Đề bài
Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số \[\displaystyle f\left[ x \right] = \frac{{x\left[ {2 + x} \right]}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\]?
A. \[\displaystyle \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}\] B. \[\displaystyle \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\]
C. \[\displaystyle \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\] D. \[\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính nguyên hàm của hàm số đã cho bằng cách biến đổi về các hàm số cơ bản có công thức tính nguyên hàm.
Chú ý: Nếu \[\displaystyle F\left[ x \right]\] là một nguyên hàm của \[\displaystyle f\left[ x \right]\] thì \[\displaystyle F\left[ x \right] + C\] với \[\displaystyle C\] là một hẳng số cũng là một nguyên hàm của \[\displaystyle f\left[ x \right]\].
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\displaystyle f\left[ x \right] = \frac{{x\left[ {2 + x} \right]}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\]\[\displaystyle = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - 1}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\] \[\displaystyle = 1 - \frac{1}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\]
\[\displaystyle \Rightarrow \int {f\left[ x \right]dx} = \int {\left[ {1 - \frac{1}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}} \right]dx} \] \[\displaystyle = x + \frac{1}{{x + 1}} + C\]
Đáp án A: \[\displaystyle \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}} = x - \frac{1}{{x + 1}}\] nên không là nguyên hàm của \[\displaystyle f\left[ x \right]\].
Đáp án B: \[\displaystyle \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}} - 2\] nên là một nguyên hàm của \[\displaystyle f\left[ x \right]\].
Đáp án C: \[\displaystyle \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\] nên là một nguyên hàm của \[\displaystyle f\left[ x \right]\].
Đáp án D: \[\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}} - 1\] nên là một nguyên hàm của \[\displaystyle f\left[ x \right]\].
Chọn A.