Giải bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– MÔNG THỊ NGUYỆT BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT THUẦN NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– MÔNG THỊ NGUYỆT BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT THUẦN NHẤT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. PHẠM THỊ THỦY THÁI NGUYÊN - 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Mông Thị Nguyệt ii LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Thị Thủy. Nhân dịp này em xin cám ơn Cô về sự hướng dẫn nhiệt tình và sự truyền thụ những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Thái Nguyên cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2016 Tác giả luận văn Mông Thị Nguyệt iii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1 3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 3 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Phép biến đổi Fourier trong L 1 [Rn ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Biến đổi Fourier trong L 1 [Rn ] . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Các tính chất của biến đổi Fourier trong L 1 [Rn ] . . . . . . . . 7 Phép biến đổi Fourier trong L 2 [Rn ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Biến đổi Fourier trong L 2 [Rn ] . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier trong L 2 [Rn ] . . . . . . . . 15 1.4 Các công thức đơn giản của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Biến đổi Fourier của một vài hàm số đơn giản . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2 1.3 1.5.1 2 Biến đổi Fourier của hàm f [x] = e−x trong R1 . . . . . . . . . . −ax2 20 1.5.2 Biến đổi Fourier của hàm số f [x] = e [a > 0] trong R1 . . . 22 1.5.3 Biến đổi Fourier của hàm f [x] = e−a|x| [a > 0] . . . . . . . . . 23 2 n − ∑ ai j xi x j 1.5.4 2 Biến đổi Fourier của hàm f [x] = e i, j=1 . . . . . . . . . . BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT THUẦN 23 iv NHẤT 2.1 26 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất với hệ số hằng trong R1 26 2.1.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . 26 2.1.2 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tìm nghiệm của bài toán [2.1.1],[2.1.2] . . . . . . . . . . . . . 27 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất với hệ số hằng trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2 2.3 31 Nghiệm của bài toán [2.2.1], [2.2.2] công thức Poisson . . . . . 31 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất với hệ số chỉ phụ thuộc biến thời gian trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2 Tìm nghiệm của bài toán [2.3.1], [2.3.2], công thức Poisson suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Một vài ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.1 Phương trình với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2 Phương trình với hệ số hằng trong trường hợp A = a2 E . . . . . 38 2.4.3 Trường hợp 1 biến trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.4 2.4 34 Trường hợp 2 biến trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . 39 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong số lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phương trình dạng parabolic là lớp phương trình mô tả các quá trình truyền nhiệt, khuyếch tán. Bài toán này được nghiên cứu từ rất lâu và lý thuyết của nó đến nay tương đối hoàn chỉnh. Khi nghiên cứu bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt, nhà toán học Pháp Poisson đã thiết lập công thức tính nghiệm, hiện nay mang tên ông và có nhiều ứng dụng.Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp biến đổi Fourier và áp dụng các kết quả đạt được trong việc nghiên cứu bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất, chúng tôi chọn " Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt thuần nhất" làm đề tài nghiên cứu của mình. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. 2.1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp biến đổi Fourier và áp dụng trong việc giải bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: - Trình bày tổng quan về phương trình đạo hàm riêng và biến đổi Fourier trong L 1 [Rn ], L 2 [Rn ], cùng với các tính chất của chúng. - Tìm nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất với hệ số hằng trong R1 , Rn và hệ số chỉ phụ thuộc biến thời gian trong Rn . - Trình bày công thức Poisson cho nghiệm tường minh bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất thông qua một số ví dụ. 3. Phương pháp nghiên cứu. Sử dụng phương pháp phương trình đạo hàm riêng, các phương pháp biến đổi Fourier, phương pháp giải tích để nghiên cứu bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất. 2 4. Bố cục của luận văn. Nội dung luận văn gồm 42 trang trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị để thực hiện nội dung của chương sau: phân loại phương trình đạo hàm riêng, trình bày hệ thống về phép biến đổi Fourier trong L 1 [Rn ], L 2 [Rn ], các công thức đơn giản của biến đổi Fourier, biến đổi Fourier của một vài hàm số đơn giản. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Tìm nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất với hệ số hằng trong R1 và Rn . Tiếp đến là việc mở rộng bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất với hệ số chỉ phụ thuộc biến thời gian trong Rn và giải một số ví dụ. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 3 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, ta sẽ nhắc lại một số kiến thức quan trọng làm nền tảng để nghiên cứu chương sau. Đó là các kiến thức về phương trình đạo hàm riêng và biến đổi Fourier. Các nội dung trong chương được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. 1.1 1.1.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến Định nghĩa 1.1.1.1. Giả sử u = u[x1 , x2 , ..., xn ] là hàm xác định trong Rn . Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u[x1 , x2 , ..., xn ], các biến độc lập x1 , x2 , ..., xn và các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình đạo hàm riêng. Phương trình có dạng: F[x1 , ....., xn , u, ∂u ∂ ku ∂u , ..., , ..., k , ...] = 0. k ∂ x1 ∂ xn ∂ x 1 ...∂ xnn 1 Định nghĩa 1.1.1.2. Giả sử u = u[x, y] là hàm xác định trong R2 , a[x, y], b[x, y], c[x, y] ∈ R2 . Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến là phương trình có dạng: a[x, y]uxx + 2b[x, y]uxy + c[x, y]uyy + F[x, y, u, ux , uy ] = 0. a] Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến Xét phương trình tuyến tính cấp hai với các hệ số thực auxx + 2buxy + cuyy + F[x, y, u, ux , uy ] = 0. Xét một điểm [x0 , y0 ] cố định. Phương trình [1.1.1] tại điểm [x0 , y0 ] được gọi là: [1.1.1] 4 - Thuộc loại elliptic nếu như tại điểm đó: b2 − ac < 0 - Thuộc loại hyperbolic nếu như tại điểm đó: b2 − ac > 0 - Thuộc loại parabolic nếu như tại điểm đó: b2 − ac = 0 Nếu phương trình [1.1.1] tại mọi điểm trong một miền G đều thuộc cùng một loại thì ta nói rằng phương trình ấy thuộc loại đó trong miền G. b] Dạng chính tắc của phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến Ta có thể đưa phương trình [1.1.1] về các dạng chính tắc sau: - Với b2 − ac > 0 thì dạng chính tắc của phương trình loại hyperbolic là: uxx − uyy = φ hay uxx = φ . - Với b2 − ac < 0 thì dạng chính tắc của phương trình loại elliptic là: uxx + uyy = φ . - Với b2 − ac = 0 thì dạng chính tắc của phương trình loại parabolic là: uxx = φ . 1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp nhiều biến Định nghĩa 1.1.2.1. Giả sử u = u[x1 , x2 , ..., xn ] là hàm xác định trong Rn . Phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp n - biến là phương trình có dạng: n ∑ ai j uxi x j + F[x1 , ..., xn , u, ux1 , ..., uxn ] = 0 [1.1.2] i, j=1 với ai j = a ji và là hàm của các biến x1 , ..., xn . Ký hiệu x = [x1 , ..., xn ] là điểm trong không gian Ơ – clit n chiều. a] Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp nhiều biến Xét ma trận : A[x] = ai j [x] . [1.1.3] 0 0 Coi [1.1.3] là một ma trận đối xứng. Ta cố định một điểm x0 = [x1 , ..., xn ]. Khi đó ma trận A[x] trở thành ma trận hằng A[x0 ] . 5 Phương trình det[A[x0 ] − λ E] = 0 [1.1.4] trong đó E là ma trận đơn vị, λ là một vô hướng, được gọi là phương trình đặc trưng tại điểm x0 của phương trình [1.1.2]. Từ đó ta có 0 0 - Phương trình [1.1.2] được gọi là thuộc loại elliptic tại điểm x0 = [x1 , ..., xn ] nếu như tại điểm đó, tất cả n nghiệm đối với λ của phương trình đặc trưng [1.1.4] đều khác không và cùng một dấu. Như vậy, khi đó dạng toàn phương ứng với phương trình [1.1.2] là n ∑ ai j [x0 ]tit j i, j=1 [ dạng xác định dương hoặc xác định âm]. 0 0 - Phương trình [1.1.2] được gọi là thuộc loại hyperbolic tại điểm x0 = [x1 , ..., xn ] nếu như tại điểm đó, tất cả n nghiệm đối với λ của phương trình đặc trưng [1.1.4] đều khác không và trong đó có n − 1 nghiệm cùng một dấu, còn nghiệm cuối cùng còn lại có dấu khác. 0 0 - Phương trình [1.1.2] được gọi là thuộc loại parabolic tại điểm x0 = [x1 , ..., xn ] nếu như tại điểm đó, trong n nghiệm đối với λ của phương trình đặc trưng [1.1.4] có một nghiệm bằng không, còn n − 1 nghiệm còn lại đều khác không và cùng một dấu. Nếu như tại mọi điểm trong một miền Ω nào đó của không gian E mà phương trình [1.1.2] thuộc cùng một loại, thì ta nói rằng phương trình [1.1.2] thuộc loại đó trong Ω. b] Dạng chính tắc của phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp nhiều biến Xét phương trình tuyến tính cấp hai [1.1.2], ta thực hiện phép đổi biến ξ1 = ξ1 [x1 , ...., xn ] ............................ ξn = ξn [x1 , ...., xn ]. Giả thiết trong một lân cận nào đó của điểm [x1 , ..., xn ], các hàm ξr = ξr [x1 , ..., xn ] r = 1, ..., n, [1.1.5] 6 liên tục có các đạo hàm riêng cho tới cấp hai liên tục và D[ξ1 , ..., ξn ] = 0. D[x1 , ..., xn ] [1.1.6] Phép biến đổi [1.1.5] thỏa mãn điều kiện [1.1.6] được gọi là phép biến đổi không suy diễn. Ta có n ux j = ∂ ξr ∑ u ξr ∂ x j r=1 n ux j = ∑ u ξr ξs r,s=1 n ∂ ξr ∂ ξs ∂ 2 ξr + ∑ u ξr . ∂ x j ∂ x j r=1 ∂ xi ∂ x j [1.1.7] Thay [1.1.5] vào [1.1.2], ta được n ˜ ∑ arsuξr ξs + Φ ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn = 0 [1.1.8] r,s=1 trong đó n ars = ˜ ai j ∑ i, j=1 ∂ ξr ∂ ξs = asr . ˜ ∂ x j ∂ xi [1.1.9] Khi đó, phương trình dạng n ∑ λiuξiξ j + Φ ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn = 0 [1.1.10] i=1 0 0 được gọi là dạng chính tắc của phương trình [1.1.8] tại điểm x0 = [x1 , ..., xn ]. 0 0 - Giả thiết tại điểm x0 = [x1 , ..., xn ] phương trình [1.1.8] thuộc loại elliptic. Khi đó, mọi λi trong [1.1.10] cùng một dấu, và ta có thể giả thiết là dương [nếu không chỉ cần đổi dấu toàn bộ phương trình [1.1.8]] và đặt λi = υ 2 . Vậy [1.1.10] có dạng n ∑ υi2uξiξ j + Φ ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn = 0 i=1 hay bằng cách co giãn tọa độ ξi = υi ξi ,[1.1.10] có thể viết dưới dạng : n ∑ u ξ 1 ξ i + Φ∗ i=1 ξ 1 , . . . , ξ n , u, uξ , . . . , uξ n = 0. 1 [1.1.11] Đây là dạng chính tắc của phương trình loại elliptic. 0 0 - Giả thiết tại x0 = [x1 , ..., xn ] phương trình [1.1.8] thuộc loại hyperbol, thì do trong n 7 nghiệm λ của phương trình đặc trưng có n − 1 nghiệm cùng dấu và một nghiệm khác dấu nên [1.1.10] có thể viết được: n−1 uξ n ξ n − ∑ uξ i ξ i + Φ∗ ξ 1 , . . . , ξ n , u, uξ , . . . , uξ n = 0. 1 i=1 [1.1.12] Đây la dạng chính tắc của phương trình loại hyperbol. 0 0 - Giả thiết tại x0 = [x1 , ..., xn ] phương trình [1.1.8] thuộc loại parabolic thì [1.1.10] có thể viết dưới dạng: n−1 ∑ u ξ i ξ i + Φ∗ ξ 1 , . . . , ξ n , u, uξ , . . . , uξ n = 0. 1 i=1 [1.1.13] Đây là dạng chính tắc của phương trình loại parabolic. Rõ ràng phương trình Laplat uxx +uyy +uzz = 0 = ∆u là phương trình loại elliptic, phương trình truyền nhiệt ut − a2 [uxx + uyy + uzz ] = 0 thuộc loại parabolic, còn phương trình truyền sóng utt − a2 [uxx + uyy + uzz ] = 0 thuộc loại hyperbolic. 1.2 1.2.1 Phép biến đổi Fourier trong L 1 [Rn ] Biến đổi Fourier trong L 1 [Rn ] Giả sử f [x] = f [x1 , x2 , ..., xn ] ∈ L 1 [Rn ] là hàm khả tích trong toàn bộ không gian Rn . Định nghĩa 1.2.1.1. Biến đổi Fourier của hàm số f [x], ký hiệu là [F f ][ξ ] hoặc fˆ[ξ ], là hàm số của biến ξ = [ξ1 , ξ2 , ..., ξn ] ∈ Rn và được tính theo công thức sau: n [F f ][ξ ] = fˆ[ξ ] = [2π]− 2 e−i x,ξ f [x]dx. [1.2.1] Rn Định nghĩa 1.2.1.2. Biến đổi Fourier ngược của hàm số f [x] kí hiệu là [F −1 f ][ξ ] hoặc fˇ[ξ ], là hàm số của biến ξ = [ξ1 , ξ2 , ..., ξn ] ∈ Rn và được tính theo công thức sau: n [F −1 f ][ξ ] = f [ξ ] = [2π]− 2 ei x,ξ f [x]dx. [1.2.2] Rn 1.2.2 Các tính chất của biến đổi Fourier trong L 1 [Rn ] Mệnh đề 1.2.2.1. Nếu f [x] ∈ L 1 [Rn ] thì ∀ξ ∈ Rn ta có [F f ][ξ ] = [F −1 f ][−ξ ]. [1.2.3] 8 Chứng minh. Với f [x] ∈ L 1 [Rn ], ∀ξ ∈ Rn ta có n n [F f ][ξ ] = [2π]− 2 e−i x,ξ f [x]dx = [2π]− 2 Rn ei x,−ξ f [x]dx = [F −1 f ][−ξ ]. Rn Vậy [F f ][ξ ] = [F −1 f ][−ξ ]. Mệnh đề 1.2.2.2. Nếu f [x] ∈ L 1 [Rn ] thì ∀ξ ∈ Rn ta có [F f ][ξ ] = [F −1 f [−x]][ξ ]. [1.2.4] Chứng minh. Với f [x] ∈ L 1 [Rn ], ∀ξ ∈ Rn ta có: n n [F f ][ξ ] = [2π]− 2 e−i x,ξ f [x]dx = [2π]− 2 Rn ei −x,ξ f [x]dx. Rn Đặt −x = y ⇒ dx = −dy = d[−y] thay vào ta được: n [F f ][ξ ] = [2π]− 2 ei y,ξ f [−y]d[−y] = [F −1 f [y]][ξ ] = [F −1 f [−x]][ξ ]. Rn Vậy [F f ][ξ ] = [F −1 f [−x]][ξ ]. Mệnh đề 1.2.2.3. Giả sử hàm f [x] ∈ L 1 [Rn ]. Khi đó hàm n fˆ[ξ ] = [2π]− 2 e−i x,ξ f [x]dx Rn Là hàm số liên tục, bị chặn và lim fˆ[ξ ] = 0. ξ →∞ Chứng minh. Vì f [x] khả tích tuyệt đối nên ta suy ra sự hội tụ tuyệt đối của tích phân Fourier n fˆ[ξ ] = [2π]− 2 f [u]e−i ξ ,u du. Rn Trên cơ sở dấu hiệu hàm trội và do ei ξ ,u liên tục theo ξ nên ta suy ra fˆ[ξ ] liên tục theo biến ξ . Với ε > 0 ta phải tìm số A > 0 để: ε | f [x]| dx < . 2 |x|>A 9 Mặt khác do lim |ξ |→∞

|u| f [u]e−i ξ ,u du = 0, nên ta suy ra ∃σ > 0 sao cho với ∀ξ : |ξ | > σ : ε f [u]e−i ξ ,u du < . 2

|u| Vậy với |ξ | > σ : f [u]e−i u,ξ du ≤ Rn f [u]e−i ξ ,u du < | f [u]| du + ε ε + = ε. 2 2

|u| |u|>A n ⇒ fˆ[ξ ] = [2π]− 2 f [u]e−i ξ ,u du Rn là giới nội khi |ξ | → +∞ thì fˆ[ξ ] có giới hạn bằng 0 khi |ξ | → ∞. Mệnh đề 1.2.2.4. [Tính tuyến tính] Giả sử f [x], g[x] ∈ L 1 [Rn ] và x ∈ Rn ; α, β ∈ R. khi đó : F[α f + β g] = αF[ f ] + β F[g]. Chứng minh. Với f [x], g[x] ∈ L 1 [Rn ], n F[α f + β g] = [2π]− 2 ξ , x ∈ Rn , [1.2.5] α, β ∈ R ta có: e−i x,ξ [α f [x] + β g[x]]dx Rn n n = [2π]− 2 e−i x,ξ α f [x]dx + [2π]− 2 Rn e−i x,ξ β g[x]dx Rn n n = α[2π]− 2 e−i x,ξ f [x]dx + β [2π]− 2 Rn e−i x,ξ g[x]dx Rn = αF[ f ] + β F[g]. Vậy F[α f + β g] = αF[ f ] + β F[g]. Mệnh đề 1.2.2.5. [Biến đổi Fourier của đạo hàm] Giả sử f [x] và Dx j f thuộc không gian L 1 [Rn ] trong đó Dx j f = Nếu ∃c > 0, ε > 0: | f [x]| ≤ c , [1 + |x|]n−1+ε với x ∈ Rn , ∂f . ∂xj 10 thì F[Dx j f ] = [iξ j ] fˆ[ξ ] = [iξ j ][F f ][ξ ]. [1.2.6] Chứng minh. Theo định nghĩa biến đổi Fourier trong L 1 [Rn ] ta có n F[Dx j f ] = [2π]− 2 Dx j f e−i x,ξ dx. Rn Áp dụng công thức tích phân từng phần trong Rn f gγ j dσ − f Dx j gdx = Ω Dx j f gdx, Ω ∂Ω trong đó γ = [γ1 , γ2 , ..., γn ] là véctơ pháp tuyến đơn vị ngoài tại điểm x ∈ ∂ Ω, ta có n n F[Dx j f ] = [2π]− 2 e−i x,ξ Dx j f dx = [2π]− 2 lim A→+∞

|x| Rn e−i x,ξ Dx j f dx   n  = [2π]− 2 lim  e−i x,ξ f γ j dσ − A→+∞ |x|=A  e−i x,ξ [−iξ j ] f [x]dx .

|x| Mặt khác e−i x,ξ f γ j dσ ≤ |x|=A | f | dσ ≤ |x|=A c n−1+ε [1 + A] ωn An−1 , trong đó ωn là dịện tích mặt cầu đơn vị. Do đó: n F[Dx j f ] = [2π]− 2 e−i x,ξ Dx j f [x]dx Rn n = [2π]− 2 lim A→+∞

|x| e−i x,ξ iξ j f [x]dx = [iξ j ][F f ][ξ ]. Vậy F[Dx j f ] = [iξ j ] fˆ[ξ ] = [iξ j ][F f ][ξ ]. Giả sử f [x] ∈ L 1 [Rn ] α = [α1 , α2 , ..., αn ], x, ξ ∈ Rn αi ≥ 0 và αi ∈ Z, |α| = α1 + α2 + ... + αn . D = [Dx1 , Dx2 , ..., Dxn ], ξ = [ξ1 , ξ2 , ..., ξn ]. Dα = Dα11 Dα22 ...Dαnn , x x x α α α ξ α = ξ1 1 ξ2 2 ...ξn n . 11 Khi đó ta có công thức biến đổi Fourier đối với đạo hàm cấp cao ˆ Dα f [ξ ] = [iξ ]α f [ξ ]. [1.2.7] Hệ quả 1.2.2.6. Nếu xα . f [x] ∈ L 1 [Rn ] thì ∀ξ ∈ Rn ta có: F[xα f [x]][ξ ] = i|α| Dα [F f ][ξ ]. ξ [1.2.8] f [x] ∈ L 1 [Rn ] ta có: Chứng minh. ∀ξ ∈ Rn , n F[xα f [x]][ξ ] = [2π]− 2 e−i x,ξ xα f [x]dx. Rn Mà Dα [e−i x,ξ ] = [−ix]α e−i x,ξ , nên ξ   n F[xα f [x]][ξ ] = Dα [i]|α| [2π]− 2 ξ e−i x,ξ xα f [x]dx = i|α| Dα [F f ][ξ ]. ξ Rn Vậy F[xα f [x]][ξ ] = i|α| Dα [F f ][ξ ]. ξ Mệnh đề 1.2.2.7. [Biến đổi Fourier của tích chập] Giả sử f [x], g[x] ∈ L 1 [Rn ] khi đó: n F[ f ∗ g] = [2π] 2 [F f ][ξ ].[Fg][ξ ]. [1.2.9] Chứng minh. Theo định nghĩa tích chập ta có [ f ∗ g][x] = f [x − y]g[y]dy = f [y]g[x − y]dy. Rn Rn Trước hết ta chứng minh [ f ∗ g][x] ∈ L 1 [Rn ]. Thật vậy, |[ f ∗ g][x ]| = | f [y ]| |g[x − y]| dy. f [y]g[x − y]dy ≤ Rn Rn Từ đó |[ f ∗ g][x ]| dx ≤ Rn = Rn dy Rn dx Rn | f [y]| |g[x − y]|dy Rn | f [y]| |g[x − y]| dx = f L 1 [Rn ] . g L 1 [Rn ] . 12 Vậy f [y]g[x − y] ∈ L 1 [Rn × Rn ]. x y Ta có n F[ f ∗ g][ξ ] = [2π]− 2 e−i x,ξ dx Rn f [y]g[x − y]dy Rn n = [2π]− 2 e−i x,ξ g[x − y]dx. f [y]dy Rn [1.2.10] Rn Đặt x − y = p ⇒ d[x − y] = d p ⇒ dx = d p và x = p + y Thay vào [1.2.10] ta được n F[ f ∗ g][x] = [2π]− 2 f [y]dy Rn [2π] [2π] = −n 2 −n 2 e−i p+y,ξ g[p]d p Rn f [y]e−i y,ξ dy[2π] Rn −n 2 e−i p,ξ g[p]d p Rn n = [2π] 2 F[ f ]F[g]. 1.3 1.3.1 Phép biến đổi Fourier trong L 2 [Rn ] Biến đổi Fourier trong L 2 [Rn ] Định lý 1.3.1.1. [Định lý Phancherel] Giả sử f [x] ∈ L 1 [Rn ] ∩ L 2 [Rn ] khi đó fˆ và fˇ ∈ L 2 [Rn ] và fˆ L 2 [Rn ] = fˇ L 2 [Rn ] = f L 2 [Rn ] . [1.3.1] ∞ Chứng minh. Trước hết ta thấy rằng nếu v, w ∈ L 1 [Rn ] thì v, ω ∈ L[Rn ]. ˆ ˆ Mặt khác  v[x].w[x]dx = Rn  v[x]. [2π] Rn = [2π] −n 2 e−i x,y w[y]dydx Rn −n 2 e−i x,y v[x]w[y]dxdy, Rn Rn 13 và v[y].w[y]dy = Rn [2π] −n 2 Rn e−i x,y v[x]ω[y]dxdy Rn = [2π] −n 2 e−i x,y v[x]ω[y]dydx. Rn Rn Nên suy ra v[x]w[x]dx = ˆ Rn [1.3.2] v[y]w[y]dy. ˆ Rn Ta có 2 ei x,y −t|x| dx = Rn n 2 π t e −|y|2 4t [t > 0]. 2 Do đó, nếu ε > 0 và v0 [x] = e−ε|x| , ta có: v0 [y] = e −|y|2 4ε n . [2ε] 2 Vậy với mỗi ε > 0 từ [1.3.2] suy ra: w[y]e −ε|y|2 1 dy = w[x]e n −|x|2 4ε dx. [2ε] 2 Rn Rn [1.3.3] Bây giờ ta lấy f [x] ∈ L 1 [Rn ] ∩ L 2 [Rn ] và đặt g[x] = f [−x] [trong đó f là số phức liên hợp của f ]. Xét w = f ∗ g ∈ L 1 [Rn ] ∩ C[Rn ] ⇒ f [x], g[x] liên tục, giới nội và khả tích tuyệt đối trên L 1 [Rn ]. Do vậy áp dụng công thức [1.2.9] ta được ∞ n ˆ w = [2π] 2 fˆg ∈ L [Rn ]. ˆ Nhưng g[y] = 1 [2π] n 2 e−i x,y g[x]dx = [2π] Rn −n 2 e−i x,y f [−x]dx = f [y]. Rn Do đó n 2 w = [2π] 2 f . Vì w là liên tục nên ta có lim 1 ε→0 [2ε] n 2 w[x]e Rn −|x|2 4ε n dx = [2π] 2 w[0]. 14 n Do w = [2π] 2 f 2 ≥ 0. Vậy khi ε → 0+ trong biểu thức [1.3.3] ta kết luận w là khả tổng ˆ với ε→0+ 1 2 w[y]e−ε|y| dy = lim lim ε→0+ Rn [2ε] n 2 w[x]e −|x|2 4ε dx Rn n ⇔ w[y]dy = [2π] 2 w[0]. Rn Vì vậy n Rn n n [2π]− 2 w[y]dy = [2π]− 2 [2π] 2 .w[0] |u|2 dy = Rn = w[0] = f [x]g[−x]dx = Rn | f [x]|2 dx. f [x]. f [x]dx = Rn Rn Vậy ta chứng minh được 2 | f |2 dx, f dy = Rn Rn tức là || f ||L 2 [Rn ] = || f ||L 2 [Rn ] . [1.3.4] Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: || fˇ||L 2 [Rn ] = || f ||L 2 [Rn ] . [1.3.5] Từ [1.3.4] và [1.3.5] ⇒ || f ||L 2 [Rn ] = || fˇ||L 2 [Rn ] = || f ||L 2 [Rn ]. Định nghĩa 1.3.1.2. Biến đổi Fourier trong L 2 [Rn ]: Giả sử có dãy { fk }∞ ⊂ L 1 [Rn ] ∩ L 2 [Rn ] với fk → f trong L 2 [Rn ]. k=1 Khi đó: fk − f j ∞ Vì thế fk k=1 L 2 [Rn ] = fk − f j L 2 [Rn ] = fk − f j L 2 [Rn ] . là một dãy Cauchy trong L 2 [Rn ] do đó dãy này hội tụ đến một giới hạn mà được định nghĩa là F f hoặc fˆ. Định nghĩa fˆ không phụ thuộc vào việc chọn dãy { fk }∞ tương ứng. k=1