- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
- LG bài 3
- LG bài 4
- LG bài 5
Đề bài
Câu 1. [2,0 điểm]
Cho biểu thức \[A = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\] và \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{x - 4}}\] với \[x \ge 0\] và \[x \ne 4\]
1] Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.
2] Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\].
3] Tìm x để \[A + B = \frac{{3x}}{{\sqrt x + 2}}\].
Câu II. [2,0 điểm]
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10, hai trường A và B có tất cả 750 học sinh dự thi. Trong số học sinh trường A dự thi có 80% số học sinh trúng tuyển, còn trong số học sinh trường B dự thi có 70% số học sinh trúng tuyển. Biết tổng số học sinh trúng tuyển của cả hai trường là 560 học sinh. Tính số học sinh dự thi của môi trường?
Câu III. [2,0 điểm]
1] Giải hệ phương trình:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{{x - y}} + \sqrt {y + 1} = 4}\\{\frac{1}{{x - y}} - 3\sqrt {y + 1} = - 5}\end{array}} \right.\]
2] Cho parabol [P]: \[y = {x^2}\]và đường thẳng [d]: \[y = 2[m - 1]x - {m^2} + 2m\] [m là tham số].
a. Tìm tọa độ giao điểm của parabol [P] và đường thẳng [d] khi m = 2.
b. Tìm m để đường thẳng [d] và parabol [P] cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1};{x_2}\] là hai số đối nhau.
Câu IV. [3,5 điểm]
Cho nửa tròn [0 ; R] đường kính AB và điểm M thuộc nửa đường tròn đó [M khác A và B]. Trên dây BM lấy điểm N [N khác B và M], tỉa AN cắt nửa đường tròn [O] tại điểm thứ hai là P. Tia AM và tia BP cắt nhau tại Q.
1] Chứng minh: bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
2] Chứng minh: \[\Delta \]MAB và \[\Delta \]MNQ đồng dạng.
3] Chứng minh MO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ.
4] Dựng hình bình hành ANBC. Chứng minh QB = QC.sin\[\widehat {QPM}\]
Câu V.[0,5 điểm]
Tìm GTNN của biểu thức:
\[P = 2{x^2} - 2xy + {y^2} - 3x + \frac{1}{x} + 2\sqrt {x - 2} + 2021\].
LG bài 1
Phương pháp giải:
1] Kiểm tra x = 9 có thỏa mãn điều kiện hay không và thay vào A tính toán.
2] Quy đồng và rút gọn.
3] Rút gọn biểu thức\[A + B = \frac{{3x}}{{\sqrt x + 2}}\] rồitìm x.
Chú ý kết hợp ĐKXĐ.
Lời giải chi tiết:
Câu 1:
1] Thay \[x = 9\] [t/m đk] vào A ta được:
\[A = \frac{2}{{\sqrt 9 - 2}} = 2\]
Vậy khi \[x = 9\] thì \[A = 2\].
2]
\[\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{x - 4}}\\ = \frac{{\sqrt x [\sqrt x - 2] + 4\sqrt x }}{{[\sqrt x + 2][\sqrt x - 2]}}\\ = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{[\sqrt x + 2][\sqrt x - 2]}}\\ = \frac{{\sqrt x [\sqrt x + 2]}}{{[\sqrt x + 2][\sqrt x - 2]}}\\ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\end{array}\]
3]
Ta có:
\[\begin{array}{l}A + B = \frac{{3x}}{{\sqrt x - 2}}\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{3x}}{{\sqrt x - 2}}\\ \Leftrightarrow 2 + \sqrt x = 3x\\ \Leftrightarrow 3x - \sqrt x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow [3\sqrt x + 2][\sqrt x - 1] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\sqrt x + 2 = 0\,[VN]}\\{\sqrt x - 1 = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1\,\,[t/m]\end{array}\]
Vậy \[x = 1\] thỏa mãn đề bài.
LG bài 2
Phương pháp giải:
1] Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
- Gọi ẩn và đặt ĐK cho ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng đã biết và chưa biết theo ẩn.
- Thiết lập các phương trình từ điều kiện bài cho suy ra hệ phương trình.
- Giải hệ và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Gọi số HS trúng tuyển của trường A và B lần lượt là x và y[\[x,y \in {\mathbb{N}^*};\,\,x,y < 750\]].
Ta có phương trình: \[x + y = 750\,\,[1]\]
Do trường A có \[80\% \] số HS trúng tuyển nên số HS trúng tuyển của trường A là: \[0,8x\] [học sinh]
Do trường A có \[70\% \] số HS trúng tuyển nên số HS trúng tuyển của trường A là: \[0,7y\] [học sinh]
Vì tổng số HS trúng tuyển của hai trường là 560 học sinh nên ta có pt:
\[0,8x + 0,7y = 560\,\,[2]\]
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 750}\\{0,8x + 0,7y = 560}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 350}\\{y = 400}\end{array}} \right.} \right.\]
Vậy số học sinh trúng tuyển của trường A và B lần lượt là: 350 học sinh và 400 học sinh.
LG bài 3
Phương pháp giải:
1]- Đặt ẩn phụ suy ra hệ phương trình mới
- Giải hệ phương trình mới rồi thế vào cách đặt tìm được x, y
- Kết luận
Chú ý: Điều kiện của hệ
2]
a] Thay m vào [d] rồi giải phương trình hoành độ giao điểm tìm được x
Suy ra tọa độ giao điểm.
b] - Xét phương trình hoành độ giao điểm
- Đường thẳng [d] và parabol [P] cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \[{x_1};{x_2}\] là hai số đối nhau khi\[\Delta ' > 0\] và \[{x_1} + {x_2} = 0\]
- Áp dụng định lí vi-ét tìm được m
Lời giải chi tiết:
1] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{{x - y}} + \sqrt {y + 1} = 4}\\{\frac{1}{{x - y}} - 3\sqrt {y + 1} = - 5}\end{array}} \right.\] điều kiện: \[y \ge - 1,\,\,x \ne y\].
Đặt \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{x - y}} = a}\\{\sqrt {y + 1} = b\,[b \ge 0]}\end{array}} \right.\] ta có hpt:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + b = 4}\\{a - 3b = - 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.} \right.\] suy ra:
\[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{x - y}} = 1}\\{\sqrt {y + 1} = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{x - y}} = 1}\\{y + 1 = 4}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4[t/m]}\\{y = 3[t/m]}\end{array}} \right.\end{array}\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm \[[4;\,3]\].
2]
a] Khi \[m = 2\] ta có:
\[\begin{array}{l}y = 2.[2 - 1]x - {2^2} + 2.2\\ \Leftrightarrow y = 2x\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{{\rm{x}}^2} = 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\]
+] Với x = 0 thì y = 0
+] Với x = 2 thì y = 2.2 = 4
Suy ra tọa độ giao điểm của \[[d]\] và \[[P]\] là [0; 0] và [2; 4]
b] Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[[d]\] và \[[P]\]:
\[\begin{array}{l}{x^2} = 2[m - 1] - {m^2} + 2m\,\,\,\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2[m - 1]x + {m^2} - 2m = 0\,\,[1]\end{array}\]
Để \[[d]\] và \[[P]\] cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình [1] có: \[\Delta ' > 0\]
\[ \Leftrightarrow {[m - 1]^2} - {m^2} + 2m > 0\]
\[ \Leftrightarrow 1 > 0\][luôn đúng]
Vậy phương trình [1] luôn có 2 nghiệm phân biệt.
+] Để \[[d]\] và \[[P]\] cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ là hai số đối nhau thì:
\[{x_1} = - {x_2} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 0\]
Mặt khác, theo Vi-ét ta có: \[{x_1} + {x_2} = 2[m - 1]\] nên:
\[2[m - 1] = 0 \Leftrightarrow m = 1\]
Vậy \[m = 1\] thỏa mãn đề bài.
LG bài 4
Phương pháp giải:
a] Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
b] Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc - góc
c] Chứng minh MO vuông góc với bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ
d] Dựa vào quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác vuông
Lời giải chi tiết:
1]
Ta có: \[\widehat {AMB} = {90^0}\] [Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[ \Rightarrow \widehat {QMN} = {90^0}\] [kề bù với \[\widehat {AMB}\]]
\[\widehat {APB} = {90^0}\][Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[ \Rightarrow \widehat {QPN} = {90^0}\][kề bù với \[\widehat {APB}\]]
Xét tứ giác MNPQ có:
\[\widehat {QMN} + \widehat {QPN} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\]
Mà hai góc này ở vị trí đối diện
Suy ra tứ giác MNPQ nội tiếp.
Vậy bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
2]
Do tứ giác MNPQ nội tiếp nên: \[\widehat {MQN} = \widehat {MPN}\] [Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN]
Xét [O] có: \[\widehat {ABM} = \widehat {MPN}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM]
Suy ra: \[\widehat {MQN} = \widehat {ABM}\]
Xét \[\Delta MAB\] và \[\Delta MNQ\] có:
\[\widehat {AMB} = \widehat {NMQ} = {90^0}\]
\[\widehat {MQN} = \widehat {ABM}\]
Suy ra: [g.g]
3]
Gọi I là trung điểm của QN.
Xét tam giác MNQ vuông tại M có I là trung điểm của QN nên:
MN=MI=IQ => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ.
Do \[\Delta MIN\] cân tại I nên \[\widehat {IMN} = \widehat {INM}\]
Vì tứ giác MNPQ nội tiếp nên: \[\widehat {IMN} = \widehat {MPQ}\] [cùng chắn cung MQ]
Suy ra: \[\widehat {INM} = \widehat {MPQ}\] [1]
Do \[\Delta OMB\] cân tại O [OM=OB=R] nên: \[\widehat {OBM} = \widehat {ABM}\]
Mà: \[\widehat {ABM} = \widehat {MPA}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM]
Suy ra: \[\widehat {OMB} = \widehat {MPA}\] [2]
Từ [1] và [2] ta có: \[\widehat {OMB} + \widehat {IMN} = \widehat {MPA} + \widehat {MPQ} = \widehat {APQ} = {90^0}\]
Suy ra: \[\widehat {OMI} = {90^0}\,\, \Rightarrow MI \bot MO\]
Vậy MO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ.
4]
Do ANBC là hình bình hành nên: BC // AN hay BC // AP mà \[AP \bot BQ\]
Suy ra: \[BC \bot BQ \Rightarrow \widehat {QBC} = {90^0}\]
Do ANBC là hình bình hành nên: AC // MB mà \[MB \bot AN\]
Suy ra: \[AC \bot AM \Rightarrow \widehat {CAQ} = {90^0}\]
Xét tứ giác AQBC có: \[\widehat {QBC} + \widehat {CAQ} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\]
=> Tứ giác AQBC nội tiếp đường tròn.
\[ \Rightarrow \widehat {MAB} = \widehat {QCB}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung QB] [3]
Ta có: \[\widehat {MAB} + \widehat {MBA} = {90^0}\] [tam giác MAB vuông tại M]
\[\widehat {QPM} + \widehat {MPA} = {90^0}\] mà \[\widehat {MPA} = \widehat {MBA}\] [Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM]
\[ \Rightarrow \widehat {MAB} = \widehat {QPM}\]\[\][4]
Từ [3] và [4] suy ra \[\widehat {QCB} = \widehat {QPM}\][5]
Xét tam giác QCB vuông tại B có: sin \[\widehat {QCB}\] =\[\frac{{QB}}{{QC}}\] [6]
Từ [5] và [6] suy ra: \[\sin \widehat {QPM} = \frac{{QB}}{{QC}}\] hay \[QB = QC.\sin \widehat {QPM}\] [đpcm]
LG bài 5
Phương pháp giải:
- Tách thành các hằng đẳng thức và các số dương để đánh giá.
Chú ý điều kiện của c khi áp dụng BĐT Cô - Si cho hai số dương.
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}P = 2{x^2} - 2xy + {y^2} - 3x + \frac{1}{x} + 2\sqrt {x - 2} + 2021\\P = [{x^2} - 2xy + {y^2}] + 2\sqrt {x - 2} + [{x^2} - 4x + 4] + \frac{1}{x} + x + 2017\\P = {[x - y]^2} + 2\sqrt {x - 2} + {[x - 2]^2} + \left[ {\frac{1}{x} + \frac{x}{4}} \right] + \frac{{3x}}{4} + 2017\\ \Rightarrow P \ge {[2 - y]^2} + 0 + 0 + 2\sqrt {\frac{1}{x}.\frac{x}{4}} + \frac{{3.2}}{4} + 2017\,\,\\ \Rightarrow P \ge 0 + 0 + 0 + 1 + \frac{3}{2} + 2017\\ \Rightarrow P \ge \frac{{4039}}{2}\end{array}\]
Dấu = xảy ra khi \[x = 2\].
Vậy GTNN của P bằng \[\frac{{4039}}{2}\] khi \[x = 2\].
\[\]