Mà k nguyên nên k∈{ 1;2;3..;635;636}. Do đó; phương trình đã cho có 636 nghiệm trong khoảng [0; 2000]
Chọn D.
Ví dụ 3. Phương trình 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x. [2sin2x+ 1] có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng[ 10; 1000] ?
A. 1207
B. 1260
C.1261
D. 1208
Lời giải.
Ta có: 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x
⇒ 1+ cos2x + 1+ cos4x + 1+ cos6x- 3 = 2.cos4x.sin2x + cos4x
⇒ cos2x+ cos4x+ cos6x = 2cos 4x. sin2x + cos4x
⇒ cos2x+ cos6x – 2cos 4x.sin2x=0
⇒ 2cos 4x. cos2x – 2.cos4x. sin2x= 0
⇒ 2cos 4x.[cos2x – sin2x] = 0
⇒ 12,23 < k < 1272,8
Mà k nguyên nên k∈{ 13;14;…1271;1272}
⇒ có 1260 số thỏa mãn.
Chọn B.
Ví dụ 4. Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng [0; 108π]
A. 3025
B. 3026
C. 3027
D. Tất cả sai
Lời giải.
Điều kiện: [ 1+2cosx].sinx ≠ 0
Với điều kiện trên phương trình trên tương đương:
[ 1- 2cosx].[ 1+ cosx] = [ 1+ 2cosx]. sinx
⇒ 1+ cosx – 2cosx – 2cos2 x= sinx + 2sinx. cosx
⇒ 2cos2 x – 1 + cosx+ sinx + 2sinx.cosx= 0
⇒ cos2x + cosx + sinx + sin2x=0
Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3; ..; 3027}
⇒ Phương trình đã cho có 3027 nghiệm.
Chọn C.
Ví dụ 5. Phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
A. 1
B. 2
C.3
D. 4
Lời giải.
Vì x nguyên dương nên [3k- 2]∈Ư [98]={1;2; 7;14;49;98}
Từ đó ta tính được k∈ {1; 3; 17} – chú ý k nguyên.
+ k= 1 ⇒ x= 12
+ k= 3 ⇒ x = 4
+ k= 17 ⇒ x = 12
⇒ Phương trình có hai nghiệm nguyên dương là 12 và 4
Chọn B.
Ví dụ 6. Phương trình: có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng [0; 2017π]
A.4033
B. 4032
C. 4035
D. 4036
Lời giải.
⇒ [ 1- cos2x]2 + [cosx- sinx]4=1
⇒ 1- 2cos2x + cos22x + [ cos2x + sin2x – 2.cosx. sinx]2= 1
⇒ 1- 2cos2x + cos22x + [1- sin2x]2 - 1= 0
⇒ - 2cos2x + cos22x + 1- 2sin2x+ sin22x = 0
⇒ [cos22x + sin22x ] +1 – 2.[cos2x+ sin2x]= 0
⇒ 2- 2[cos2x + sin2x] = 0
⇒ cos2x + sin2x = 1
Mà k nguyên nên k∈{0;1;2; ...; 2016} ⇒ có 2017 nghiệm
Kết hợp 2 trường hợp có 4033 nghiệm trong khoảng đang xét.
Chọn A.
Ví dụ 7. Tìm số nghiệm của phương trình: tan4x – tan2x – 4tanx= 4tan4x. tan2x. tanx trên đoạn [0; 2π]?
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Lời giải
Ta có: tan4x – tan2x – 4tanx = 4tan4x. tan2x. tanx
⇒ tan4x – tan2x = 4tan4x. tan2x. tanx + 4 tanx
⇒ tan4x - tan2x = 4tanx. [tan 4x. tan2x + 1]
Chọn B.
Ví dụ 8. Tính tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng [0; π]?
A. π/4
B. π/3
C. π
D.Đáp án khác
Lời giải
Điều kiện:
Ta có: tan 3x + cot[π/2+x]=0
⇒ tan3x – tanx = 0 ⇒ tan3x= tanx
⇒ 3x = x+kπ ⇒ 2x= kπ
⇒ x= kπ/2 [ không thỏa mãn điều kiện ]
Do đó; phương trình đã cho vô nghiệm.
Chọn D.
Ví dụ 9. Tìm số nghiệm của phương trình sin[cosx] = 0 trên khoảng [0; 4π] ?
A. 2
B.3
C. 4
D. 5
Lời giải
Ta có: sin[cosx]=0
⇒ cosx = kπ [*]
Do với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1 nên từ [*] suy ra: k= 0
Mà k nguyên nên k∈ {0;1; 2;3}.
⇒ Phương trình đã cho có 4 nghiệm trên khoảng [0; 4π]
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho phương trình: 2cos23x + [3- 2m]cos3x + m-2= 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc khoảng ?
A. 1 < m < 2
B. 2 < m ≤ 3
C. 1 < m ≤ 2
D. 2 < m < 3
Lời giải.
Chọn C.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Cho phương trình: [cos4 x- sin4 x].[ 2cos2x+5] – 3 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng [ π;4π]
A. 5
B. 7
C. 6
D. 8
Ta có: [cos4 x- sin4 x].[2cos2x+ 5] – 3 = 0.
⇒ [ cos2 x- sin2 x].[ cos2 x+ sin2x] .[ 2cos 2x + 5] – 3= 0
⇒ cos2x.1.[ 2cos 2x + 5] - 3= 0
⇒ 2cos22x + 5cos 2x – 3=0
⇒ Phương trình có ba nghiệm đối với họ nghiệm này.
Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc [π;4π]
Chọn C.
Câu 2:Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0;2π]
A.3
B.4
C.5
D. 6
Chọn B.
Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình: sinx. cosx + |sinx+cosx|= 1 trên [0; 2π]?
A. 2
B.4
C.3
D.5
⇒ 0 < k < 4 mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3}.
Vậy phương trình có ba nghiệm trên khoảng đang xét.
Chọn C.
Câu 4:Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [ 2π;10π]?
A. 6
B .7
C. 8
D. 9
Điều kiện: cosx ≠ -√3/2
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2sin2 x-cosx+2-5sinx+sin2x = 0
⇒ [ sin2x – cosx] + [2sin2x – 5sinx + 2] =0
⇒ [2sinx. cosx – cosx] + [ 2sin2x – 5sinx + 2] = 0
⇒ cosx.[ 2sinx- 1] + [ sinx- 2]. [ 2sinx – 1]= 0
⇒ [ 2sinx – 1]. [cosx + sinx- 2] = 0
Kết hợp 2 trường hợp; suy ra phương trình có tất cả 8 nghiệm trên đoạn [2π;10π]
Chọn C.
Câu 5:Tìm số nghiệm của phương trình: cos2x.[tan2 x – cos2x]= cos3x- cos2 x+ 1 trên khoảng [0; 6π] ?
A. 9
B. 8
C. 10
D.11
+ Trường hợp 1: Nếu cosx=- 1
⇒ x= π+k2π .Ta có: 0 < x < 6π nên: 0 < π+k2π < 6π
⇒ Kết hợp hai trường hợp suy ra số nghiệm của phương trình thuộc khoảng [0; 6π] là 9 nghiệm.
Chọn A.
Câu 6:Cho phương trình: m.sin2x – 3sinx.cosx – m- 1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-4; 7] để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc [0; 3π/2]. Số các phần tử của tập S là:
A. 4
B. 3
C. 5
D. 6
Ta có: m. sin2 x – 3sinx. cosx – m- 1= 0
⇒ m.[ sin2 x- 1] - 3sinx. cosx – 1=0
⇒ - m.cos2 x – 3sinx. cosx – 1=0
⇒ m.cos2 x+ 3sinx. cosx + 1= 0
+ Nhận thấy cosx=0 không thỏa phương trình.
Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:
⇒ tan2 x+3tanx + m+ 1=0 [*]
Đặt t= tanx; phương trình [*] trở thành: t2 + 3t + m + 1= 0
Để phương trình đã cho có ba nghiệm thuộc [0; 3π/2] khi và chỉ khi phương trình [*] có hai nghiệm trái dấu
⇒ a.c= m+ 1 < 0 ⇒ m < - 1
Mà m nguyên và m∈ [ -4;7]
⇒ m∈{ -4; -3; -2}.
⇒ Tập S có 3 phần tử.
Chọn B.
Câu 7:Cho phương trình: [ cosx+ 1].[4cos 2x – m.cosx]= m.sin2 x. Số các giá trị nguyên của m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [0;2π/3] là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ta có: [cosx+ 1]. [4cos2x – m.cosx] = m.sin2x
⇒ [ cosx+ 1].[ 4cos2x – m. cosx] = m.[1- cos2 x]
⇒ [cosx+ 1] . [ 4cos2x- m. cosx] – m.[ 1- cosx].[ 1+ cosx] =0
⇒ [ cosx+ 1][ 4cos2x -m.cosx - m+m. cosx]= 0
⇒ [cosx+ 1]. [ 4cos 2x – m] = 0
Câu 8:Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình: [sinx-1].[2cos2x- [ 2m+1].cosx + m]=0 có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn [0; 2π]
A . 1
B. 2
C .3
D .4
Ta có: [sinx- 1].[2cos2 x – [2m+ 1].cosx + m] = 0
⇒ [sinx -1]. [ 2cosx- 1].[ cosx – m] = 0
Kết luận: Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.
Chọn B.
Câu 9:Biết rằng khi m= m0 thì phương trình : 2sin2 x – [5m+ 1].sinx +2m2 + 2m = 0 có đúng 5 nghiệm thuộc khoảng . Tìm mệnh đề đúng?
A. m0= - 2
B. m0= 1
C.
D.
Đặt t= sinx [ - 1 ≤ t ≤ 1] .
Phương trình đã cho trở thành: 2t2 – [5m+1].t + 2m2 + 2m=0 [* ]
Chọn D.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID
Đăng ký khóa học tốt 11 dành cho teen 2k4 tại khoahoc.vietjack.com
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.