Hàm số y = x mũ 3 3 x bình 9 x 1 nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới đây

I. Tính đơn điệu của hàm số

1. Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f[x] xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f[x] đồng biến [tăng] trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f[x1] nhỏ hơn f[x2], tức là

x1 < x2 ⇒ f[x1] < f[x2].

Hàm số y = f[x] nghịch biến [giảm] trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f[x1] lớn hơn f[x2], tức là

x1 < x2 ⇒ f[x1] > f[x2].

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a] f[x] đồng biến trên K ⇔f⁢[x2]-f⁢[x1]x2-x1>0;∀x1;x2∈K;[x1≠x2].

f[x] nghịch biến trên K ⇔f⁢[x2]-f⁢[x1]x2-x1 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.

b] Nếu f’[x] < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’[x] = 0 với ∀x∈K thì f[x] không đổi trên K.

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a] y = x2 + 2x – 10;

b] y=x+ 52⁢x-3.

Lời giải:
a] Hàm số đã cho xác định với mọi x∈⁢R.

Ta có  đạo hàm y’ = 2x + 2

Và y’ = 0 khi x = – 1.

Lập bảng biến thiên:

x	-∞	– 1	+∞
f’[x]	–	0	+
f[x]		– 11

 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng [-1;+∞] và  nghịch biến trên khoảng [-∞;-1].

b] y=x+ 52⁢x-3

Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32

Ta có: y'=-13[2⁢x-3]2 0 với ∀x≠2.

Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

1. Quy tắc

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàm  f’[x]. Tìm các điểm xi  [ i = 1; 2; …; n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Áp dụng

Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = 4x3 – 4x

y’ = 0 ⇔[x=0x=±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên [– 1; 0] và [1;+∞]

Hàm số nghịch biến trên [-∞;-1] và [0; 1].

Ví dụ 4.  Cho hàm số y=-x3+6⁢x2-  9⁢x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9

Và y’ = 0 ⇔[x=  1x= 3

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên [1; 3]; nghịch biến trên [-∞;  1] và [3;+∞].

Page 2

I. Tính đơn điệu của hàm số

1. Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f[x] xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f[x] đồng biến [tăng] trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f[x1] nhỏ hơn f[x2], tức là

x1 < x2 ⇒ f[x1] < f[x2].

Hàm số y = f[x] nghịch biến [giảm] trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f[x1] lớn hơn f[x2], tức là

x1 < x2 ⇒ f[x1] > f[x2].

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a] f[x] đồng biến trên K ⇔f⁢[x2]-f⁢[x1]x2-x1>0;∀x1;x2∈K;[x1≠x2].

f[x] nghịch biến trên K ⇔f⁢[x2]-f⁢[x1]x2-x1 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.

b] Nếu f’[x] < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’[x] = 0 với ∀x∈K thì f[x] không đổi trên K.

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a] y = x2 + 2x – 10;

b] y=x+ 52⁢x-3.

Lời giải:
a] Hàm số đã cho xác định với mọi x∈⁢R.

Ta có  đạo hàm y’ = 2x + 2

Và y’ = 0 khi x = – 1.

Lập bảng biến thiên:

x	-∞	– 1	+∞
f’[x]	–	0	+
f[x]		– 11

 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng [-1;+∞] và  nghịch biến trên khoảng [-∞;-1].

b] y=x+ 52⁢x-3

Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32

Ta có: y'=-13[2⁢x-3]2 0 với ∀x≠2.

Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

1. Quy tắc

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàm  f’[x]. Tìm các điểm xi  [ i = 1; 2; …; n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Áp dụng

Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = 4x3 – 4x

y’ = 0 ⇔[x=0x=±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên [– 1; 0] và [1;+∞]

Hàm số nghịch biến trên [-∞;-1] và [0; 1].

Ví dụ 4.  Cho hàm số y=-x3+6⁢x2-  9⁢x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9

Và y’ = 0 ⇔[x=  1x= 3

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên [1; 3]; nghịch biến trên [-∞;  1] và [3;+∞].

Page 3

I. Tính đơn điệu của hàm số

1. Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f[x] xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f[x] đồng biến [tăng] trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f[x1] nhỏ hơn f[x2], tức là

x1 < x2 ⇒ f[x1] < f[x2].

Hàm số y = f[x] nghịch biến [giảm] trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f[x1] lớn hơn f[x2], tức là

x1 < x2 ⇒ f[x1] > f[x2].

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a] f[x] đồng biến trên K ⇔f⁢[x2]-f⁢[x1]x2-x1>0;∀x1;x2∈K;[x1≠x2].

f[x] nghịch biến trên K ⇔f⁢[x2]-f⁢[x1]x2-x1 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.

b] Nếu f’[x] < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’[x] = 0 với ∀x∈K thì f[x] không đổi trên K.

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a] y = x2 + 2x – 10;

b] y=x+ 52⁢x-3.

Lời giải:
a] Hàm số đã cho xác định với mọi x∈⁢R.

Ta có  đạo hàm y’ = 2x + 2

Và y’ = 0 khi x = – 1.

Lập bảng biến thiên:

x	-∞	– 1	+∞
f’[x]	–	0	+
f[x]		– 11

 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng [-1;+∞] và  nghịch biến trên khoảng [-∞;-1].

b] y=x+ 52⁢x-3

Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32

Ta có: y'=-13[2⁢x-3]2 0 với ∀x≠2.

Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

1. Quy tắc

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàm  f’[x]. Tìm các điểm xi  [ i = 1; 2; …; n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Áp dụng

Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = 4x3 – 4x

y’ = 0 ⇔[x=0x=±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên [– 1; 0] và [1;+∞]

Hàm số nghịch biến trên [-∞;-1] và [0; 1].

Ví dụ 4.  Cho hàm số y=-x3+6⁢x2-  9⁢x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9

Và y’ = 0 ⇔[x=  1x= 3

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên [1; 3]; nghịch biến trên [-∞;  1] và [3;+∞].

Page 4

I. Tính đơn điệu của hàm số

1. Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f[x] xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f[x] đồng biến [tăng] trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f[x1] nhỏ hơn f[x2], tức là

x1 < x2 ⇒ f[x1] < f[x2].

Hàm số y = f[x] nghịch biến [giảm] trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f[x1] lớn hơn f[x2], tức là

x1 < x2 ⇒ f[x1] > f[x2].

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a] f[x] đồng biến trên K ⇔f⁢[x2]-f⁢[x1]x2-x1>0;∀x1;x2∈K;[x1≠x2].

f[x] nghịch biến trên K ⇔f⁢[x2]-f⁢[x1]x2-x1 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.

b] Nếu f’[x] < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’[x] = 0 với ∀x∈K thì f[x] không đổi trên K.

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a] y = x2 + 2x – 10;

b] y=x+ 52⁢x-3.

Lời giải:
a] Hàm số đã cho xác định với mọi x∈⁢R.

Ta có  đạo hàm y’ = 2x + 2

Và y’ = 0 khi x = – 1.

Lập bảng biến thiên:

x	-∞	– 1	+∞
f’[x]	–	0	+
f[x]		– 11

 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng [-1;+∞] và  nghịch biến trên khoảng [-∞;-1].

b] y=x+ 52⁢x-3

Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32

Ta có: y'=-13[2⁢x-3]2 0 với ∀x≠2.

Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

1. Quy tắc

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàm  f’[x]. Tìm các điểm xi  [ i = 1; 2; …; n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Áp dụng

Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = 4x3 – 4x

y’ = 0 ⇔[x=0x=±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên [– 1; 0] và [1;+∞]

Hàm số nghịch biến trên [-∞;-1] và [0; 1].

Ví dụ 4.  Cho hàm số y=-x3+6⁢x2-  9⁢x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9

Và y’ = 0 ⇔[x=  1x= 3

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên [1; 3]; nghịch biến trên [-∞;  1] và [3;+∞].

Page 5

I. Tính đơn điệu của hàm số

1. Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f[x] xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f[x] đồng biến [tăng] trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f[x1] nhỏ hơn f[x2], tức là

x1 < x2 ⇒ f[x1] < f[x2].

Hàm số y = f[x] nghịch biến [giảm] trên K nếu với mọi cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f[x1] lớn hơn f[x2], tức là

x1 < x2 ⇒ f[x1] > f[x2].

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a] f[x] đồng biến trên K ⇔f⁢[x2]-f⁢[x1]x2-x1>0;∀x1;x2∈K;[x1≠x2].

f[x] nghịch biến trên K ⇔f⁢[x2]-f⁢[x1]x2-x1 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.

b] Nếu f’[x] < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’[x] = 0 với ∀x∈K thì f[x] không đổi trên K.

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a] y = x2 + 2x – 10;

b] y=x+ 52⁢x-3.

Lời giải:
a] Hàm số đã cho xác định với mọi x∈⁢R.

Ta có  đạo hàm y’ = 2x + 2

Và y’ = 0 khi x = – 1.

Lập bảng biến thiên:

x	-∞	– 1	+∞
f’[x]	–	0	+
f[x]		– 11

 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng [-1;+∞] và  nghịch biến trên khoảng [-∞;-1].

b] y=x+ 52⁢x-3

Hàm số đã cho xác định với ∀x≠32

Ta có: y'=-13[2⁢x-3]2 0 với ∀x≠2.

Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

1. Quy tắc

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàm  f’[x]. Tìm các điểm xi  [ i = 1; 2; …; n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Áp dụng

Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 – 2x2 – 3.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = 4x3 – 4x

y’ = 0 ⇔[x=0x=±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên [– 1; 0] và [1;+∞]

Hàm số nghịch biến trên [-∞;-1] và [0; 1].

Ví dụ 4.  Cho hàm số y=-x3+6⁢x2-  9⁢x+ 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – 9

Và y’ = 0 ⇔[x=  1x= 3

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên [1; 3]; nghịch biến trên [-∞;  1] và [3;+∞].