Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $\!\![\!\!-10;10]$ của tham số $m$ để hàm số $y=-\dfrac{3}{2}{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-[3m+10]x+{{m}^{2}}+1$ nghịch biến trên khoảng $[0;+\infty ]$ ?
A. $14$.
B. $13$.
C. $12$.
D. $11$.
Lời giải
Ta có $y=-\dfrac{3}{2}{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-[3m+10]x+{{m}^{2}}+1\Rightarrow {y}'=-6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-3m-10$.
Theo yêu cầu bài toán ta phải có: ${y}'\le 0; \forall x\in \left[ 0;+\infty \right]$, dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.
${y}'\le 0, \forall x\in \left[ 0;+\infty \right]\Leftrightarrow - 6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-3m-10\le 0, \forall x\in \left[ 0;+\infty \right]$
$\Leftrightarrow 3m\ge - 6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-10, \forall x\in \left[ 0;+\infty \right] \left[ * \right]$
Xét hàm số $g\left[ x \right]=-6{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-10$ xác định và liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right]$.
Ta có: ${g}'\left[ x \right]=-18{{x}^{2}}+12x$ ; ${g}'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
$\Rightarrow \underset{[0;+\infty ]}{\mathop{\text{Max}}} g[x]=g\left[ \dfrac{2}{3} \right]=-\dfrac{82}{9}$.
Từ [*] $\Rightarrow 3m\ge \underset{\left[ 0;+\infty \right]}{\mathop{\text{max}}} g\left[ x \right]$ hay $3m\ge -\dfrac{82}{9}\Leftrightarrow m\ge -\dfrac{82}{27}$.
Vậy các giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\!\![\!\!-10;10]$ là $m\in \!\!\{\!\!-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\!\!\}\!\!$ $\Rightarrow $ Có 14 giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án A.
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \[\left[ { - 10;10} \right]\] của tham số \[m\] để hàm số \[y = - \dfrac{3}{2}{x^4} + 2{x^3} - \left[ {3m + 10} \right]x + {m^2} + 1\] nghịch biến trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\]?
Chọn A.
TXĐ: D=R
Ta có: y'=3x2-6x+3m
Để hàm số đã cho nghịch biến trên 1;2
thì y'≤0, ∀x∈1;2và bằng 0 tại hữu hạn điểm
Hàm số y=x-12 đồng biến trên 1;+∞ nên cũng đồng biến trên 1;2
Lại có m∈-10;10 và m∈Z nên m∈-10;-9;..;0
Vậy có 11 giá trị của m