Tuyển tập các tài liệu môn Toán hay nhất về chủ đề GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC trong chương trình môn Toán lớp 11, bao gồm các nội dung: Giới Hạn Của Dãy Số; Giới Hạn Của Hàm Số; Hàm Số Liên Tục.
Các tài liệu GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC được biên soạn phù hợp với chương trình sách giáo khoa Toán 11: Cánh Diều, Chân Trời Sáng Tạo, Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống; với đầy đủ lý thuyết, các dạng toán, ví dụ minh họa, bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận có đáp án và lời giải chi tiết, đầy đủ các mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao.
Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Đầu tư và Dịch vụ Giáo dục MST: 0102183602 do Sở kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội cấp ngày 13 tháng 03 năm 2007 Địa chỉ: - Văn phòng Hà Nội: Tầng 4, Tòa nhà 25T2, Đường Nguyễn Thị Thập, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Hà Nội. - Văn phòng TP.HCM: 13M đường số 14 khu đô thị Miếu Nổi, Phường 3, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh Hotline: 19006933 – Email: hotro@hocmai.vn Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Giang Linh
Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 597/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/12/2016.
√ Eureka!
Uni
Toán cao cấp cho các nhà kinh tế
LỚP TCC ONLINE
ĐÁP ÁN CHI TIẾT
BÀI TẬP BUỔI 1
NEU – Spring 2020
Hoàng Bá Bạnh
Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu
Website Eureka! Uni eureka-uni
BÀI TẬP BUỔI 1 [TRÍCH TỪ ĐỀ THI – ĐỀ KIỂM TRA CÁC KHÓA]
1. Bài tập giới hạn
Bài 1. Tính các giới hạn sau [ Bổ trợ ]
1 lim 2
x x
L
− →+∞
\=
2 2 2 lim 3
xx x
L
- →−∞
\=
3 3 lim
x x
Le
− →+∞
\=
5 3 4 lim 5
xx x
L
- →−∞
\=
53 lim log x
Lx →+∞
\= [ ]
3 6 1 2
lim log x
Lx →−∞
\= − 7 lim ln 1[ ] x
Lx →+∞
\= + [ ] 8 1
lim ln 1 x
Lx →−
\= −
9 [ ] 2
lim ln 2 x
Lx →+
\= − 10 2
limarccos x 2
x L →
\= 11 [ ] 2
limarccos 3 x
Lx →
\= − 12 lim arctan 2[ ] x
Lx →+∞
\=
[ ]
2 13 lim arctan x
Lx →−∞
\= [ ]
3 14 lim arccot x
Lx →−∞
\= 15 3
1 lim arccot x 3
L x →−+
\= −
16 2 2
1 lim arctan x 4
L x →+
\= −
Giải
1
1 11 lim 0 0 22 x x
L →+∞ +∞
\= = = = +∞
[ ]
221
2 lim 3 3
x x
x
L
- +∞ →−∞
\= = +∞ = +∞
3 3
1 lim 0 0
x x
Le e e
− −∞ →+∞ +∞
\= = = =
3 32
5 1 5 4
1 lim 5 lim 5 0 5 0 5
x xx x
xx
L
- −∞
→−∞ →−∞ +∞
\= = = = =
5 [ [ ] ]ln lim ln x ln
x L →+∞
\= = +∞ +∞ = +∞
[ ] [ ]33
6
ln ln lim lim 1 ln ln 2
xx
xx L →−∞ →−∞
−− = = = −∞ −
7 lim ln 1[ ] x
Lx →+∞
\= + = +∞ 8 [ ] [ ]
1
lim ln 1 ln x
Lx −
→
\= − = −∞ = −∞
L 9 = −∞ L 10 =arccos 1 0[ ]=
L 11 = −=arccos 1[ ] π 12 13 arctan[ ] 22
LL
ππ
\= = +∞ =
14
L =π [arccot[ ]−∞ =π] [ ]
15
11 arccot arccot arccot 30
L x
ππ −
\= → = −∞ = −
16 2
L
π = − [ ] 2
11 arctan arctan arctan 40 2x
π −
→ = −∞ = − −
Bài 2. Tính các giới hạn sau [ Vận dụng theo dạng ]
Chia [ ] 13
2 lim 1 x 2
x Lx →−∞ x
\= + +
2
22
3 41 lim 23
x
xx L xx
→+∞
−+
+−
Giải
1 [ ] 2 3 33 3
2 12 12 1 2 lim 1 lim lim lim 1 2 2 22 2 1 11 1
x xxx
xx Lx xx x x x xx x
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
++ = + = = = −− =− −
- ++ +
Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu
Website Eureka! Uni eureka-uni
22 tan ~ 22
2 2 2 22 4 3 0 0 00
1 1 tan tan tan tan lim lim lim lim. tan tan
xx
x x xx
xx xxxxxx L → → →→xx x x x x x
− − −+ = −= = =
21 00
tan tan lim lim 1 2 xx
xx x L →→xx
- = =+=
22
2232 00 0
tan 1 1 tan 1 tan 1 lim lim lim 33 3
L
xx x
xx x x L →→xx x→
− −+ == =−=−
2 21 22
12 2 33
LLL
⇒=× =−=−
[ ] [ ]
[ ] [ ]2
32 0 00
2017cos
2017tan2018 2017 1 tan 2018 sin lim lim lim 1 2018cos2018 2018tan2017 2018 1 tan 2017
sin
LL
x xx
x
x x x L x x x
x
- ++ → →→
- \= = = =
Kẹp 1 3
7 1 cos 2 lim 48
→+∞
++
−+
x
xx x L xx
[ ]
2 lim sin 5 sin 3 x
L xx →+∞
\= +− +
Giải
133
7 1 cos lim
48 48
x
xx x L
xx xx
→+∞
+ = + −+ −+
11 3
cos lim 0
38
x
x L
xx
→+∞
\= =
−+
vì
3
1 lim 0 38
cos2 1
x xx
x
→+∞
= −+
≤
[ ]
2
12 3 3
23
1 7 71 71 lim lim lim 7 48 48 481
xxx
xx xx x L
xx xx
xx
→+∞ →+∞ →+∞
- * \= = = =
−+ −+ −+
⇒= + =+ =LL L 1 11 12 07 7
2
53 53 lim 2cos sin x 22
xx xx L →+∞
++ + +− + = có
53 cos 1 2
xx++ + ≤
[ ] [ ]
[ ]
53 53 1 lim sin lim sin lim sin sin0 0 xx 2 25 3x 53
xx xx
→+∞ →+∞ xx→+∞ xx
+− + +−+ = = = = + +
⇒=L 2 0
Lũy thừa mũ
1
1
41 lim →+∞ 3
−
x x
x
L x
[ ]
2
2
32
0
lim tan
xx
x
Lx +
−
→
\=
[ ]
2
1
3 0
tan sin lim →
\=
x
x
x L x
Giải
1 L Đặt
[ ] [ ]1 41 ln 41 3 ln 4 1 ln 3 ln 3
x
x x x x x yy x xx
− − −− =⇔= =
[do
0
4 10
x
x x
> → +∞ ⇒
−>
]
Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu
Website Eureka! Uni eureka-uni
[ ] [ ]ln 4 1 ln 3 [ ] 4 ln4 1 ln4 1 lim ln lim lim ln 4 1 14
x x L
x xxxx
x y x xx →+∞ →+∞ →+∞ −
−− = = −= −= −−
Vậy,
ln 4 Le 1 = = 4
L 2
Đặt [ ] [ ] [ ]2 322 tan ln 3 2 ln tan
xx y x yxx x
− = ⇔= −
[ ] [ ][ ][ ]
[ ] [ ]
[ ]
3 2~2 2 2
00 0 0
2ln tan lim ln lim 3 2 ln tan lim 2 ln tan lim 1
xx x
xx x x
x y xxx xx
x
++ + +
−−
→→ → →
− =− =−=
[ ]
[ ]2
2
00 2
1 tan 2 tan lim lim .2. 1 tan 0 1 tan
L
xx
x
x x xx x
x
→→++
- − = = += −
Vậy,
0 Le 2 = = 1
L 3 Đặt
[ ]
[ ] 2
1
2
tan sin ln tan sin ln
x
x
x x yy xx
=⇔=
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
ln 1 ~
22 2 00 0 0
22
003 2 022
tan sin tan sin tan sin ln ln 1
limln lim lim lim
tan sin cos. 1 tan sin cos 1 tan sin cos lim lim lim. 3 33
uu
xx x x
L
xx x
x xx xx
xx x y xx x
xx x xx xxx
x x xx
→→ → →
→→ →
− − + = = =
− +−− = = = +
31 0
cos 1 lim x 33
x L →
\= = ;
[ ]
322 00
cos 1 sin 1 lim lim 3 66
L
xx
xx L →→xx
−− = = = − ;
[ ]
2 tan ~ 2
3322 00
tan sin sin lim lim 1
uu
xx
x x L →→xx
\= = = 32 33 31 0
11 1 limln. x 63 6
yL L L →
⇒ = + × =−+ =
Vậy,
1/ 3 Le=
Bài 3. Tính các giới hạn sau [ Cuối kì – Tổng hợp ]
1 [ ] 3
41 lim 2 1 x 2
x Lx →−∞ xx
- \= + ++
3
2 1
lim → 1
−
x −
xx L x
[ ]
2 3 lim 16 2 4 x
L xx x →−∞
\= +++
42 0
51 lim → 6 5sin cos 1
−
- +−
x
x
L x xx [ ]
5 0
sin lim → ln cos
−
x
xx L xx
[ ]
[ ]
2
62 0
ln 1 tan3 3 lim 1 tan 2 x x
xx L ex → −
+−
−+ −
7 lim arctan 41
π
→+∞
\= − x +
x Lx x
7 0
11 lim cot x 3
Lx → xx
\= − [ ]
3 3
8
5 2 lim 2 3arccot 2
x
x
ex x L xx
−
→+∞
++
−−
[ ]
2 92
34 lim 2 cos 3 5 x 1
x L x xx →+∞ xx
- \= − −+ −+
1 2 lim sin 3 →+∞
\= −
x x x
L ex
Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu
Website Eureka! Uni eureka-uni
[ ] 2 922
23 4 34 lim cos 4 5 x 11
xx x L xx →+∞ xx xx
+ + = − −+ −+ −+
[ ] 912
2
4 23 23 4 lim lim 6 1 11 1
xx
xx x L xx
xx
→+∞ →+∞
+ + = = = −+ −+
2 922
34 lim cos 4 5 0 x 1
x L xx →+∞xx
- \= − += −+
vì
2
2
2
2
cos 4 5 1
34
34 lim lim 0 1 11 1
xx
xx
x xx
xx
xx
→+∞ →+∞
− +≤ + + = =
−+ −+
⇒ = + =+=LL L 9 91 92 606
10
L Đặt [ ] [ ]1 2 2
ln sin sin3 ln
x x x
ex ye x y x
− =− ⇔=
[ ][ ] 222
22
ln sin3 2 3cos3 2 3 cos lim ln lim lim lim sin3 1 sin
x L xx
xx xxxx
ex e x ex y x e x ex
−
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ −
− −− = = = −−
22 2
sin31;cos
lim sin3 0; lim cos3 0 lim 0
xx x xx
x
xx
ex ex e
−− − →+∞ →+∞
→+∞
≤≤ ⇒= = =
20 lim ln 2 x 10
y →+∞
− ⇒== −
Vậy,
2 Le 10 =
L 11 Đặt [ ]
61
arcsin3 ln 6 1 ln arcsin 66
x
y x yx x
ππ
− =−⇔=− −
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
11 1 66 6
2 2
112 662
ln arcsin 6 lim ln lim 6 1 ln arcsin3 lim 6 1
61
3
1 9 arcsin 6 61 1 lim lim. 6 21 9 arcsin 61 6
xx x
L
xx
x
yx x
x
xx x
x x x
π
π
π
π
−− −
−−
→→ →
→→
− = −− =
−
−
−− − = =
− −− −
1112 1 6
11 lim
x 21 9 3
L
x
− →
\= =
−
[ ]
[ ] [ ]
2
112 11 66 2
61 1261 lim lim 0 3 arcsin 619
L
xx
xx L
x
x
π −− →→
−− = = =
−−
−
111 112 1 6
1 lim ln 0 0
x 3
yL L − →
⇒ = × = ×=
Vậy,
0 Le 11 = = 1
Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu
Website Eureka! Uni eureka-uni
L 12 Đặt [ ]
[ ] 2
3
2
3ln cot cot x ln
xx yxx y x
\= ⇔=
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]1
00220 0 2 2 0
2 2 2
232 000 0
tan tan 3ln 3ln 1 3 3ln cot tan tan tan limln lim lim lim lim
3 tan 3 tan 3 1 1 tan tan lim lim lim lim 1 tan 3
xx x x x
L
xxx x
x xx xx
xx xx x y xx x x
xx xx x x
xx x x x
→→ → → →
→→→ →
− − + = = = =
−−−− = = = =−=−
Vậy,
1 12
1 Le e
− = =
L 12 a
Đặt [ ] [ ]2018 2018ln 2018
2018 ln
x x x
x y xy x
- \= + ⇔=
[ ]
[ ][ ]
[ ]
2
3
2
2018ln 2018 2018 2018 ln2018 1 2018 ln 2018 lim ln lim lim lim 2018 2018 ln2018 1
2018 ln 2018 lim lim 2018 2018 2018 ln 2018
xxLLx
xx x xxx
L x
xxx
x y →+∞ →+∞ xx→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
= = =
\= = =
Vậy,
2018ln 2018 2018 12 2018 a Le= =
2. Bài tập liên tục
Bài 1. Tìm tham số để các hàm số sau liên tục tại điểm đặc biệt
[ ]
[ ]
2 2 1 cos 1 sin ; 0 1]
;
x xx fx
kx
−
+≠
\=
[ ]
[ ]
4 3 1 2 arctan ; 2 2] 2
;
xx fx x
ax
−≠ = −
\=
Bài 2. Xét sự liên tục của các hàm số sau
[ ]
4 3 3 2 cos ; 2
- 2
0 ;
xx y x
x
−≠ = −
\=
2
1
2
tan ; 2]
;
x x x y x
ex
≠
\=
Bài 3. Xét sự liên tục của các hàm số sau
- Cho hàm số [ ]
[ ]
5 sin
21
1 sin 4 ; 0
;
+≠
\=
xxx fx
ex
. Xét tính liên tục tại điểm x = 0
- Xét sự liên tục tại x = − 1 của hàm số [ ]
2 = + 1
x fx x e
- Cho hàm số [ ]
2 ; sin
3 ;
−
−− > = −
+≤
xx ee x x fx xx
mx x
. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 0
- Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 0 : [ ]
sin ;
1; 0
≠
\=
x x fx x
x
Giải
Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu
Website Eureka! Uni eureka-uni
Do [ ]
1 3 2 0
lim 0 x
ye y e y →
\=≠=⇒ không liên tục tại x= 0 [2]
Từ [1] và [2] ta thấy y liên tục tại mọi x≠ 0
Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số
[1] [ ]
21 fe 0 = [ ] [ ]
5 sin 00
lim lim 1 sin4 x xx
fx x →→
\= + [ ]
5ln 1 sin4[ ] ln sin
x fx x
- \=[ ]
[ ]
[ ]
00 0
4cos 5 5ln 1 sin 1 sin limln lim lim 20 sin cos
L
xx x
x x x fx →→xx→
- * \= = = [ ]
20
0
lim x
fx e →
⇒=
[ ] [ ] [ ]
20 21
0
lim 0 x
fx e f e fx →
\=≠=⇒ gián đoạn tại x= 0
[2] f[ ]−= 10 [ ] [ ]
2
11
lim lim 1 0
x
xx
fx x e →−−−→−
\= −+ = [ ] [ ]
2
11
lim lim 1 0
x
xx
fx x e →−++→−
\= +=
[ ] [ ] [ ] [ ] 11
lim lim 1 0 xx
fx fx f fx →−−+→−
\= = −=⇒ liên tục tại x= − 1
[3] fm[ ] 03 = [ ] [ ] 00
lim lim 3 3 xx
fx m x m →→−−
\= +=
[ ]
[ ] [ ] [ ]
00 0 0 0
22 lim lim lim lim lim 2 sin 1 cos sin cos
xx LxxLLxx xx
xx x x x
ee x ee ee ee fx xx x x x ++ + + +
− − −−
→→ → → →
−− +− − + = = = = = −−
fx[ ] liên tục tại [ ] [ ] [ ] 00
2 0 lim lim 0 3 2 xx 3
x fx fx f m m →→−+
\=⇔ = = ⇔ =⇔=
[4] [ ] [ ] [ ] 00 00
sin sin lim lim 1 lim lim 1 xx xx
xx fx fx fx xx
++ −− →→ →→
\= =≠ = =−⇒ −
gián đoạn tại x= 0
3. Bài tập đ ạo hàm
Bài 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
- Cho hàm số
3 y xx = 2 tan. Tính y ′[ ] 0
- Tính đạo hàm hàm số sau: y fx = = +−−[ ] 33 1 x x
- Cho hàm số [ ]
sin 6 ; 3
2; 0
≠
\=
x x fx x
x
. Tính f ′[ ] 0
- Cho hàm số [ ]
9 1 ; 3
3; 0
−
− ≠ = −
\=
x e x fx x
x
. Tính f ′[ ] 0
- Chứng minh rằng hàm số fx[ ] khả vi tại điểm x 0 = 0 , với [ ]
2 3 5 sin , 0
0 ,
xx fx x
x
+≠
\=
Bài 2. Tính đạo hàm
1] Tính y′′ biết [ ]
22 yx x x= + +− +ln 16 x 16
Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu
Website Eureka! Uni eureka-uni
- Tính đạo hàm các hàm số sau: [ ]
2 ] tan
x ay= x [ ]
cos ] arctan
x by= x
- Cho [ ]
[ ]
4 5 1 6 3 arctan ; 2 2
0 ;
−≠ = −
\=
xx fx x
x
. Tính fx ′[ ]
Bài 3. Khai triển Tay-lor tại x= 0 các hàm số sau:
[ ]
1 113
- ln 33
x
fx x x
- = + >−
đến bậc 4 [ ]
2 2] 3 2
x fx e x= + đến bậc 3, phần dư Peano
Bài 4. Tìm khoảng tăng giảm và cực trị hàm số :
[ ] [ ]
5 2 4 5 1]fx=−+2 5x 5 x [ ]
112122 2] arcsin 1 2 2 4 12
fx x x x x x
π = − + −−
Bài 5. Ứng dụng phân tích kinh tế
- Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu PQ = −40 0, 03 và hàm chi phí TC = + 10 Q 120. Hãy xác định
sản lượng và mức giá để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận.
- Cho hàm chi phí trung bình:
122 ATC 0, 5 Q 0, 25 Q 10 Q
\=−+ +. Với P = 106 , tìm Q * thỏa mãn điều kiện
cực đ ại lợi nhuận.
- Cho hàm sản xuất ngắn hạn QL = 100 [ L > 0 ] và giá của sản phẩm p = 4 USD , giá thuê lao động bằng
wL = 20. Hãy tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận tối đa.
- Cho hàm chi phí biến đổi bình quân [ ]
2 AVC =−+ > Q 12 Q 14 Q 0.
- Xác định hàm tổng chi phí, biết chi phí cố định bằng 0
- Tính hệ số co dãn của chi phí theo sản lượng tại Q = 20 và giải thích kết quả nhận được.
- Cho hàm cùng và hàm cầu đối với một loại sản phẩm: Qds =−=− 113 pQ ; p 1.
- Tính thặng dư tiêu dùng, thặng dư sản xuất.
- Tính hệ số co giãn của cầu và cung theo giá tại mức giá cân bằng và giải thích ý nghĩa
- Cho hàm cung, cầu thị trư ờng của một loại hàng hóa như sau:
22 180 0, 5 ; 30 2 ds P =−=+ QP Q.
- Tính hệ số co dãn của cung và cầu theo giá tại trạng thái cân bằng
- Tính thặng dư tiêu dùng, thặng dư sản xuất
- Cho hàm cung, cầu của một loại hàng hóa như sau: Q p Q Mpsd =− = −+0, 7 150; 0, 3 0, 5 120 ; Q pM ,,
lần lượt là sản lượng, giá bán, thu nhập.
- Tìm giá và sản lượng cân bằng
- Tại mức thu nhập M 0 = 100 , nếu thu nhập tăng 3% thì giá cân bằng thay đổi như thế nào?
Giải chi tiết
Bài 1
[1] [ ]
[ ] 33
00 0
0 2 tan 0 2 sin 0 lim lim lim. 0 xx 0 xcos
yy xx x x y →→x x →xx
− − ′ = = = = −
Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu
Website Eureka! Uni eureka-uni
[ ]
[ ]
4 5
5 2
12 1 63 arctan 56 3 212
x
x x x
− =−− − − +−
x= 2 :
[ ] [ ]
[ ]
4 5 54
22 25
1 6 3 arctan 0 231 2 lim lim lim .arctan xx 22 x 2 2
x fx f x
xxx x →→−− →−
−− − − − = = = −∞ −−− −
Vì 2
1 lim x x 2 →−
\= −∞ −
và 2
1 lim arctan x x 22
π
→−
\= − −
[ ] [ ]
[ ]
4 5 54
22 25
1 6 3 arctan 0 231 2 lim lim lim .arctan xx 22 x 2 2
x fx f x
xxx x →→++ →+
−− − − − = = = −∞ −−− −
Vì 2
1 lim x x 2 →+
\= +∞ −
và 2
1 lim arctan x x 22
π
→+
\= −
[ ] [ ]
2
2 lim x 2
fx f
→ x
− ⇒ = −∞ ⇒ −
không tồn tại f′[ ] 2
Vậy, [ ]
[ ]
[ ]
4 5
5 2
12 1 63 arctan 56 3 212
x fx x x x
− ′ =−− − − +−
với x≠ 2
Bài 3
- [ ]
11 ln 33
fx x x
=++
[ ] [ ] [ ]
111 1 1 1 0 ln ln3 ln3; ln 1 0 ln3 1 1 ln 333 3 3
f fx x f
− = = =− ′′= + +⇒ =− +=−
[ ] [ ] [ ] [ ]
2 [ ]
13 9 0 3; 0 9; 131 31
3
fx f fx f x x x
′′ ==⇒= =− ⇒=−′′ ′′′ ′′′ + + +
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
44 3
54 0 54 31
fx f x
\= ⇒= +
####### [ ] [ ] [ ]
1339 234 4 ln3 1 ln 3 224
⇒ =− +− + − + +fx x x x x ox
- [ ]
2 32
x fx e x
− = +
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
2 2
2
0 2;
3 3 3 52 2 3 2 2 0 20 0 2 32 23 2 4 4
3 9 3 9 72 2 0 20 0 0 2 3 2 2 32 4 8 16
x x
f
e fx f x e x fx f f f x x
f x fx fx fx f f f f x x
− −
\=
′′=− ++ =− + ⇒ =− + =− + +
′ ′′ =− + − ⇒=−+ − =′ ′′ ′ ′
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
22 3
39 9 2 27 23 2 232 32 32 2
fx fx fx fx fx fx x xx x
′′ ′ ′ ′′′ =−+−−+′′
- ++ +
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
3 9 27 361 2 0 20 0 0 0 4 4 8 64
⇒=−+ − + =f fff f′′′ ′′ ′′ ′
Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu
Website Eureka! Uni eureka-uni
[ ] [ ]
5 2 2 2 2 361 2 33 2 4 32 384
⇒=− + − +fx x x x ox
Bài 4
- MXĐ: D=
[ ]
[ ]
[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
42 5 5 22
45 44 525522
25 4 2 5 10 5 4 2 5 30 50 8
55 25 5 25 .5 5 25.
xx x xx x xx fx x x xx xx
−+ − − ++ − − −+ ′ = += = + − −+ −+
[ ]
2
2
2
25 0 5
05 0 5
30 50 8 0 25 865
30
x x
fx x x
xx x
≠± −≠ ′ = ⇔ + ≠⇔ ≠−
− − += −± =
\=>điểm tới hạn:
25 865 2 25 865 2 5; ; ; ; 30 5 30 5
−− −+ −−
Bảng biến thiên:
x −∞ − 5
25 865
30
−− 2
5
−
25 865
30
−+ 2
5
+∞
y′ + − 0 + + 0 − −
y
yC§
yCT
C§ 2 y
Kết luận: [tự làm]
- MXĐ: D= −[ ]1;
[ ]
22 [ ] 22
1 11 1 1 arcsin 1 2211 4 4 6
x fx x x x x x xx
− π ′ = + − + − + −= −−
[ ]
2 22
2
1 11 1 1 2 44 4 arcsin arcsin 661
x xx
xx xx x
ππ
−+ − − = −+ = − −
[ ]
00
01 arcsin 62
xx
fx xx
π
= =
′ =⇔⇔ = =
Bảng biến thiên:
x − 1 0
1
2
1
y′ + 0 − 0 +
y
yC§
CT y
Kết luận: [tự làm]
Bài 5
Nhóm Xác suất và thống kê – Tài liệu NEU fb/groups/xacsuatneu
Website Eureka! Uni eureka-uni
####### [ ] [ ]
- 7 1 ** 2 3
00
1 7 686 113 7 113 448 30 3
Q
CS D Q dQ p Q Q dQ Q Q
− = − = − − = − −=
∫∫
Thặng dư sản xuất
[ ] [ ]
[ ]
- 3 7 ** 1 2
00
17832 7 1 448 303
Q Q PS p Q S Q dQ Q dQ
− + = − = −+ = − = ∫∫
- Hệ số co dãn của cầu theo giá là:
1
2 113 113 226 2
q
d
dQ p pp
dp Q pp p
ε
−− = = = −−−
Tại
- 32 64 49
p = ⇒=−ε cho biết tại
- p = 64 , khi giá tăng 1% thì lượng cầu giảm xấp xỉ
32 [%] 49
Hệ số co dãn của cung theo giá là :
1
2 12 2
s
s
dQ ppp
dp Q pp p
ε= = = −−
Tại
- 4 64 7
p = ⇒=ε cho biết tại
- p = 64 khi giá tăng 1% thì lượng cung tăng xấp xỉ [ ]
4 % 7
22 P= − ⇔= − =+ ⇒= −180 0,5Q Qdd360 2 ;pP30 2Q Qss0,5 15p
- Thị trư ờng cân bằng
⇔ = ⇔ − = − ⇔ − = −⇔= ⇒=QQds 360 2p p0,5 15 360 2 0,5 15p p p 150 Q2 15
- Hệ số co dãn của cầu theo giá là
1
360 2 360 2 360 2
d
d
dQ p pp
dp Q ppp
ε
−− = = = −−−
Tại
- p = ⇒=− 150 ε 2,5 cho biết tại
- p = 150 , khi giá tăng 1% thì lượng cầu giảm xấp xỉ 2,5%
Hệ số co dãn của cung theo giá là:
0,
2 0,5 15 0,5 15 2 60
s
s
dQ p pp
dp Q ppp
ε= = = −−−
Tại
- p = ⇒= 150 ε 0,625 cho biết tại đây , nếu giá tăng 1% thì lượng cung tăng xấp xỉ 0,625%
- Thặng dư tiêu dùng [ ]
2 15 2
0
CS=− −=180 0,5Q dQ 150 15 40 15
####### ∫
Thặng dư sản xuất: [ ]
2 15 2
0
PS= −+ =150 15 30 2Q dQ 160 15
####### ∫
Bài 7
- Thị trư ờng cân bằng ⇔ = ⇔ − = − + ⇔= +QQ pds0,7 150 0,3 0,5 120M p p M0,25 225
Vậy giá cân bằng
- pM= +225 0,25 và lượng cân bằng
- QM= +7,5 0,
- Hê số co dãn của giá cân bằng theo thu nhập là
- 0, 225 0,25 900
dp M M M
dM p M M
ε= = = ++
Tại M= 100 ⇒=ε 0,1, cho biết nếu lúc này thu nhập tăng 3% thì giá cân bằng sẽ tăng xấp xỉ 0,3%