+] Biện luận số nghiệm của phương trình \[f\left[ t \right] = m\] dựa vào đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\].
Lời giải chi tiết:
Đặt \[t = {x^3} - 3x,\,\,x \in \left[ {1;2} \right]\] ta có \[t'\left[ x \right] = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\]
BBT:
\[ \Rightarrow t \in \left[ { - 2;2} \right]\].
Ứng với \[t = 2\] có 1 giá trị \[x \in \left[ { - 1;2} \right]\].
Ứng với \[t \in \left[ { - 2;2} \right]\] có 2 giá trị \[x \in \left[ { - 1;2} \right]\].
Phương trình \[f\left[ {{x^3} - 3x} \right] = m\] có 6 nghiệm thuộc \[\left[ { - 1;2} \right]\] khi và chỉ khi phương trình \[f\left[ t \right] = m\] có 3 nghiệm phân biệt thuộc \[\left[ { - 2;2} \right]\].
Dựa vào đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] ta có: Phương trình \[f\left[ t \right] = m\] có 3 nghiệm phân biệt thuộc \[\left[ { - 2;2} \right]\] khi và chỉ khi \[m = 0,\,\,m = - 1\,\,\left[ {Do\,\,m \in \mathbb{Z}} \right]\].
Bài viết Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn.
Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn
A. Phương pháp giải
Quảng cáo
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Phương trình 2sin2x+ 4cosx = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng [0; 3000]
- 954
B.955
- 956
- 957
Lời giải
Ta có: 2sin2x + 4cosx = 0
⇒ 4. sinx.cos+ 4cosx= 0
⇒ 4cosx. [ sinx+ 1] = 0
Mà k nguyên nên k∈{0;1;2;3;…;954} có 955 giá trị của k thỏa mãn.
⇒ Phương trình có 955 nghiệm thuộc khoảng [0;3000]
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho phương trình 2sinx+ 2cosx – cos2x=0. Tìm số nghiệm của phương trình thuộc [0; 2000].
A.624
- 652
- 645
- 636
Lời giải
Ta có: 2sinx+ 2cosx – cos2x = 0
⇒ [ 2sinx+ 2cosx] – [cos2 x – sin2 x]= 0
⇒ 2[sinx + cosx] - [ cosx- sinx] . [ cosx+ sinx]= 0
⇒ [ sinx+ cosx]. [ 2- cosx + sinx] = 0
Mà k nguyên nên k∈{ 1;2;3..;635;636}. Do đó; phương trình đã cho có 636 nghiệm trong khoảng [0; 2000]
Chọn D.
Quảng cáo
Ví dụ 3. Phương trình 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x. [2sin2x+ 1] có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng[ 10; 1000] ?
- 1207
- 1260
C.1261
- 1208
Lời giải.
Ta có: 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x
⇒ 1+ cos2x + 1+ cos4x + 1+ cos6x- 3 = 2.cos4x.sin2x + cos4x
⇒ cos2x+ cos4x+ cos6x = 2cos 4x. sin2x + cos4x
⇒ cos2x+ cos6x – 2cos 4x.sin2x=0
⇒ 2cos 4x. cos2x – 2.cos4x. sin2x= 0
⇒ 2cos 4x.[cos2x – sin2x] = 0
⇒ 12,23 < k < 1272,8
Mà k nguyên nên k∈{ 13;14;…1271;1272}
⇒ có 1260 số thỏa mãn.
Chọn B.
Ví dụ 4. Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng [0; 108π]
- 3025
- 3026
- 3027
- Tất cả sai
Lời giải.
Điều kiện: [ 1+2cosx].sinx ≠ 0
Với điều kiện trên phương trình trên tương đương:
[ 1- 2cosx].[ 1+ cosx] = [ 1+ 2cosx]. sinx
⇒ 1+ cosx – 2cosx – 2cos2 x= sinx + 2sinx. cosx
⇒ 2cos2 x – 1 + cosx+ sinx + 2sinx.cosx= 0
⇒ cos2x + cosx + sinx + sin2x=0
Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3; ..; 3027}
⇒ Phương trình đã cho có 3027 nghiệm.
Chọn C.
Ví dụ 5. Phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
- 1
- 2
C.3
- 4
Lời giải.
Vì x nguyên dương nên [3k- 2]∈Ư [98]={1;2; 7;14;49;98}
Từ đó ta tính được k∈ {1; 3; 17} – chú ý k nguyên.
+ k= 1 ⇒ x= 12
+ k= 3 ⇒ x = 4
+ k= 17 ⇒ x = 12
⇒ Phương trình có hai nghiệm nguyên dương là 12 và 4
Chọn B.
Quảng cáo
Ví dụ 6. Phương trình: có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng [0; 2017π]
A.4033
- 4032
- 4035
- 4036
Lời giải.
⇒ [ 1- cos2x]2 + [cosx- sinx]4=1
⇒ 1- 2cos2x + cos22x + [ cos2x + sin2x – 2.cosx. sinx]2= 1
⇒ 1- 2cos2x + cos22x + [1- sin2x]2 - 1= 0
⇒ - 2cos2x + cos22x + 1- 2sin2x+ sin22x = 0
⇒ [cos22x + sin22x ] +1 – 2.[cos2x+ sin2x]= 0
⇒ 2- 2[cos2x + sin2x] = 0
⇒ cos2x + sin2x = 1
Mà k nguyên nên k∈{0;1;2; ...; 2016} ⇒ có 2017 nghiệm
Kết hợp 2 trường hợp có 4033 nghiệm trong khoảng đang xét.
Chọn A.
Ví dụ 7. Tìm số nghiệm của phương trình: tan4x – tan2x – 4tanx= 4tan4x. tan2x. tanx trên đoạn [0; 2π]?
- 6
- 7
- 8
- 9
Lời giải
Ta có: tan4x – tan2x – 4tanx = 4tan4x. tan2x. tanx
⇒ tan4x – tan2x = 4tan4x. tan2x. tanx + 4 tanx
⇒ tan4x - tan2x = 4tanx. [tan 4x. tan2x + 1]
Chọn B.
Ví dụ 8. Tính tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng [0; π]?
- π/4
- π/3
- π
D.Đáp án khác
Lời giải
Điều kiện:
Ta có: tan 3x + cot[π/2+x]=0
⇒ tan3x – tanx = 0 ⇒ tan3x= tanx
⇒ 3x = x+kπ ⇒ 2x= kπ
⇒ x= kπ/2 [ không thỏa mãn điều kiện ]
Do đó; phương trình đã cho vô nghiệm.
Chọn D.
Ví dụ 9. Tìm số nghiệm của phương trình sin[cosx] = 0 trên khoảng [0; 4π] ?
- 2
B.3
- 4
- 5
Lời giải
Ta có: sin[cosx]=0
⇒ cosx = kπ [*]
Do với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1 nên từ [*] suy ra: k= 0
Mà k nguyên nên k∈ {0;1; 2;3}.
⇒ Phương trình đã cho có 4 nghiệm trên khoảng [0; 4π]
Chọn C.
Quảng cáo
Ví dụ 10: Cho phương trình: 2cos23x + [3- 2m]cos3x + m-2= 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc khoảng ?
- 1 < m < 2
- 2 < m ≤ 3
- 1 < m ≤ 2
- 2 < m < 3
Lời giải.
Chọn C.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Cho phương trình: [cos4 x- sin4 x].[ 2cos2x+5] – 3 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng [ π;4π]
- 5
- 7
- 6
- 8
Lời giải:
Ta có: [cos4 x- sin4 x].[2cos2x+ 5] – 3 = 0.
⇒ [ cos2 x- sin2 x].[ cos2 x+ sin2x] .[ 2cos 2x + 5] – 3= 0
⇒ cos2x.1.[ 2cos 2x + 5] - 3= 0
⇒ 2cos22x + 5cos 2x – 3=0
⇒ Phương trình có ba nghiệm đối với họ nghiệm này.
Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc [π;4π]
Chọn C.
Câu 2:Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0;2π]
A.3
B.4
C.5
- 6
Lời giải:
Chọn B.
Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình: sinx. cosx + |sinx+cosx|= 1 trên [0; 2π]?
- 2
B.4
C.3
D.5
Lời giải:
⇒ 0 < k < 4 mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3}.
Vậy phương trình có ba nghiệm trên khoảng đang xét.
Chọn C.
Câu 4:Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [ 2π;10π]?
- 6
B .7
- 8
- 9
Lời giải:
Điều kiện: cosx ≠ -√3/2
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2sin2 x-cosx+2-5sinx+sin2x = 0
⇒ [ sin2x – cosx] + [2sin2x – 5sinx + 2] =0
⇒ [2sinx. cosx – cosx] + [ 2sin2x – 5sinx + 2] = 0
⇒ cosx.[ 2sinx- 1] + [ sinx- 2]. [ 2sinx – 1]= 0
⇒ [ 2sinx – 1]. [cosx + sinx- 2] = 0
Kết hợp 2 trường hợp; suy ra phương trình có tất cả 8 nghiệm trên đoạn [2π;10π]
Chọn C.
Câu 5:Tìm số nghiệm của phương trình: cos2x.[tan2 x – cos2x]= cos3x- cos2 x+ 1 trên khoảng [0; 6π] ?
- 9
- 8
- 10
D.11
Lời giải:
+ Trường hợp 1: Nếu cosx=- 1
⇒ x= π+k2π .Ta có: 0 < x < 6π nên: 0 < π+k2π < 6π
⇒ Kết hợp hai trường hợp suy ra số nghiệm của phương trình thuộc khoảng [0; 6π] là 9 nghiệm.
Chọn A.
Câu 6:Cho phương trình: m.sin2x – 3sinx.cosx – m- 1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-4; 7] để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc [0; 3π/2]. Số các phần tử của tập S là:
- 4
- 3
- 5
- 6
Lời giải:
Ta có: m. sin2 x – 3sinx. cosx – m- 1= 0
⇒ m.[ sin2 x- 1] - 3sinx. cosx – 1=0
⇒ - m.cos2 x – 3sinx. cosx – 1=0
⇒ m.cos2 x+ 3sinx. cosx + 1= 0
+ Nhận thấy cosx=0 không thỏa phương trình.
Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:
⇒ tan2 x+3tanx + m+ 1=0 [*]
Đặt t= tanx; phương trình [*] trở thành: t2 + 3t + m + 1= 0
Để phương trình đã cho có ba nghiệm thuộc [0; 3π/2] khi và chỉ khi phương trình [*] có hai nghiệm trái dấu
⇒ a.c= m+ 1 < 0 ⇒ m < - 1
Mà m nguyên và m∈ [ -4;7]
⇒ m∈{ -4; -3; -2}.
⇒ Tập S có 3 phần tử.
Chọn B.
Câu 7:Cho phương trình: [ cosx+ 1].[4cos 2x – m.cosx]= m.sin2 x. Số các giá trị nguyên của m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [0;2π/3] là:
- 1
- 2
- 3
- 4
Lời giải:
Ta có: [cosx+ 1]. [4cos2x – m.cosx] = m.sin2x
⇒ [ cosx+ 1].[ 4cos2x – m. cosx] = m.[1- cos2 x]
⇒ [cosx+ 1] . [ 4cos2x- m. cosx] – m.[ 1- cosx].[ 1+ cosx] =0
⇒ [ cosx+ 1][ 4cos2x -m.cosx - m+m. cosx]= 0
⇒ [cosx+ 1]. [ 4cos 2x – m] = 0
Câu 8:Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình: [sinx-1].[2cos2x- [ 2m+1].cosx + m]=0 có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn [0; 2π]
A . 1
- 2
C .3
D .4
Lời giải:
Ta có: [sinx- 1].[2cos2 x – [2m+ 1].cosx + m] = 0
⇒ [sinx -1]. [ 2cosx- 1].[ cosx – m] = 0
Kết luận: Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.
Chọn B.
Câu 9:Biết rằng khi m= m0 thì phương trình : 2sin2 x – [5m+ 1].sinx +2m2 + 2m = 0 có đúng 5 nghiệm thuộc khoảng . Tìm mệnh đề đúng?
- m0= - 2
- m0= 1
Lời giải:
Đặt t= sinx [ - 1 ≤ t ≤ 1] .
Phương trình đã cho trở thành: 2t2 – [5m+1].t + 2m2 + 2m=0 [* ]
Chọn D.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm
- Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm
- Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
- Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
- Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx
- Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx
- Phương trình lượng giác đưa về dạng tích
- Phương trình lượng giác không mẫu mực
- Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!
Săn SALE shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.