\[\left| f[x] \right|=\left\{ \begin{matrix} f[x] \\ -f[x] \\ \end{matrix}\begin{matrix} khi \\ khi \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} f[x]\ge 0 \\
f[x]
x | -b/a | ||
f[x] | a.f[x] < 0 | 0 | a.f[x] > 0 |
$+]\Delta 0;\forall x\in R$ $+]\Delta =0:af[x]>0;\forall x\ne -\frac{b}{2a}$ $+]\Delta >0:\left[ \begin{matrix} a.f[x]>0;\forall x\in \left[ -\infty ;{{x}_{1}} \right]\cup \left[ {{x}_{2}};+\infty \right] \\ a.f[x] 0
II. Dạng cơ bản và phương pháp giải
1. Dạng cơ bản thường gặp
Dạng 1. $\left| f[x] \right|>\left| g[x] \right|$ Dạng 2. $\left| f[x] \right|>g[x]$ Dạng 3. $\left| {f[x]} \right| < g[x]$2. Phương pháp giải
Phương pháp 1. Khử căn bằng định nghĩa.$\left| {f[x]} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {f[x]}&{khi}&{f[x] > 0} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – f[x]}&{khi}&{f[x] < 0} \end{array}} \end{array}} \right.$
Sử dụng kết hợp bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai để khử trị tuyệt đối.
Phương pháp 3. Biến đổi tương đương.a]$BPT:\left| {f[x]} \right| > \left| {g[x]} \right| \Leftrightarrow {\left[ {f[x]} \right]^2} > {\left[ {g[x]} \right]^2}$
b]$\left| {f[x]} \right| > g[x] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {g[x] < 0}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g[x] \ge 0}\\ {{f^2}[x] > {g^2}[x]} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$
c]$\left| {f[x]} \right| < g[x] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{g[x] > 0}\\
{{{\left[ {f[x]} \right]}^2} < {{\left[ {g[x]} \right]}^2}}
\end{array}} \right.$
III. Ví dụ minh họa
Phương pháp 1: Khử trị tuyệt đối bằng định nghĩa.
Ví dụ 1:Giải bất phương trình sau: $\left| 2-5x \right|\ge x+1$
Giải:- Trường hợp 1: $2-5x\ge 0\Leftrightarrow x\le \frac{2}{5}$
Bất phương trình có dạng: $2-5x\ge x+1\Leftrightarrow 6x\le 1\Leftrightarrow x\le \frac{1}{6}$ .
Kết hợp điều kiện: $x\in \left[ -\infty ;\frac{1}{6} \right]$ [1]
- Trường hợp 2: $2-5x\frac{2}{5}$
Bất phương trình có dạng: $5x-2\ge x+1\Leftrightarrow 4x\ge 3\Leftrightarrow x\ge \frac{3}{4}$
Kết hợp điều kiện: $x\in \left[ \frac{3}{4};+\infty \right]$ [2]
- Từ [1] và [2] suy ra bất phương trình có nghiệm : $x\in \left[ -\infty ;\frac{1}{6} \right]\cup \left[ \frac{3}{4};+\infty \right]$.
Giải bất phương trình sau: ${{x}^{2}}-\left| x-3 \right|-5\ge 0$
Giải• Trường hợp 1: $x-3\ge 0\Leftrightarrow x\ge 3$ Bất phương trình có dạng: ${{x}^{2}}-x-2\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x\le -1 \\ x\ge 2 \\ \end{matrix} \right.$ Kết hợp điều kiện: $x\ge 3$ [1].
• Trường hợp 2: $x-3
Phương pháp 2: Khử trị tuyệt đối bằng bảng
Ví dụ 1:Giải bất phương trình sau: $\left| x-3 \right|+\left| x-1 \right|\ge x+1$
GiảiTrước tiên ta lưu ý:
Bước 1: Lập bảng khử trị tuyệt đối vế trái.
x | 1 | 3 | |||
|x-3| | 3-x | 2 | 3-x | 0 | x-3 |
|x-1| | 1-x | 0 | x-1 | 2 | x-1 |
VT | 4-2x | 2 | 2 | 2 | 2x-4 |
Bước 2: Từ bảng khử trị tuyệt đối ta có các trường hợp sau:
• Với $x\in \left[ -\infty ;1 \right]$ : Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x
• Với $x\ge 3$ : Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge 3 \\ 2x-4\ge x+1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge 3 \\ x\ge 5 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\ge 5$ [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra bất phương trình có nghiệm: $x\in \left[ -\infty ;1 \right]\cup \left[ 5;+\infty \right]$.
Ví dụ 2:Giải bất phương trình: $\left| 3x-\left| x-1 \right| \right|\ge x+2$
Giải- Bước 1: Lập bảng phá trị tuyệt đối vế trái
x | 1/4 | 1 | |||
|x-1 | 1-x | 0 | 1-x | 3 | x-1 |
|3x-|x-1|| | |4x-1| | 0 | |4x-1| | 3 | |2x+1| |
VT | 1-4x | 0 | 4x-1 | 3 | 2x+1 |
Bước 2: Dựa vào bảng trên ta có các trường hợp sau:
* Trường hợp 2: Với $\frac{1}{4}\le x
* Trường hợp 3: Với $x\ge 1$ Bất phương trình \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge 1 \\ 2x+1\ge x+2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge 1 \\ x\ge 1 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \right.x\ge 1\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra bất phương trình có nghiệm: $x\in \left[ -\infty ;-\frac{1}{5} \right]\cup \left[ 1;+\infty \right]$.
Phương pháp 3: Sử dụng phép biến đổi tương đương
Ví dụ 1:Giải bất phương trình sau: $\left| 2x-1 \right|>\left| x-2 \right|$
GiảiBpt $\Leftrightarrow {{\left[ 2x-1 \right]}^{2}}>{{\left[ x-2 \right]}^{2}}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x1 \\
\end{matrix} \right.$ .
Lưu ý:
$\begin{array}{l} \left| {2x – 1} \right| > \left| {x – 2} \right|\\ \Leftrightarrow {\left[ {2x – 1} \right]^2} > {\left[ {x – 2} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {\left[ {2x – 1} \right]^2} – {\left[ {x – 2} \right]^2} > 0\\ \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {3x – 3} \right] > 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 1}\\ {x > 1} \end{array}} \right.
\end{array}$
Ví dụ 2:Giải bất phương trình sau: $\left| 2-5x \right|\ge x+1$
GiảiBPT$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 1 < 0}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1 \ge 0}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 5x \ge x + 1}\\ {2 - 5x \le - x - 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 1}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge - 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {6x \le - 1}\\ {4x \ge 3} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 1}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge - 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \le x \le - \frac{1}{6}}\\ {x \ge \frac{3}{4}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ \begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \le x \le - \frac{1}{6}}\\ {x \ge \frac{3}{4}} \end{array} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le - \frac{1}{6}}\\ {x \ge \frac{3}{4}} \end{array}} \right. \end{array}$
Tổng quát: $\left| f \right|>g\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
gg \\
f
Giải bất phương trình sau: $\left| 3x+1 \right|\le x-2$
Giải$\begin{array}{l} \left| {3x – 1} \right| \le x + 2\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2 \ge 0}\\ {3x – 1 \le x + 2}\\ {3x – 1 \ge – x – 2} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge – 2}\\ {2x \le 3}\\ {4x \ge – 1} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge – 2}\\ {x \le \frac{3}{2}}\\ {x \ge – \frac{1}{4}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow – \frac{1}{4} \le x \le \frac{3}{2}
\end{array}$
Tổng quát: $\left| {f[x]} \right| < g[x] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g[x] > 0}\\
{{{\left[ {f[x]} \right]}^2} < {{\left[ {g[x]} \right]}^2}} \end{array}} \right.$
Bài luyện tậpGiải các bất phương trình sau:
$a]\left| 4x-1 \right|\le \left| 2x+3 \right|$
$b]\left| 3x+5 \right|\ge 2x-1$
$c]\left| 5-3x \right|\le x+3$
$d]{{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|+1\le 0$
$e]\left| x+3 \right|+\left| x-1 \right|\le 2x-1$
$f]\left| x-\left| x-1 \right| \right|+\left| 2x-\left| x-3 \right| \right|\ge x+1$
—————————————
Download tài liệu:
PDF-Tại đây
Word-Tại đây:
———————————-
Xem thêm:
———————————