Ta cần tính độ dài đường cong của hàm số y=f[x] giới hạn bởi hai đường thẳng x=a và x=b tức là độ dài của cung AB với A[a;f[a]] và B[b;f[b]] trên đồ thị hàm số y=f[x]. Ý tưởng chia đoạn thẳng AB thành n đoạn thẳng nhỏ với n rất lớn thì độ dài của từng đoạn nhỏ sẽ xấp xỉ đến độ dài của cung tròn nhỏ, tức là tổng độ dài của n đoạn thẳng nhỏ này sẽ xấp xỉ với độ dài cung AB. Bạn đang xem: Công thức xác định độ dài của đường cong dựa vào tích phân
Bài viết này giới thiệu đến quý thầy cô cùng các em học sinh ứng dụng tích phân trong việc tính độ dài của một đường cong y=f[x] trên đoạn [a;b].
2. Ví dụ
Ví dụ 1.
3. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo thành khi xoay f[x] quanh Ox giới hạn giữa hai mặt phẳng x = a và x = b
4. Khi trục xoay là Oy.
Có thể chứng minh dễ dàng công thức diện tích mặt tròn xoay ở trên bây giờ là:
Đăng bởi: Đại Học Đông Đô
Chuyên mục: Lớp 12, Toán 12
Sgk Giải Tích 12 Nâng Cao, BGD&ĐT
NGUỒN GỐC CỦA KÍ HIỆU NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Kí hiệu tích phân là do nhà toán học Leibniz đưa ra, tích phân của hàm số f trên đoạn [a;b] được ông định nghĩa là giới hạn của một tổng: [1]. Về sau hiệu được kí hiệu lại là [do chữ d là chữ bắt đầu của “diferentia”, nghĩa là “hiệu số”], kí hiệu tổng số cũng như chữ S có nguốc từ chữ La-tinh “summa” [nghĩa là “tổng số”], dấu tích phân là một biến dạng đơn giản của chữ S. Thành thử, giới hạn [1] được kí hiệu là
1. Tính độ dài đường cong đồ thị f[x] giới hạn giữa hai đường thẳng x=a và x=b
Ta có thể chia nhỏ đường cong này thành vô số đoạn “gần thẳng” rồi lấy tổng của chúng lại với nhau. Xét và sao cho . Với đủ nhỏ, ta xem độ dài đường cong đồ thị f[x] giới hạn giữa 2 đường thẳng và là độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểm và , cũng do nhỏ, ta xem đoạn thẳng này thuộc tiếp tuyến tại của . Như vậy độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểm và được tính bằng , trong đó là góc tạo bởi tiếp tuyến tại của và trục Ox nên . Tóm lại
Lấy tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ lại với nhau, ta được công thức tính độ dài đường cong đồ thị f[x] giới hạn giữa 2 đường thẳng và là
2. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo thành khi xoay f[x] quanh Ox giới hạn giữa hai mặt phẳng x=a và x=b
Dùng phương pháp tương tự, ta xem diện tích này bằng tổng diện tích khi các đoạn thẳng nhỏ [ở phần 1] xoay quanh Ox tạo thành. Mỗi đoạn thẳng nhỏ khi xoay quanh Ox tạo thành bề mặt xung quanh của một hình nón cụt, có diện tích là , trong đó l là độ dài của đoạn thẳng nhỏ đã được tính ở trên: . Do nhỏ nên ta xem . Tóm lại
Lấy tổng diện tích các bề mặt nón cụt với nhau ta được công thức tính diện tích mặt tròn xoay tạo thành khi xoay f[x] quanh Ox giới hạn giữa hai mặt phẳng x=a và x=b là
3. Khi trục xoay là Oy.
Có thể chứng minh dễ dàng công thức diện tích mặt tròn xoay ở trên bây giờ là:
4. Kết luận
Như vậy Già Linh đã nói đúng về việc có thể tính diện tích mặt cầu bằng tích phân, nhưng đến hôm nay cả 2 đứa mới chính thức viết ra được các công thức như trên.