Trong toán học, số học mô đun là một hệ thống số học dành cho số nguyên. Trong số học mô đun, các con số được viết bao quanh lấy nhau thành nhiều vòng tròn cho đến khi chạm đến giá trị đích, gọi là mô đun [tiếng Anh: modulus, số nhiều moduli]. Bộ môn nghiên cứu số học mô đun hiện đại được nhà toán học người Đức, Carl Friedrich Gauss phát triển trong cuốn sách của ông có tên Disquisitiones Arithmeticae, xuất bản năm 1801.
Chiếc đồng hồ với mô đun bằng 12
Mục lục
- 1 Đồng dư
- 2 Ví dụ
- 3 Tính chất
- 4 Xem thêm
- 5 Chú thích
- 6 Tham khảo
- 7 Liên kết ngoài
Đồng dưSửa đổi
Cho số nguyên n > 1, hai số được gọi là đồng dư môđun n nếu n là ước của hiệu giữa hai số đó [nghĩa là tồn tại số nguyên k sao cho a - b = nk.
Đồng dư môđun là quan hệ đồng dư, nghĩa là nó là quan hệ tương đương tương thích với phép nhân, phép cộng và phép trừ. Ký hiệu đồng dư môđun n là:
a b [ mod n ] {\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}
Dấu ngoặc được dùng để biểu thị phép toán diễn ra ở hai bên, để tránh nhầm lẫn với ký hiệu b mod n không có dấu ngoặc.
Ví dụSửa đổi
Khi xét môđun 12, ta có: 38 14 [ mod 12 ] {\displaystyle 38\equiv 14{\pmod {12}}}
bởi vì 38 14 = 24 {\displaystyle 38-14=24}
và 24 là bội của 12.
Tính chấtSửa đổi
Vì quan hệ đồng dư là quan hệ tương đương, nên ta có các tính chất từ quan hệ tương đương:
- Phản xạ: a a [mod n]
- Đối xứng: a b [mod n] khi và chỉ khi b a [mod n] với mọi a, b
- Bắc cầu: nếu a b [mod n] và b c [mod n] thì a c [mod n]
Nếu a1 b1 [mod n] và a2 b2 [mod n], hoặc a b [mod n], thì:
- a + k b + k [mod n] với mọi số nguyên k
- k a k b [mod n] với mọi số nguyên k
- a1 + a2 b1 + b2 [mod n] [bảo toàn phép cộng]
- a1 a2 b1 b2 [mod n] [bảo toàn phép trừ]
- a1 a2 b1 b2 [mod n] [bảo toàn phép nhân]
- ak bk [mod n] với mọi số nguyên không âm k [bảo toàn phép mũ]
- p[a] p[b] [mod n], với mọi đa thức p[x] có hệ số nguyên [bảo toàn với đa thức]
Nếu a b [mod n], ta thường dễ nhầm cho rằng ka kb [mod n]. Tuy nhiên điều sau là đúng:
- Nếu c d [mod φ[n]], với φ is Hàm phi euler, thì ac ad [mod n] nếu như a nguyên tố cùng nhau với n.
Đối với việc loại bỏ phần tử ở hai bên, ta có các luật sau:
- Nếu a + k b + k [mod n], với k là số nguyên bất kì, thì a b [mod n]
- Nếu k a k b [mod n] và k nguyên tố cùng nhau với n, thì a b [mod n]
- Nếu k a k b [mod kn] , thì a b [mod n]
Xem thêmSửa đổi
- Vành Boolean
- Đồng dư
- Phép chia
- Trường Galois
- Ký hiệu Legendre
- Mũ hóa mô đun
- Lý thuyết số
- Chu kỳ Pisano
- Căn nguyên thủy modulo n
- Luật tương hỗ bậc hai
- Các chủ đề liên quan:
- Nhóm cyclic
- Nhóm nhân các số nguyên modulo n
- Các định lý liên quan khác
- Carmichael's theorem
- [[Định lý số dư Trung Quốc]]
- Định lý Euler
- Định lý nhỏ Fermat
- Định lý Lagrange [lý thuyết nhóm]
Chú thíchSửa đổi
Tham khảoSửa đổi
- John L. Berggren. "modular arithmetic". Encyclopædia Britannica.
- Maarten Bullynck "Modular Arithmetic before C.F. Gauss. Systematisations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany Lưu trữ 2013-11-02 tại Wayback Machine"
- Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 31.3: Modular arithmetic, pp.862868.
- Anthony Gioia, Number Theory, an Introduction Reprint [2001] Dover. ISBN 0-486-41449-3.
- Long, Calvin T. [1972]. Elementary Introduction to Number Theory [ấn bản 2]. Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN77171950.
- Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. [1970]. Elements of Number Theory. Englewood Cliffs: Prentice Hall. LCCN71081766.
- Sengadir, T. [2009]. Discrete Mathematics and Combinatorics. Chennai, India: Pearson Education India. ISBN978-81-317-1405-8. OCLC778356123.
Liên kết ngoàiSửa đổi
- Hazewinkel, Michiel biên tập [2001], Congruence, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN978-1-55608-010-4
- In this modular art Lưu trữ 2006-01-01 tại Wayback Machine article, one can learn more about applications of modular arithmetic in art.
- Weisstein, Eric W., "Modular Arithmetic" từ MathWorld.
- An article Lưu trữ 2016-02-20 tại Wayback Machine on modular arithmetic on the GIMPS wiki
- Modular Arithmetic and patterns in addition and multiplication tables
- Whitney Music Boxan audio/video demonstration of integer modular math