Phương trình ᴄó 2 nghiệm trái dấu là một dạng toán thường hay gặp trong đề thi môn Toán ᴠào lớp 10. Nội dung bài viết ѕẽ giúp ᴄáᴄ bạn hiểu rõ hơn về dạng toán này. Mời ᴄáᴄ bạn tham khảo.
1. Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Cho phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 [1]
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì
2. Các dạng bài tập về phương trình có 2 nghiệm trái dấu
2.1. Dạng 1: Chứng minh phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Bài 1: Không giải phương trình, chứng minh các phương trình sau có hai nghiệm trái dấu
- x2 - 3x - 4 = 0
- -2x2 + x +8 = 0
- x2 - 8 = 0
ĐÁP ÁN
- x2 - 3x - 4 = 0 [ a = 1 ; b = -3 ; c = -4]
Vì a . c = 1 . [-4] = -4 < 0
nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
- -2x2 + x +8 = 0 [ a = -2 ; b = 1 ; c = 8]
Vì a . c = [-2] . 8 = -16 < 0
nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
- x2 - 8 = 0 [ a = 1 ; b = 0 ; c = -8]
Vì a . c = 1 . [-8] = -8 < 0
nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Bài 2: Chứng minh các phương trình sau luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m:
- -x2 - 2x + m2 + 1 = 0 [ m là tham số]
- [m2 + 1]x2 + 2mx - m2 = 0 [ m là tham số]
- 2x2 - [m + 1]x - [ m2 + 4m + 5] = 0 [ m là tham số]
ĐÁP ÁN
- -x2 - 2x + m2 + 1 = 0 [ a = -1; b = -2; c = m2 + 1 ]
Ta có: a . c = [-1] . [m2 + 1] = -[m2 + 1]
Vì m2 0 với mọi m, nên m2 + 1 > 0 với mọi m
- [ m2 + 1 ] < 0 với mọi m
a . c < 0 với mọi m
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
- [m2 + 1]x2 + 2mx - m2 = 0 [ a = m2 + 1; b = 2m ; c = -m2]
Ta có: a . c = [m2 + 1] . [-m2] = -m2 [m2 + 1]
Vì m2 0 với mọi m, nên m2 + 1 > 0 với mọi m
m2 [m2 +1] > 0 với mọi m
-m2 [m2 +1] < 0 với mọi m
a . c < 0 với mọi m.
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
- 2x2 - [m + 1]x - [ m2 + 4m + 5] = 0 [ a = 2; b = -[m + 1]; c = -[m2 + 4m + 5]]
Ta có: a . c = 2. [ -[m2 + 4m + 5]] = -2 [ m2 + 4m + 5] = -2 [ m2 + 4m + 4 +1] = -2 [ [ m + 2 ]2 + 1]
Vì [ m + 2 ]2 0 với mọi m
[ m + 2 ]2 + 1 >0 với mọi m
-2 [ [ m + 2 ]2 + 1] < 0 với mọi m
Do đó: a . c < 0 với mọi m
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
2.2. Dạng 2: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Bài 1: Cho phương trình: x2 - 2[m + 1]x - m + 1 = 0 [1] [ m là tham số]
- Giải phương trình khi m = 1
- Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
ĐÁP ÁN
- Khi m = 1 thay vào phương trình [1] ta được:
x2 - 2.[1 + 1]x - 1 + 1 = 0
x2 - 4x = 0 [a = 1; b = -4;b' = -2; c = 0]
Ta có: ' = b'2 - ac = [-2]2 - 1.0 = 4 > 0
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = = 4; x2 = = 0
- x2 - 2[m + 1]x - m + 1 = 0 [ a = 1; b = -2[m + 1]; c = -m + 1]
Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì a . c < 0
1. [ -m+1] < 0
-m < -1
m > 1
Vậy m > 1 thì phương trình [1] có hai nghiệm trái dấu.
Bài 2: Tìm m để phương trình x2 + [2m - 1]x + m2 - 5m + 4 = 0 có 2 nghiệm trái dấu.
ĐÁP ÁN
Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì a . c < 0
m2 - 5m + 4 < 0
[ m -1][ m - 4] < 0
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1:
[ không có giá trị nào của m thỏa mãn]
Trường hợp 2:
1 < m < 4
Vậy 1 < m < 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
Bài 3: Cho phương trình: [m + 2]x2 - 2[m + 1]x + m - 4 = 0 [ m là tham số]. Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.
ĐÁP ÁN
Để phương trình có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm thì:
a . c < 0 và x1 + x2 < 0
[ m + 2]. [ m - 4] < 0 [1] và < 0 [2]
- Từ [1] ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1:
m + 2 > 0 và m - 4 < 0
m > -2 và m < 4
-2 < m < 4
mà m nhận giá trị nguyên nên m [*]
Trường hợp 2:
m + 2 < 0 và m - 4 > 0
m < -2 và m > 4
Không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Do đó m m [*] thỏa mãn [1]
- Từ [2] ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1:
m + 1 > 0 và m + 2 < 0
m > -1 và m < -2
Không có giá trị nào thỏa mãn.
Trường hợp 2:
m + 1 < 0 và m + 2 > 0
m < -1 và m > -2
-2 < m < -1
Mà m nhận giá trị nguyên nên không có giá trị nào của m
Do đó, không có giá trị nào của m thỏa mãn [2] [**]
Từ [*], [**] suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện của bài toán.
Hy vọng bài viết này giúp các bạn học sinh nắm chắc kiến thức về điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và các dạng toán liên quan. Chúc các bạn học tốt nhé!
2 nghiệm trai đầu khi nào lớp 10?
Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu là khi delta [Δ] lớn hơn 0 và chỉ số hạng bậc nhất [b] có dấu trái dấu với chỉ số hạng cố định [c]. Cụ thể, giả sử phương trình bậc hai có dạng: ax^2 + bx + c = 0. - Nếu delta [Δ] = b^2 - 4ac lớn hơn 0, tức là có hai nghiệm kép, một nghiệm dương và một nghiệm âm.
Khi nào thì phương trình có nghiệm trái dâu?
Để phương trình có hai nghiệm trái dấu, ta cần phải kiểm tra giá trị của biểu thức Δ = b^2 - 4ac, trong đó Δ là delta. Nếu Δ > 0 và a cùng dấu với b, tức là a và b đều là dương hoặc cùng âm, thì phương trình sẽ có hai nghiệm trái dấu.
Pt có 2 nghiệm dương khi nào?
Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt xảy ra khi và chỉ khi delta [Δ] của phương trình lớn hơn 0. - Nếu delta [Δ] > 0, có nghĩa là phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình có hai nghiệm là hai số đối nhau khi nào?
Để phương trình bậc hai có hai nghiệm đối nhau, ta cần điều kiện là delta [Δ] của phương trình lớn hơn 0. Delta được tính bằng công thức Δ = b^2 - 4ac, trong đó a, b, c là các hệ số của phương trình ax^2 + bx + c = 0.