'D'\]. Mặt phẳng \[[P]\] cắt các cạnh bên \[AA', BB', CC', DD'\] lần lượt tại \[I, K, L, M\]. xét các véctơ có các điểm đầu là các điểm \[I, K, L, M\] và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. hãy chỉ ra các véctơ:
a] Các véctơ cùng phương với \[\overrightarrow{IA}\];
b] Các véctơ cùng hướng với \[\overrightarrow{IA}\];
c] Các véctơ ngược hướng với \[\overrightarrow{IA}\].
Giải.
a] Các véctơ cùng phương với \[\overrightarrow{IA}\] là: \[\overrightarrow{IA'}\], \[\overrightarrow{KB}\], \[\overrightarrow{KB'}\], \[\overrightarrow{LC}\], \[\overrightarrow{LC'}\], \[\overrightarrow{MD}\], \[\overrightarrow{MD'}\].
b] Các véctơ cùng hướng với \[\overrightarrow{IA}\] là: \[\overrightarrow{KB}\], \[\overrightarrow{LC}\], \[\overrightarrow{MD}\].
c] Các véctơ ngược hướng với \[\overrightarrow{IA}\] là: \[\overrightarrow{IA'}\], \[\overrightarrow{KB'}\], \[\overrightarrow{LC'}\], \[\overrightarrow{MD'}\].
Bài 2 trang 91 sgk hình học 11
Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Chứng minh rằng:
a] \[\overrightarrow{AB}\] + \[\overrightarrow{B'C'}\] + \[\overrightarrow{DD'}\] = \[\overrightarrow{AC'}\];
b] \[\overrightarrow{BD}\] - \[\overrightarrow{D'D}\] - \[\overrightarrow{B'D'}\] = \[\overrightarrow{BB'}\];
c] \[\overrightarrow{AC}\] + \[\overrightarrow{BA'}\] + \[\overrightarrow{DB}\] + \[\overrightarrow{C'D}\] = \[\overrightarrow{0}\].
Giải
a] \[\overrightarrow{AB}\] + \[\overrightarrow{B'C'}\] + \[\overrightarrow{DD'}\] = \[\overrightarrow{AB}\] + \[\overrightarrow{BC}\] + \[\overrightarrow{CC'}\] = \[\overrightarrow{AC'}\];
b] \[\overrightarrow{BD}\] - \[\overrightarrow{D'D}\] - \[\overrightarrow{B'D'}\] = \[\overrightarrow{BD}\] + \[\overrightarrow{DD'}\] + \[\overrightarrow{D'B'}\] = \[\overrightarrow{BB'}\];
c] \[\overrightarrow{AC}\] + \[\overrightarrow{BA'}\] + \[\overrightarrow{DB}\] + \[\overrightarrow{C'D}\] = \[\overrightarrow{AC}\] + \[\overrightarrow{CD'}\] + \[\overrightarrow{D'B'}\] + \[\overrightarrow{B'A}\] = \[\overrightarrow{0}\].
Bài 3 trang 91 sgk hình học 11
Cho hình bình hành \[ABCD\]. Gọi \[S\] là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành. chứng minh rằng: \[\overrightarrow{SA}\] + \[\overrightarrow{SC}\] = \[\overrightarrow{SB}\] + \[\overrightarrow{SD}\].
Giải
Gọi \[O\] là tâm của hình bình hành \[ABCD\]. Khi đó:
\[\left.\begin{matrix}\overrightarrow{SA} +\overrightarrow{SC}= 2\overrightarrow{SO}\\ \overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO} \end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}.\]
Bài 4 trang 92 sgk hình học 11
Cho hình tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD\]. Chứng minh rằng:
a] \[\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left [ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right ];\]
b] \[\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left [ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right ].\]
Giải
[Hình 33]
a] \[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.\]
\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.\]
Cộng từng vế ta được: \[\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left [ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right ]\]
b]
\[\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \cr
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} \cr} \]
Cộng từng vế ta được: \[\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left [ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right ].\]
Bài 5 trang 92 sgk hình học 11
Cho hình tứ diện \[ABCD\]. Hãy xác định hai điểm \[E, F\] sao cho:
a] \[\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD};\]
b] \[\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.\]
Giải
[H.3.4]
a] \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}\] với \[G\] là đỉnh của hình bình hành \[ABGC\]. Ta có:
\[\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}\Rightarrow\] \[E\] là đỉnh của hình bình hành \[ADEG\].
b] Ta có \[\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AF}\Rightarrow\] \[F\] là đỉnh của hình bình hành \[ADGF\].
Giaibaitap.me
Page 6
Bài 6 trang 92 sgk hình học 11
Cho hình tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\]. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}.\]
Giải
[H.3.5]
\[VT=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GC}\]
\[=3\overrightarrow{DG}=VP\] [đpcm]
Bài 7 trang 92 sgk hình học 11
Gọi \[M\] và \[N\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AC\] và \[BD\] của tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[I\] là trung điểm của đoạn thẳng \[MN\] và \[P\] là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:
a] \[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0};\]
b] \[\overrightarrow{PI}=\frac{1}{4}[\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}].\]
Giải
[H.3.6]
a] \[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IM},\]
\[\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN}.\]
Cộng từng vế ta được :
\[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}.\]
b] \[\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AI},\]
\[\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BI},\]
\[\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CI},\]
\[\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DI}.\]
Cộng từng vế ta được:
\[4\overrightarrow {PI} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} + [\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} ] + [\overrightarrow {CI} + \overrightarrow {DI} ]\]
\[ \Leftrightarrow\]\[{PI}=\frac{1}{4} [\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}].\]
Bài 8 trang 92 sgk hình học 11
Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\] có \[\overrightarrow{AA'}\] = \[\overrightarrow{a}\], \[\overrightarrow{AB}\] = \[\overrightarrow{b}\], \[\overrightarrow{AC}\] = \[\overrightarrow{c}\]. Hãy phân tích [hay biểu thị véctơ \[\overrightarrow{B'C}\], \[\overrightarrow{BC'}\] qua các véctơ \[\overrightarrow{a}\],\[\overrightarrow{b}\], \[\overrightarrow{c}\].
Giải
[H.3.7]
\[\overrightarrow{B'C}\] = \[\overrightarrow{B'A'}\] + \[\overrightarrow{A'A}\] + \[\overrightarrow{AC}\] = - \[\overrightarrow{b}\] - \[\overrightarrow{a}\] + \[\overrightarrow{c}\].
\[\overrightarrow{BC'}\] = \[\overrightarrow{BA}\] + \[\overrightarrow{AA'}\] + \[\overrightarrow{A'C'}\] = - \[\overrightarrow{b}\] + \[\overrightarrow{a}\] + \[\overrightarrow{c}\].
Nhận xét: ba véctơ \[\overrightarrow{a}\]; \[\overrightarrow{b}\]; \[\overrightarrow{c}\] ở trên gọi là bộ ba véctơ cơ sở ]dùng để phân tích các véctơ khác].
Bài 9 trang 92 sgk hình học 11
Cho tam giác \[ABC\]. Lấy điểm \[S\] nằm ngoài mặt phẳng \[[ABC]\]. Trên đoạn \[SA\] lấy điểm \[M\] sao cho \[\overrightarrow{MS}\] = \[-2\overrightarrow{MA}\] và trên đoạn \[BC\] lấy điểm \[N\] sao cho \[\overrightarrow{NB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}.\] Chứng minh rằng ba véctơ \[\overrightarrow{AB}\], \[\overrightarrow{MN}\], \[\overrightarrow{SC}\] đồng phẳng.
Giải
[H.3.8]
\[\overrightarrow{MN}\] = \[\overrightarrow{MS}\] + \[\overrightarrow{SC}\] + \[\overrightarrow{CN}\]
= \[\frac{2}{3}\overrightarrow{AS}\] + \[\overrightarrow{SC}\] + \[\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}.\] [1]
\[\overrightarrow{MN}\] = \[\overrightarrow{MA}\] + \[\overrightarrow{AB}\] + \[\overrightarrow{BN}\]
= \[-\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}\] + \[\overrightarrow{AB}\] + \[-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}.\] [2]
Nhân [2] với 2 rồi cộng với [1] ta được:
\[3\overrightarrow{MN}\] = \[\overrightarrow{SC}\] + \[2\overrightarrow{AB}\] \[\Leftrightarrow\overrightarrow{MN}= \frac{1}{3}\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.\]
Vậy \[\overrightarrow{AB}\], \[\overrightarrow{MN}\], \[\overrightarrow{SC}\] đồng phẳng.
Bài 10 trang 92 sgk hình học 11
Cho hình hộp \[ABCD.EFGH\]. Gọi \[K\] là giao điểm của \[AH\] và \[DE\], \[I\] là giao điểm của \[BH\] và \[DF\]. Chứng minh ba véctơ \[\overrightarrow{AC}\], \[\overrightarrow{KI}\], \[\overrightarrow{FG}\] đồng phẳng.
Giải
[H.3.9] Chứng minh giá của các véctơ \[\overrightarrow{KI}\], \[\overrightarrow{FG}\] song song với mặt phẳng \[[ABCD]\] chứa véctơ \[\overrightarrow{AC}\]. Từ đó suy ra ba véctơ đồng phẳng.
\[I=BH\cap DF\] là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành \[BDHF\] do đó \[I\] là trung điểm của \[BH\] [1]
\[K\] là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành \[ADHE\] do đó \[K\] là trung điểm của \[AH\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[KI\] là đường trung bình của tam giác \[ABH\]. Do đó \[KI//AB\] suy ra \[KI//[ABCD]\] [*]
Ta có: \[BCGF\] là hình bình hành nên \[FG//BC\] suy ra \[FG//[ABCD]\] [2*]
Từ [*] và [2*] suy ra: \[\overrightarrow{AC}\], \[\overrightarrow{KI}\], \[\overrightarrow{FG}\] đồng phẳng.
Giaibaitap.me
Page 7
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 8
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 9
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 10
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 11
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 12
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 13
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 14
Bài 1 trang 119 sgk Hình học 11
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
a] Đường thẳng \[∆\] là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng \[a\] và \[b\] nếu \[∆\] vuông góc với \[a\] và \[∆\] vuông góc với \[b\];
b] Gọi \[[P]\] là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng \[a, b\] chéo nhau. Khi đó đường vuông góc chung \[∆\] của \[a\] và \[b\] luôn luôn vuông góc với \[[P]\];
c] Gọi \[∆\] là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \[a\] và \[b\] thì \[∆\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[[a, ∆]\] và \[[b, ∆]\];
d] Cho hai đường thẳng chéo nhau \[a\] và \[b\]. Đường thẳng nào đi qua một điểm \[M\] trên \[a\] đồng thời cắt \[b\] tại \[N\] và vuông góc với \[b\] thì đó là đường vuông góc chung của \[a\] và \[b\];
e] Đường vuông góc chung \[∆\] của hai đường thẳng chéo nhau \[a\] và \[b\] nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.
Giải
a] Sai;
b]Đúng;
c] Đúng;
d] Sai;
e] Sai.
Bài 2 trang 119 sgk hình học 11
Cho tứ diện \[S.ABC\] có \[SA\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\]. Gọi \[H, K\] lần lượt là trực tâm của tam giác \[ABC\] và \[SBC\].
a] Chứng minh ba đường thẳng \[AH, SK, BC\] đồng quy.
b] Chứng minh rằng \[SC\] vuông góc với mặt phẳng \[[BHK]\] và \[HK\] vuông góc với mặt phẳng \[[SBC]\].
c] Xác định đường vuông góc chung của \[BC\] và \[SA\].
Giải
a] Trong \[[ABC]\], gọi \[E = AH ∩ BC\].
\[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\] nên \[AE\bot BC\] [1]
\[SA\bot [ABC]\Rightarrow SA\bot BC\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[BC ⊥ [SAE]\]\[ \Rightarrow BC ⊥ SE\].
\[K\] là trực tâm của tam giác \[SBC\Rightarrow SE \] đi qua \[K\] \[\Rightarrow AH, BC, SK\] đồng quy tại \[E\].
b] Trong \[[ABC]\] gọi \[F = BH ∩ AC\], trong \[[SBC]\] gọi \[D = BK ∩ SC\]. Khi đó \[[BHK] \equiv [BDF]\]
\[K\] là trực tâm của tam giác \[SBC\] nên \[BD\bot SC\] [*]
\[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\] nên \[BF\bot AC\] [3]
\[SA\bot [ABC]\Rightarrow SA\bot BF\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra \[BF\bot [SAC]\Rightarrow BF\bot SC\] [2*]
Từ [*] và [2*] suy ra \[SC\bot [BDF] \equiv [BHK]\].
c] \[AE\bot BC\] và \[SA\bot AE\Rightarrow AE\] là đường vuông góc chung của \[BC\] và \[SA\].
Bài 3 trang 119 sgk Hình học 11
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh \[a\]. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm \[B, C, D, A', B', D'\] đến đường chéo \[AC'\] đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.
Giải
[H.3.64]
Gọi \[K\] là hình chiếu của \[B\] trên \[AC'\].
Xét tam giác \[ABC'\] vuông tại \[B\], ta có:
\[\frac{1}{BK^{2}}=\frac{1}{BA^{2}}+\frac{1}{BC^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{[a\sqrt{2}]^{2}}=\frac{3}{2a^{2}}\]
\[\Rightarrow BK=\frac{a\sqrt{6}}{3}.\]
Ta có:
\[\Delta ABC' = \Delta C'CA = \Delta ADC' = \Delta AA'C' = \Delta C'B'A = \Delta C'D'A[c.g.c]\]
Do đó khoảng cách từ \[B, C, D, A', B', D'\] tới \[AC'\] đều bằng \[ \frac{a\sqrt{6}}{3}\] vì chúng đều là chiều cao của các tam giác vuông bằng nhau.
Bài 4 trang 119 sgk Hình học 11
Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] có \[AB = a, BC= b, CC' = c\].
a] Tính khoảng cách từ \[B\] đến mặt phẳng \[[ACC'A']\].
b] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[BB'\] và \[AC'\].
Giải
[H.3.65]
a] Trong \[[ABCD]\] kẻ \[BH\] vuông góc với \[AC\] [1]
\[CC'\bot [ABCD]\Rightarrow CC'\bot BH\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[BH\bot [ACC'A']\].
\[BH\] là đường cao trong tam giác vuông \[ABC\] nên ta có:
\[{1 \over {B{H^2}}} = {1 \over {A{B^2}}} + {1 \over {B{C^2}}}\]
\[\Rightarrow BH=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.\]
b] \[AC'\subset [ACC'A']\], mà \[BB' // [ACC'A']\] \[\Rightarrow d[BB', AC'] = d[B,[ACC'A']]=BH=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.\]
[Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \[a\] và \[b\] bằng khoảng cách giữa \[a\] và \[mp [P]\] chứa \[b\] đồng thời song song với \[a\]].
Giaibaitap.me
Page 15
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 16
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 17
Câu 6 trang 120 SGK Hình học 11
Nhắc lại định nghĩa:
a] góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
b] góc giữa hai mặt phẳng
Trả lời:
a] góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa: Cho đường thẳng \[d\] cắt mặt phẳng \[[α]\] tại điểm \[O\] và không vuông góc với \[[α]\]. Góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[[α]\] là góc tạo bởi đường thẳng và hình chiếu vuông góc \[d’\] của \[d\] trên mp \[[α]\].
b] Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa: giả sử hai mặt phẳng \[[α]\] và \[[β]\] cắt nhau theo giao tuyến \[c\]. Từ điểm \[I\] bất kì trên \[c\], trong mặt phẳng \[[α]\] ta dựng đường thẳng \[a\] vuông góc với \[c\] và trong mặt phẳng \[[β]\] ta dựng đường thẳng \[b\] vuông góc với \[c\]. Ta gọi góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] là góc giữa hai mặt phẳng \[[α]\] và \[[β]\].
Chú ý: góc giữa hai mặt phẳng luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng \[90^0\].
Câu 7 trang 120 SGK Hình học 11
Muốn chứng minh mặt phẳng \[[α]\] vuông góc với mặt phẳng \[[β]\] người ta thường làm như thế nào?
Trả lời:
Muốn chứng minh mặt phẳng \[[α]\] vuông góc với mặt phẳng \[[β]\], ta có thể:
_ Chứng minh \[[α]\] chứa một đường thẳng vuông góc với \[[β]\] hoặc \[[β]\] chứa một đường thẳng vuông góc với \[[α]\]
\[\left\{ \matrix{ d \subset [\alpha ] \hfill \cr
d \bot [\beta ] \hfill \cr} \right. \Rightarrow [\alpha ] \bot [\beta ]\]
_ Hoặc chứng minh góc giữa \[[α]\] và \[[β]\] bằng \[90^0\].
Câu 8 trang 120 SGK Hình học 11
Hãy nêu cách tính khoảng cách:
a] Từ một điểm đến một đường thẳng
b] Từ đường thẳng \[a\] đến mặt phẳng \[[α]\] song song với \[a\]
c] giữa hai mặt phẳng song song.
Trả lời:
a]
Để tính khoảng cách từ điểm \[O\] đến đường thẳng \[Δ\] không đi qua \[O\], ta xác định mặt phẳng \[[O,Δ]\] và trong mặt phẳng này kẻ \[OH ⊥ Δ\]. Độ dài \[OH\] chính là khoảng cách từ \[O\] đến \[Δ\].
b]
Để tính khoảng cách giữa đường thẳng \[a\] và mp \[[P]\] song song với \[a\], ta lấy một điểm \[M\] bất kì thuộc đường thẳng \[a\]. Khoảng cách \[MH\] từ điểm \[M\] đến mp \[[P]\] chính là khoảng cách giữa đường thẳng \[a\] với mp \[[P]\] song song với \[a\].
c]
Để tìm khoảng cách giữa hai mp \[[P]\] và \[[P’]\] song song với nhau, ta lấy một điểm \[M\] thuộc \[[P]\] và tìm khoảng cách \[MH\] từ điểm \[M\] đến mặt phẳng \[[P’]\]
Câu 9 trang 120 SGK Hình học 11
Cho \[a\] và \[b\] là hai đường thẳng chéo nhau. Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách nào?
Trả lời:
_ Dựng mặt phẳng \[[P]\] qua \[a\] và song song với \[b\]
_ Tìm khoảng cách từ một điểm \[M\] thuộc \[b\] đến mặt phẳng \[[P]\].
Câu 10 trang 120 SGK Hình học 11
Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác \[ABC\] là đường vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\] và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
Trả lời:
Lấy một điểm \[M\] bất kì trong không gian sao cho \[MA = MB = MC\]. Từ \[M\] kẻ \[MO\] vuông góc với \[[ABC]\]. Các tam giác vuông \[MOA\], \[MOB\], \[MOC\] bằng nhau, suy ra \[OA = OB = OC\].
Do đó \[O\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Vậy các điểm \[M\] cách đều ba đỉnh của tam giác \[ABC\] nằm trên đường thẳng \[d\] đi qua tâm \[O\] của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] và vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\]. Ngược lại, lấy một điểm \[M’ ∈ d\], nối \[M’A, M’B, M’C\],
Do \[M’O\] chung và \[OA = OB = OC\] nên các tam giác vuông \[M’OA, M’OB, M’OC\] bằng nhau, suy ra \[M’A = M’B = M’C\],
Tức là điểm \[M’\] cách đều ba đỉnh \[A, B, C\] của tam giác \[ABC\].
Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác \[ABC\] là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\] và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
Giaibaitap.me
Page 18
Câu 1 trang 121 SGK Hình học 11
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a] Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song
b] Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song
c] Mặt phẳng \[[α]\] vuông góc với đường thẳng \[b\] mà \[b\] vuông góc với đường thẳng \[a\], thì \[a\] song song với \[[α]\]
d] Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song.
e] Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.
Trả lời:
Câu a đúng
\[\left\{ \matrix{ a \bot [P] \hfill \cr
b \bot [P] \hfill \cr} \right. \Rightarrow a//b\]
Câu b đúng
\[\left\{ \matrix{ [P] \bot a \hfill \cr
[Q] \bot a \hfill \cr} \right. \Rightarrow [P]//[Q]\]
Câu c] sai: Vì \[a\] có thể thuộc mp \[[α]\]
Câu d] sai: Hai mp \[[α]\] và \[[β]\] cùng vuông góc với mp \[[P]\] thì \[[α]\] và \[[β]\] vẫn có thể cắt nhau và trong trường hợp này thì giao tuyến của \[[α]\] và \[[β]\] vuông góc với mp \[[P]\].
Câu e] sai: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì có thể không cùng thuộc một mặt phẳng, khi đó chúng cắt nhau.
Câu 2 trang 121 SGK Hình học 11
Trong các khẳng định sau đây, điều nào đúng?
a] Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại.
b] Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.
c] Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác cho trước.
d] Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Trả lời:
Câu a] đúng: Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại [xem mục c] Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau]
Câu b] sai: Qua một điểm, ta có thể vẽ được vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Câu c] sai: Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước.
Để có khẳng định đúng, ta phải nói: “Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho".
Câu d] sai: Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường thẳng ấy.
Câu 3 trang 121 SGK Hình học 11
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\], cạnh \[SA\] bằng \[a\] và vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\].
a] Chứng minh rằng bốn mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b] Mặt phẳng \[[α]\] đi qua \[A\] và vuông góc với cạnh \[SC\] lần lượt cắt \[SB, SC\] và \[SD\] tại \[B’, C’\] và \[D’\]. Chứng minh \[B’D’\] song song với \[BD\] và \[AB’\] vuông góc với \[SB\].
Trả lời:
a]
\[SA ⊥[ABCD]\] nên \[AB\] là hình chiếu của \[SB\] trên \[mp[ABCD]\]
\[ABCD\] là hình vuông nên \[BC ⊥AB\]. Ta có:
\[\left. \matrix{ SA \bot [ABCD] \hfill \cr
BC \bot AB \hfill \cr} \right\}\]
\[⇒ SB⊥BC\] [theo định lí ba đường vuông góc]
\[⇒ Δ SBC\] là tam giác vuông tại \[ B\]
Chứng minh tương tự \[ΔSDA\] vuông tại \[D\]
\[SA ⊥[ABCD] ⇒ SA ⊥ AB ⇒ Δ SAB\] vuông tại \[A\]
\[SA\bot AD\]\[ ⇒ Δ SAD\] vuông tại \[A\]
b]
\[\left. \matrix{ SA \bot DB \hfill \cr
AC \bot BD \hfill \cr} \right\} \Rightarrow DB \bot [SAC]\] [1]
Ta lại có:
\[\eqalign{ & \left. \matrix{ BC \bot SB \hfill \cr BC \bot AB \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BC \bot [SAB];AB' \subset [SAB][2] \cr & \Rightarrow AB' \bot BC \cr & \left. \matrix{ AB' \subset [\alpha ] \hfill \cr
SC \bot [\alpha ] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB' \bot SC[3] \cr} \]
Chứng minh tương tự ta có: \[AD’⊥SC\]
Hai tam giác vuông \[SAB\] và \[SAD\] bằng nhau mà \[AB’\] và \[AD’\] là các đường cao tương ứng nên \[AD’= AB’\] [4]
Ta cũng có: \[SB’=SD’\];
\[ΔBSC = Δ DSC\] \[⇒ \widehat{ BSC} = \widehat{ CSD}\]
Do đó \[ΔB'SC' = Δ D'SC'\]
Từ đây suy ra: \[C’D’ = C’B’\] [5]
Từ [4] và [5] suy ra \[A\] và \[C’\] nằm trên đường trung trực của \[D’B’\] do đó \[D’B’⊥ AC’\] [6]
Mặt khác: \[SC⊥[α]\]; \[D’B’⊂ [α]\] \[ ⇒ SC⊥D’B’\] [7]
Từ [6] và [7] suy ra: \[D’B’⊥[SAC]\] [8]
Từ [1] và [8] ta thấy rằng \[DB\] và \[D’B’\] cùng vuông góc với mặt phẳng \[[SAC]\] nên \[D’B’//DB\]
Ta có:
\[\left. \matrix{ AB' \bot BC \hfill \cr
AB' \bot SC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB' \bot [SBC] \Rightarrow AB' \bot SB\]
Câu 4 trang 121 SGK Hình học 11
Hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thoi cạnh \[a\] và có góc \[\widehat{ BAD} = 60^0\]. Gọi \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng [ABCD] và \[SO = {{3a} \over 4}\] . Gọi \[E\] là trung điểm của đoạn \[BC\] và \[F\] là trung điểm của đoạn \[BE\].
a] Chứng minh mặt phẳng \[ [SOF]\] vuông góc với mặt phẳng \[[SBC]\]
b] Tính các khoảng cách từ \[O\] và \[A\] đến mặt phẳng \[[SBC]\]
Trả lời:
a] Theo giả thiết \[\widehat{ BAD} = 60^0\] nên theo tính chất của hình thoi \[\widehat{ BCD} = 60^0\] hay tam giác \[BDC\] đều.
Xét tam giác \[BOE\] có \[BO=BE={a\over 2}\] và \[\widehat{ OBE} = 60^0\] nên tam giác \[BOE\] đều
Do đó \[OF\] là đường cao và ta được \[OF ⊥BC\].
\[\left. \matrix{ SO \bot [ABCD] \hfill \cr
{\rm{OF}} \bot {\rm{BC}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SF \bot BC\]
[Định lí 3 đường vuông góc]
\[\left. \matrix{ SF \bot BC \hfill \cr
{\rm{OF}} \bot {\rm{BC}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BC \bot [SOF]\]
Mà \[BC ⊂ [SBC]\]
Suy ra \[[SOF] ⊥ [SBC]\]
b] Vì \[[SOF] ⊥ [SBC]\] và hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến \[SF\] nên nếu từ điểm \[O\] ta kẻ \[OH⊥SF\] thì \[OH⊥[SBC]\] và \[OH\] chính là khoảng cách từ \[O\] đến \[[SBC]\]
Ta có:
\[\eqalign{ & SO = {{3a} \over 4}{\rm{;OF = }}{{a\sqrt 3 } \over 4} \Rightarrow SF = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr
& OH.SF = SO.{\rm{OF}} \Rightarrow {\rm{OH = }}{{3a} \over 8} \cr} \]
Gọi \[K\] là hình chiếu của \[A\] trên \[[SBC]\], ta có \[AK//OH\]
Trong \[ΔAKC\] thì \[OH\] là đường trung bình, do đó:
\[AK = 2OH \Rightarrow AK = {{3a} \over 4}\]
Giaibaitap.me
Page 19
Câu 5 trang 121 SGK Hình học 11
Tứ diện \[ABCD\] có hai mặt \[ABC\] và \[ADC\] nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AB = a, AC = b\]. Tam giác \[ADC\] vuông tại \[D\] có \[CD = a\].
a] Chứng minh các tam giác \[BAD\] và \[BDC\] đều là tam giác vuông
b] Gọi \[I\] và \[K\] lần lượt là trung điểm của \[AD\] và \[BC\]. Chứng minh \[IK\] là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \[AD\] và \[BC\].
Trả lời:
a] \[[ABC] ⊥ [ADC]\] mà hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến \[AC\].
Ta lại có \[BA ⊂ [ABC]\] và \[BA⊥ AC\] nên \[BA⊥[ADC]\]
\[BA⊥[ADC] ⇒ BA⊥AD ⇒ ΔBAD\] vuông tại \[A\]
\[\left. \matrix{BA \bot [ADC] \hfill \cr
AD \bot DC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BD \bot DC\]
[Định lí 3 đường vuông góc]
\[⇒ ΔBDC\] vuông tại \[D\]
b] Gọi \[J\] là trung điểm của \[AC\]
Ta có \[KJ//BA\]
Mà \[BA⊥[ADC] ⇒ KJ ⊥[ADC]\]
\[ ⇒ KJ ⊥ AD\] [1]
Ta cũng có \[IJ//DC ⇒ IJ ⊥ AD\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[AD⊥[KIJ]\]
\[⇒ AD ⊥ IK\]
Ta lại có: \[ΔBAI = ΔCDI ⇒ IB = IC\]
\[⇒ ΔBIC\] cân đỉnh \[I ⇒ IK ⊥ BC\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra \[IK\] là đoạn vuông góc chung của \[AD\] và \[BC\].
Câu 6 trang 122 SGK Hình học 11
Cho hình lập phương \[ABCD.A’B’C’D’\] cạnh \[a\].
a] Chứng minh \[BC’\] vuông góc với mặt phẳng \[[A’B’C’D]\]
b] Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của \[AB’\] và \[BC’\]
Trả lời:
a] Ta có tứ giác \[BCC'B’\] là hình vuông nên
\[BC’ ⊥ B’C\] [1]
Mặt khác \[A’B’ ⊥ [BCC’B’]\]
\[⇒ A’B’ ⊥ BC’\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[BC’⊥ [A’B’C’D']\]
b] Do \[AD’//BC’\] nên mặt phẳng \[[AB’D’]\] là mặt phẳng chứa \[AB’\] và song song với \[BC’\].
Ta tìm hình chiếu của \[BC’\] trên \[mp [AB’D’]\]
Gọi \[E, F\] là tâm của các mặt bên \[ADD'A’\] và \[BCC'B’\]
Từ \[F\] kẻ \[FI ⊥ B’E\]. Ta có \[BC’ //AD'\] mà \[BC’ ⊥ [A’B’CD]\]
\[⇒ AD’ ⊥ [A’B’CD]\] và \[IF ⊂[A’B’CD]\]
\[AD’ ⊥ IF\] [3]
\[EB’⊥IF\] [4]
Từ [3] và [4] suy ra : \[IF ⊥ [AB’D’]\]
Vậy \[I\] là hình chiếu của \[F\] trên \[mp [AB’D’]\]. Qua \[I\] ta dựng đường thẳng song song với \[BC’\] thì đường thẳng này chính là hình chiếu của \[BC’\] trên mp \[[AB’D’]\]
Đường thẳng qua \[I\] song song với \[BC’\] cắt \[AB’\] tại \[K\]. Qua \[K\] kẻ đường thẳng song song với \[IF\], đường này cắt \[BC’\] tại \[H\]. \[KH\] chính là đường vuông góc chung của \[AB’\] và \[BC’\]. Thật vậy:
\[{\rm{IF}} \bot [AB'D']\]
\[\Rightarrow IF ⊥ AB'\] và \[KH // IF\] suy ra \[KH ⊥ AB'\]
\[\left. \matrix{BC' \bot [A'B'CD] \hfill \cr {\rm{IF}} \subset {\rm{[A'B'CD]}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{{\rm{IF}} \bot {\rm{BC'}} \hfill \cr
{\rm{KH//IF}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow KH \bot BC'\]
Tam giác \[EFB’\] vuông góc tại \[F\], \[FI\] là đường cao thuộc cạnh huyền nên
\[{1 \over {I{F^2}}} = {1 \over {FB{'^2}}} + {1 \over {F{E^2}}}\] với
\[\left\{ \matrix{FB' = {{a\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr
{\rm{EF = a}} \hfill \cr} \right.\]
Ta tính ra: \[{\rm{IF}} = {{a\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow KH = {\rm{IF = }}{{a\sqrt 3 } \over 3}\]
Câu 7 trang 122 SGK Hình học 11
Bài 7. Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình thoi \[ABCD\] cạnh \[a\], góc \[\widehat {BAD} = 60^0\] và \[SA = SB = SD = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
a] Tính khoảng cách từ \[S\] đến mặt phẳng \[[ABCD]\] và độ dài cạnh \[SC\]
b] Chứng minh mặt phẳng \[[SAC]\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\]
c] Chứng minh \[SB\] vuông góc với \[BC\]
d] Gọi \[\varphi\] là góc giữa hai mặt phẳng \[[SBD]\] và \[[ABCD]\]. Tính \[\tan\varphi\]
Trả lời:
a] Kẻ \[SH⊥[ABCD]\]
Do \[SA = SB = SD\] suy ra \[HA = HB = HC\]
\[⇒ H\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ ABD\].
Do \[AB = AD = a\] và \[\widehat{ BAD} = 60^0\] nên tam giác \[ABD\] là tam giác đều cạnh \[a\],
Ta có:
\[\eqalign{& AO = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr
& AH = {2 \over 3}AO \Rightarrow AH = {{a\sqrt 3 } \over 3} \cr} \]
Trong tam giác vuông \[SAH\], ta có: \[SA = {{a\sqrt 3 } \over 2};AH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\]
Tính ra: \[SH = {{a\sqrt {15} } \over 6}\]
Ta cũng có: \[HC = {{2a\sqrt 3 } \over 3}\]
Trong tam giác vuông \[SHC\]:
\[S{C^2} = S{H^2} + H{C^2}\]
Do đó ta tính được:
\[SC = {{a\sqrt 7 } \over 2}\]
b]
\[\left. \matrix{SH \bot [ABCD] \hfill \cr
SH \subset [SAC] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow [SAC] \bot [ABCD]\]
c] Ta có:
\[\eqalign{& S{C^2} = {{7{a^2}} \over 4}[1] \cr & B{C^2} = {a^2}[2] \cr
& S{B^2} = {{3{a^2}} \over 4}[3] \cr} \]
Từ [1], [2] và [3] ta có: \[S{C^2} = B{C^2} + S{B^2}\]
Theo định lí Pytago đảo, tam giác \[SBC\] vuông tại \[B\].
d] Ta có:
\[\eqalign{& \left. \matrix{DB \bot AC \hfill \cr SH \bot [ABCD] \Rightarrow SH \bot DB \hfill \cr} \right\} \Rightarrow DB \bot [SAC] \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{DB \bot {\rm{OS}} \hfill \cr
{\rm{DB}} \bot AC \hfill \cr} \right. \cr} \]
Suy ra: \[\widehat{ SOH}\] là góc giữa hai mặt phẳng \[[SBD]\] và \[[ABCD]\]
Ta có:
\[\eqalign{& \widehat{ SOH} = \varphi \cr
& \tan \varphi = {{SH} \over {OH}} \Rightarrow \tan \varphi = \sqrt 5 \cr} \]
Giaibaitap.me
Page 20
Câu 1 trang 122 SGK Hình học 11
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
[A] Từ \[\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC} \] ta suy ra \[\overrightarrow {BA} = - 3\overrightarrow {CA} \]
[B] Từ \[\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} \] ta suy ra \[\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {AC} \]
[C] Vì \[\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AD} \] nên bốn điểm \[A, B, C\] và \[D\] cùng thuộc một mặt phẳng
[D] Nếu \[\overrightarrow {AB} = - {1 \over 2}\overrightarrow {BC} \] thì \[B\] là trung điểm của đoạn \[AC\]
Trả lời:
a] Vì
\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BA} \hfill \cr
\overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {CA} \hfill \cr} \right.\]
nên từ:
\[\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC} \] ta suy ra \[\overrightarrow {BA} = 3\overrightarrow {CA} \]
Vậy a] là sai
b] Ta có:
\[\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = - 4\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {CB} = - 4\overrightarrow {AC} \]
Vậy b] sai
c] \[\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AD} \]: Đẳng thức nàu chứng tỏ ba vecto \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \] đồng phẳng, tức là 4 điểm \[A, B, C, D\] cùng nằm trong một mặt phẳng.
Vậy c] đúng
d] \[\overrightarrow {AB} = - {1 \over 2}\overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BA} = {1 \over 2}BC\]
Điều này chứng tỏ hai vecto \[\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} \] cùng phương, do đó điểm B nằm ngoài đoạn thẳng \[AC\], \[B\] không là trung điểm của \[AC\]
Vậy d] sai
Kết quả: trong bốn mệnh đề trên, chỉ có c] đúng.
Câu 2 trang 122 SGK Hình học 11
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. Vì \[\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow 0 \] nên \[N\] là trung điểm của đoạn \[MP\]
B. Vì \[I\] là trung điểm của đoạn \[AB\] nên từ một điểm \[O\] bất kì ta có: \[\overrightarrow {OI} = {1 \over 2}[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {ON} ]\]
C. Từ hệ thức \[\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AC} - 8\overrightarrow {AD} \] ta suy ra ba vecto \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \] đồng phẳng
D. Vì \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = 0\] nên bốn điểm \[A, B, C, D\] cùng thuộc một mặt phẳng.
Trả lời:
[A] Mệnh đề A đúng vì \[N\] là trung điểm của đoạn \[MP\] là:
\[\overrightarrow {NM} = - \overrightarrow {NP} \Rightarrow \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = 0\]
[B] Mệnh đề B đúng
\[\eqalign{ & \overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AI} \cr
& \overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BI} \Rightarrow 2\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + [\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} ] \cr} \]
\[I\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] thì:
\[\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} = \overrightarrow 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \]
[C] Mệnh đề C đúng [xem định lí 1 – bài 1- chương 3]
[D] Mệnh đề D là sai
Vậy chọn D
Câu 3 trang 123 SGK Hình học 11
Trong các mệnh đề sau, kết quả nào đúng?
Cho hình lập phương \[ABCD.EFGH\] có cạnh bằng \[a\] và \[O\] là trung điểm của \[AG\], ta có \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} \] bằng :
A. \[a^2\] B. \[ a^2\sqrt 2\]
C. \[a^2\sqrt3\] D. \[{{{a^2}\sqrt 2 } \over 2}\]
Trả lời:
Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {EF} .\overrightarrow {EG} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {EG} |.cos{45^0} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = a.a\sqrt 2 .{{\sqrt 2 } \over 2} = {a^2} \cr} \]
Vậy A đúng.
Giaibaitap.me