Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn
Ví dụ 1. Phương trình 2sin2x+ 4cosx = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng [0; 3000]
A. 954
B.955
C. 956
D. 957
Lời giải
Ta có: 2sin2x + 4cosx = 0
4. sinx.cos+ 4cosx= 0
4cosx. [ sinx+ 1] = 0
Mà k nguyên nên k{0;1;2;3;;954} có 955 giá trị của k thỏa mãn.
Phương trình có 955 nghiệm thuộc khoảng [0;3000]
Chọn B.
Ví dụ 2. Cho phương trình 2sinx+ 2cosx cos2x=0. Tìm số nghiệm của phương trình thuộc [0; 2000].
A.624
B. 652
C. 645
D. 636
Lời giải
Ta có: 2sinx+ 2cosx cos2x = 0
[ 2sinx+ 2cosx] [cos2 x sin2 x]= 0
2[sinx + cosx] - [ cosx- sinx] . [ cosx+ sinx]= 0
[ sinx+ cosx]. [ 2- cosx + sinx] = 0
Mà k nguyên nên k{ 1;2;3..;635;636}. Do đó; phương trình đã cho có 636 nghiệm trong khoảng [0; 2000]
Chọn D.
Ví dụ 3. Phương trình 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x 3= cos4x. [2sin2x+ 1] có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng[ 10; 1000] ?
A. 1207
B. 1260
C.1261
D. 1208
Lời giải.
Ta có: 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x 3= cos4x
1+ cos2x + 1+ cos4x + 1+ cos6x- 3 = 2.cos4x.sin2x + cos4x
cos2x+ cos4x+ cos6x = 2cos 4x. sin2x + cos4x
cos2x+ cos6x 2cos 4x.sin2x=0
2cos 4x. cos2x 2.cos4x. sin2x= 0
2cos 4x.[cos2x sin2x] = 0
12,23 < k < 1272,8
Mà k nguyên nên k{ 13;14;1271;1272}
có 1260 số thỏa mãn.
Chọn B.
Ví dụ 4. Phương trình
A. 3025
B. 3026
C. 3027
D. Tất cả sai
Lời giải.
Điều kiện: [ 1+2cosx].sinx 0
Với điều kiện trên phương trình trên tương đương:
[ 1- 2cosx].[ 1+ cosx] = [ 1+ 2cosx]. sinx
1+ cosx 2cosx 2cos2 x= sinx + 2sinx. cosx
2cos2 x 1 + cosx+ sinx + 2sinx.cosx= 0
cos2x + cosx + sinx + sin2x=0
Mà k nguyên nên k {1; 2; 3; ..; 3027}
Phương trình đã cho có 3027 nghiệm.
Chọn C.
Ví dụ 5. Phương trình
A. 1
B. 2
C.3
D. 4
Lời giải.
Vì x nguyên dương nên [3k- 2]Ư [98]={1;2; 7;14;49;98}
Từ đó ta tính được k {1; 3; 17} chú ý k nguyên.
+ k= 1 x= 12
+ k= 3 x = 4
+ k= 17 x = 12
Phương trình có hai nghiệm nguyên dương là 12 và 4
Chọn B.
Ví dụ 6. Phương trình:
A.4033
B. 4032
C. 4035
D. 4036
Lời giải.
[ 1- cos2x]2 + [cosx- sinx]4=1
1- 2cos2x + cos22x + [ cos2x + sin2x 2.cosx. sinx]2= 1
1- 2cos2x + cos22x + [1- sin2x]2 - 1= 0
- 2cos2x + cos22x + 1- 2sin2x+ sin22x = 0
[cos22x + sin22x ] +1 2.[cos2x+ sin2x]= 0
2- 2[cos2x + sin2x] = 0
cos2x + sin2x = 1
Mà k nguyên nên k{0;1;2; ...; 2016} có 2017 nghiệm
Kết hợp 2 trường hợp có 4033 nghiệm trong khoảng đang xét.
Chọn A.
Ví dụ 7. Tìm số nghiệm của phương trình: tan4x tan2x 4tanx= 4tan4x. tan2x. tanx trên đoạn [0; 2π]?
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Lời giải
Ta có: tan4x tan2x 4tanx = 4tan4x. tan2x. tanx
tan4x tan2x = 4tan4x. tan2x. tanx + 4 tanx
tan4x - tan2x = 4tanx. [tan 4x. tan2x + 1]
Chọn B.
Ví dụ 8. Tính tổng các nghiệm của phương trình
A. π/4
B. π/3
C. π
D.Đáp án khác
Lời giải
Điều kiện:
Ta có: tan 3x + cot[π/2+x]=0
tan3x tanx = 0 tan3x= tanx
3x = x+kπ 2x= kπ
x= kπ/2 [ không thỏa mãn điều kiện ]
Do đó; phương trình đã cho vô nghiệm.
Chọn D.
Ví dụ 9. Tìm số nghiệm của phương trình sin[cosx] = 0 trên khoảng [0; 4π] ?
A. 2
B.3
C. 4
D. 5
Lời giải
Ta có: sin[cosx]=0
cosx = kπ [*]
Do với mọi x ta luôn có: - 1 cosx 1 nên từ [*] suy ra: k= 0
Mà k nguyên nên k {0;1; 2;3}.
Phương trình đã cho có 4 nghiệm trên khoảng [0; 4π]
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho phương trình: 2cos23x + [3- 2m]cos3x + m-2= 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc khoảng ?
A. 1 < m < 2
B. 2 < m 3
C. 1 < m 2
D. 2 < m < 3
Lời giải.
Chọn C.
Câu 1:Cho phương trình: [cos4 x- sin4 x].[ 2cos2x+5] 3 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng [ π;4π]
A. 5
B. 7
C. 6
D. 8
Ta có: [cos4 x- sin4 x].[2cos2x+ 5] 3 = 0.
[ cos2 x- sin2 x].[ cos2 x+ sin2x] .[ 2cos 2x + 5] 3= 0
cos2x.1.[ 2cos 2x + 5] - 3= 0
2cos22x + 5cos 2x 3=0
Phương trình có ba nghiệm đối với họ nghiệm này.
Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc [π;4π]
Chọn C.
Câu 2:Tìm số nghiệm của phương trình
A.3
B.4
C.5
D. 6
Chọn B.
Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình: sinx. cosx + |sinx+cosx|= 1 trên [0; 2π]?
A. 2
B.4
C.3
D.5
0 < k < 4 mà k nguyên nên k {1; 2; 3}.
Vậy phương trình có ba nghiệm trên khoảng đang xét.
Chọn C.
Câu 4:Tìm số nghiệm của phương trình
A. 6
B .7
C. 8
D. 9
Điều kiện: cosx -3/2
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2sin2 x-cosx+2-5sinx+sin2x = 0
[ sin2x cosx] + [2sin2x 5sinx + 2] =0
[2sinx. cosx cosx] + [ 2sin2x 5sinx + 2] = 0
cosx.[ 2sinx- 1] + [ sinx- 2]. [ 2sinx 1]= 0
[ 2sinx 1]. [cosx + sinx- 2] = 0
Kết hợp 2 trường hợp; suy ra phương trình có tất cả 8 nghiệm trên đoạn [2π;10π]
Chọn C.
Câu 5:Tìm số nghiệm của phương trình: cos2x.[tan2 x cos2x]= cos3x- cos2 x+ 1 trên khoảng [0; 6π] ?
A. 9
B. 8
C. 10
D.11
+ Trường hợp 1: Nếu cosx=- 1
x= π+k2π .Ta có: 0 < x < 6π nên: 0 < π+k2π < 6π
Kết hợp hai trường hợp suy ra số nghiệm của phương trình thuộc khoảng [0; 6π] là 9 nghiệm.
Chọn A.
Câu 6:Cho phương trình: m.sin2x 3sinx.cosx m- 1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-4; 7] để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc [0; 3π/2]. Số các phần tử của tập S là:
A. 4
B. 3
C. 5
D. 6
Ta có: m. sin2 x 3sinx. cosx m- 1= 0
m.[ sin2 x- 1] - 3sinx. cosx 1=0
- m.cos2 x 3sinx. cosx 1=0
m.cos2 x+ 3sinx. cosx + 1= 0
+ Nhận thấy cosx=0 không thỏa phương trình.
Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:
tan2 x+3tanx + m+ 1=0 [*]
Đặt t= tanx; phương trình [*] trở thành: t2 + 3t + m + 1= 0
Để phương trình đã cho có ba nghiệm thuộc [0; 3π/2] khi và chỉ khi phương trình [*] có hai nghiệm trái dấu
a.c= m+ 1 < 0 m < - 1
Mà m nguyên và m [ -4;7]
m{ -4; -3; -2}.
Tập S có 3 phần tử.
Chọn B.
Câu 7:Cho phương trình: [ cosx+ 1].[4cos 2x m.cosx]= m.sin2 x. Số các giá trị nguyên của m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [0;2π/3] là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ta có: [cosx+ 1]. [4cos2x m.cosx] = m.sin2x
[ cosx+ 1].[ 4cos2x m. cosx] = m.[1- cos2 x]
[cosx+ 1] . [ 4cos2x- m. cosx] m.[ 1- cosx].[ 1+ cosx] =0
[ cosx+ 1][ 4cos2x -m.cosx - m+m. cosx]= 0
[cosx+ 1]. [ 4cos 2x m] = 0
Câu 8:Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình: [sinx-1].[2cos2x- [ 2m+1].cosx + m]=0 có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn [0; 2π]
A . 1
B. 2
C .3
D .4
Ta có: [sinx- 1].[2cos2 x [2m+ 1].cosx + m] = 0
[sinx -1]. [ 2cosx- 1].[ cosx m] = 0
Kết luận: Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.
Chọn B.
Câu 9:Biết rằng khi m= m0 thì phương trình : 2sin2 x [5m+ 1].sinx +2m2 + 2m = 0 có đúng 5 nghiệm thuộc khoảng
A. m0= - 2
B. m0= 1
C.
D.
Đặt t= sinx [ - 1 t 1] .
Phương trình đã cho trở thành: 2t2 [5m+1].t + 2m2 + 2m=0 [* ]
Chọn D.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi