Đề bài
Nghiệm của phương trình \[\cos 2x \cos 4x=1\] thuộc đoạn \[\left[ { - \pi ; \pi} \right]\] là
A. \[-\dfrac{\pi}{2}\], \[0\] và \[\pi\]
B. \[0\],\[\dfrac{\pi}{2}\] và \[\pi\]
C. \[-\pi\], \[0\] và \[\pi\]
D. \[-\dfrac{\pi}{2}\],\[\dfrac{\pi}{2}\]và \[\pi\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng để thu gọn phương trình.
Lời giải chi tiết
Ta có:\[\cos 2x \cos 4x=1\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}[\cos[4x+2x]+\cos[4x-2x]]=1\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}[\cos 6x+\cos 2x]=1\]
\[\Leftrightarrow \cos 6x+\cos 2x=2\]
Vì \[-1\le\cos 6x\le1\] và\[-1\le\cos 2x\le1\]
\[ \Rightarrow - 2 \le \cos 6x + \cos 2x \le 2\]
Nên phương trình xảy ra khi dấu "=" thứ hai trong bđt trên xảy ra
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos 6x=1\\\cos 2x=1\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6x=k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\2x=k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{3} ,k\in\mathbb{Z}\\x=k\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow x=k\pi,k\in\mathbb{Z}\]
Với \[k=-1\], \[k=0\] và \[k=1\] phương trình có 3 nghiệm \[\pi\], \[0\] và \[\pi\] thuộcđoạn \[[-\pi;\pi]\]
Đáp án: C.
Cách trắc nghiệm:
Xét các phương án.
Với x = ±π/2 thì cos2x 1 = 0, cos4x = 1 nên các giá trị ±π/2 không phải là nghiệm của phương trình. Do đó các phương án A, B, D đều bị loại.