12:47:2821/07/2021
Nội dung bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về các phương trình lượng giác cơ bản này, cách tìm tập nghiệm của các phương trình lượng giác sinx, cosx, tanx hay cotx như thế nào?
• Bài tập phương trình lượng giác cơ bản có đáp án
1. Phương trình sinx = a [1]
- Nếu |a| > 1: phương trình [1] vô nghiệm.
- Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.
Khi đó phương trình [1] có các nghiệm là
Nếu α thỏa mãn điều kiện và sinα = a thì ta viết:
α = arcsina.
Khi đó các nghiệm của phương trình [1] là:
x = arcsina + k2π, k ∈ Z
và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.
* Nghiệm sinx = a trong các trường hợp đặc biệt:
° a = 1 khi đó sinx = 1
° a = -1 khi đó sinx = -1
° a = 0 khi đó sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z
° Đặc biệt nếu:
+]
+]
* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:
a] sinx = 1/3;
b] sin[x + 45o] = [-√2]/2.
> Lời giải:
a] sinx = 1/3
⇔ x = arcsin[1/3].
- Vậy phương trình sinx = 1/3 có các nghiệm là:
x = arcsin[1/3] + k2π, k ∈ Z
và x = π - arcsin[1/3] + k2π, k ∈ Z
b] sin[x + 45o] = -[√2]/2.
- Vì: [-√2]/2 = sin[-45o] nên
sin[x + 45o] = [-√2]/2
⇔ sin[x+45o] = sin[-45o]
⇔ x + 45o = -45o + k360o, k ∈ Z
⇔ x = -45o - 45o + k360o, k ∈ Z
và x + 45o = 180o - [-45o] + k360o, k ∈ Z
⇔ x = -90o + k360o, k ∈ Z
và x = 180o - [-45o ] - 45o + k360o,k ∈ Z
Vậy: x = -90o + k360o, k ∈ Z và x = 180o + k360o, k ∈ Z
2. Phương trình cosx = a [2]
- Nếu |a| > 1: phương trình [2] vô nghiệm.
- Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.
Khi đó phương trình [2] có các nghiệm là:
x = α + k2π, k ∈ Z
và x = -α + k2π, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện và cosα = a thì ta viết:
α = arccosa.
Khi đó các nghiệm của phương trình [2] là:
x = arccosa + k2π, k ∈ Z
và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.
* Nghiệm cosx = a trong các trường hợp đặc biệt:
° a = 1 khi đó cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z
° a = -1 khi đó cosx = -1
° a = 0 khi đó cosx = 0
° Đặc biệt nếu:
+]
+]
* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:
a] cosx = [-1]/2;
b] cosx = 2/3;
c] cos[x + 30o] = √3/2.
> Lời giải:
a] cosx = [-1]/2;
- Vì [-1]/2 = cos[2π/3] nên cosx = [-1]/2
⇔ cosx = cos[2π/3]
⇔ x = ±2π/3 + k2π, k ∈ Z
b]cos x = 2/3
⇔ x = ± arccos 2/3 + k2π, k ∈ Z
c] cos[x + 30o] = √3/2.
- Vì [√3]/2 = cos30o nên cos[x + 30o]= [√3]/2
⇔ cos[x + 30o] = cos30o
⇔ x + 30o = ±30o + k360o, k ∈ Z
⇔ x = k360o, k ∈ Z và x = -60o + k360o, k ∈ Z
3. Phương trình tanx = a [3]
- Điều kiện:
- Nếu α thỏa mãn điều kiện và tanα = a thì ta viết:
α = arctana.
Khi đó các nghiệm của phương trình [3] là: x = arctana + kπ, k ∈ Z
* Đặc biệt nếu:
+] tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
+] tanx = tanβ0 ⇔ x = β0 + k1800 , k ∈ Z
* Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau:
a] tanx = 1; b] tanx = -1; c] tanx = 0.
> Lời giải:
a] tanx = 1 ⇔ tanx = tan[π/4] ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z
b] tanx = -1 ⇔ tanx = tan[-π/4] ⇔ x =[-π/4] + kπ, k ∈ Z
c] tanx = 0 ⇔ tanx = tan0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z
4. Phương trình cotx = a [4]
- Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.
- Nếu α thỏa mãn điều kiện và cotα = a thì ta viết:
α = arccota.
Khi đó các nghiệm của phương trình [4] là: x = arccota + kπ, k ∈ Z
* Đặc biệt nếu:
+] cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
+] cotx = cotβ0 ⇔ x = β0 + k1800 , k ∈ Z.
* Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau
a] cotx = 1;
b] cotx = -1;
c] cotx = 0.
> Lời giải:
a]cotx = 1 ⇔ cotx = cot[π/4] ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z
b]cotx = -1 ⇔ cotx = cot[-π/4] ⇔ x = [-π/4] + kπ,k ∈ Z
c]cotx = 0 ⇔ cotx = cot[π/2] ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z
> Lưu ý: Khi giải phương trình lượng giác các em cần lưu ý:
- Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hay cot, chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,...thì cần đặt điều kiện cho ẩn.
- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.
Trên đây là nội dung lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản và Cách giải. KhoiA hy vọng các em có thể nắm vững kiến thức này để vận dụng tốt vào phần bài tập ở bài viết tiếp theo, chúc các em học tốt.
Giải phương trình:- cos x + sin x= - căn 2
Bình phương cả hai vế của phương trình.
Khai triển bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.
Bấm để xem thêm các bước...
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng lại.
Bấm để xem thêm các bước...
Bấm để xem thêm các bước...
Bấm để xem thêm các bước...
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bấm để xem thêm các bước...
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Sắp xếp lại các nhân tử của .
Áp dụng đẳng thức pytago.
Bấm để xem thêm các bước...
Áp dụng quy tắc mũ và nhân các số mũ với nhau, .
Bỏ các thừa số chúng của .
Bấm để xem thêm các bước...
Bấm để xem thêm các bước...
Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.
Di chuyển tất cả các số hạng không chứa sang vế phải của phương trình.
Bấm để xem thêm các bước...
Trừ từ cả hai vế của phương trình.
Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất từ trong hàm sin.
Giá trị chính xác của là .
Chia mỗi số hạng cho và rút gọn.
Bấm để xem thêm các bước...
Chia mỗi số hạng trong cho .
Bỏ các thừa số chúng của .
Bấm để xem thêm các bước...
Bấm để xem thêm các bước...
Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.
Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.
Bấm để xem thêm các bước...
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, nhân với .
Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là , bằng cách nhân từng biểu thức với một hệ số thích hợp của .
Bấm để xem thêm các bước...
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bấm để xem thêm các bước...
Chia mỗi số hạng cho và rút gọn.
Bấm để xem thêm các bước...
Chia mỗi số hạng trong cho .
Bỏ các thừa số chúng của .
Bấm để xem thêm các bước...
Bấm để xem thêm các bước...
Bấm để xem thêm các bước...
Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng cách sử dụng .
Thay thế với trong công thức cho chu kỳ.
Bấm để xem thêm các bước...
Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa và là .
Bỏ các thừa số chúng của .
Bấm để xem thêm các bước...
Chu kỳ của hàm là nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi radian theo cả hai hướng.
, cho mọi số nguyên
Kiểm chứng từng đáp án bằng cách thay thế chúng vào và giải.
, cho mọi số nguyên