I. Khái niệm hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa là các hàm số dạngy=xα[αR]. Các hàm số lũy thừa tập xác định khác nhau, tùy theoα:
Nếuαnguyên dươngthì tập các định làR.
Nếuαnguyên âm hoặcα=0thì tập các định làR{0}.
Nếuαkhông nguyên thì tập các định là[0;+].
II. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát
Hàm sốy=xαcó đạo hàm tại mọix[0;+]vày=[xα]=αxα1
Nếu hàm sốu=u[x] nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảngJJthì hàm sốy=uα[x]cũng có đạo hàm trênJ
y =[uα[x]]=αuα1[x]u[x]
III. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương
Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm lũy thừay=xncó tập xác định làRvà có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thànhxR,[xn]=nxn1 và xJ,[un[x]]=nun1[x]u[x]nếu u=u[x]có đạo hàm trong khoảngJ.
IV. Đạo hàm hàm số lũy thừavới số mũ nguyên âm
Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số y=xncó tập xác định làR{0}và có đạo hàm tại mọixkhác0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thànhx0,[xn]=nxn1
vàxJ,[un[x]]=nun1[x]u[x]
nếu u=u[x]0 có đạo hàm trong khoảngJ.
V. Đạo hàm của căn thức
Hàm sốy=nx có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừay=x1/n [tập xác định củay=nxchứa tập xác định củay= x1/nvà trên tập xác định củay= x1/nthìhai hàm số trùng nhau].
Khinlẻ thì hàm sốy=nxcó tập xác địnhR. Trên khoảng[0;+]ta cóy=nx =x1/n và[x1/n]=1/nx1n1do đó[nx]=1nx-1.
Công thức này còn đúng cả vớix0tính theocông thức:
[nx]=1/nnxn-1
Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếuu=u[x] là hàm có đạo hàm trên khoảngJvà thỏa mãn điều kiệnu[x]>0,xJkhinchẵn,u[x]0,xJkhinlẻ thì
xJ,[nu[x]]=u[x] / nun-1[x]
VI. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng [0;+]
- Đồ thị luôn đi qua điểm [1;1].
- Khiα>0 hàm số luôn đồng biến, khiα0. Khiα