Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
a. Hai phương trình tương đương với nhau thì phải có cùng điều kiện xác định.
b. Hai phương trình có cùng điều kiện xác định có thể không tương đương với nhau.
Lời giải:
Phát biểu trong câu b là đúng.
Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau, ta có:
⇔ [2 – 3x][2x + 1] = [3x – 2][- 2x – 3]
⇔ – 6×2 + x + 2 = – 6×2 – 13x – 6 = 0
⇔ 14x = – 8 ⇔ x = – 4/7
Vậy phương trình có nghiệm x = – 4/7 .
Em hãy nhận xét về bài làm của bạn Hà.
Lời giải:
Đáp số của bài toán đúng nhưng lời giải của bạn Hà chưa đầy đủ.
Lời giải của bạn Hà thiếu bước tìm điều kiện xác định và bước đối chiếu giá trị của x tìm được với điều kiện để kết luận nghiệm.
Trong bài toán trên thì điều kiện xác định của phương trình là:
x ≠ – 3/2 và x ≠ – 1/2
So sánh với điều kiện xác định thì giá trị x = – 4/7 thỏa mãn.
Vậy x = – 4/7 là nghiệm của phương trình.
a. Phương trình
b. Phương trình
c. Phương trình
d. Phương trình
Lời giải:
a. Đúng
Vì x2 + 1 > 0 với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với phương trình:
4x – 8 + [4 – 2x] = 0 ⇔ 2x – 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2
b. Đúng
Vì x2 – x + 1 = [x – 1/2 ]2 + 3/4 > 0 với mọi x nên phương trình đã cho tương đương với phương trình:
[x + 2][2x – 1] – x – 2 = 0 ⇔ [x + 2][2x – 2]
⇔ x + 2 = 0 hoặc 2x – 2 = 0 ⇔ x = – 2 hoặc x = 1
c. Sai
Vì điều kiện xác định của phương trình là x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ – 1
Do vậy phương trình
d. Sai
Vì điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 0
Do vậy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình
Lời giải:
⇔ 1 – x + 3[x + 1] = 2x + 3
⇔ 1 – x + 3x + 3 – 2x – 3 = 0
⇔ 0x = – 1
Phương trình vô nghiệm.
⇔ [x + 2]2 – [2x – 3] = x2 + 10
x2 + 4x + 4 – 2x + 3 – x2 – 10 = 0
⇔ 2x = 3 ⇔ x = 3/2 [loại]
Phương trình vô nghiệm.
⇔ 5x – 2 + [2x – 1][1 – x] = 2[1 – x] – 2[x2 + x – 3]
⇔ 5x – 2 + 2x – 2x2 – 1 + x – 2 + 2x + 2×2 + 2x – 6 = 0
⇔ 5x + 2x + x + 2x + 2x = 2 + 6 + 2 + 1 ⇔ 12x = 11
⇔ x = 11/12 [thoả]
Vậy phương trình có nghiệm x = 11/12
⇔ [5 – 2x][3x – 1] + 3[x + 1][x – 1] = [x + 2][1 – 3x]
⇔ 15x – 5 – 6x2 + 2x + 3x2 – 3 = x – 3x2 + 2 – 6x
⇔ – 6x2 + 3x2 + 3x2 + 15x + 2x – x + 6x = 2 + 5 + 3
⇔ 22x = 10 ⇔ x = 5/11 [thỏa]
Vậy phương trình có nghiệm x = 5/11 .
b. Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức sau bằng nhau:
c. Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức sau bằng nhau:
Lời giải:
⇔ 2x2 – 3x – 2 = 2[x2 – 4] ⇔ 2x2 – 3x – 2 = 2x2 – 8
⇔ 2x2 – 2x2 – 3x = – 8 + 2 ⇔ – 3x = – 6 ⇔ x = 2 [loại]
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện bài toán.
⇔ [6x – 1][x – 3] = [2x + 5][3x + 2]
⇔ 6x2 – 18x – x + 3 = 6x2 + 4x + 15x + 10
⇔ 6x2 – 6x2 – 18x – x – 4x – 15x = 10 – 3
⇔ – 38x = 7 ⇔ x = – 7/38 [thỏa]
Vậy khi x = – 7/38 thì giá trị của hai biểu thức
⇔ [y + 5][y – 3] – [y + 1][y – 1] = – 8
⇔ y2 – 3y + 5y – 15 – y2 + 1 = – 8
⇔ 2y = 6 ⇔ y = 3 [loại]
Vậy không có giá trị nào của y thỏa mãn điều kiện bài toán.
Lời giải:
⇔ [1 – 6x][x + 2] + [9x + 4][x – 2] = x[3x – 2] + 1
⇔ x + 2 – 6x2 – 12x + 9x2 – 18x + 4x – 8 = 3x2 – 2x + 1
⇔ – 6x2 + 9x2 – 3x2 + x – 12x – 18x + 4x + 2x = 1 – 2 + 8
⇔ – 23x = 7 ⇔ x = – 7/23 [thỏa]
Vậy phương trình có nghiệm x = – 7/23
⇔ [x + 2][3 – x] + x[x + 2] = 5x + 2[3 – x]
⇔ 3x – x2 + 6 – 2x + x2 + 2x = 5x + 6 – 2x
⇔ x2 – x2 + 3x – 2x + 2x – 5x + 2x = 6 – 6 ⇔ 0x = 0
Phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình có nghiệm x ∈ R / x ≠ 3 và x ≠ -2
⇔ 2[x2 + x + 1] + [2x + 3][x – 1] = [2x – 1][2x + 1]
⇔ 2x2 + 2x + 2 + 2x2 – 2x + 3x – 3 = 4x2 – 1
⇔ 2x2 + 2x2 – 4x2 + 2x – 2x + 3x = -1 – 2 + 3
⇔ 3x = 0 ⇔ x = 0 [thỏa]
Vậy phương trình có nghiệm x = 0.
⇔ x3 – [x – 1]3 = [7x – 1][x – 5] – x[4x + 3]
⇔ x3 – x3 + 3x2 – 3x + 1 = 7x2 – 35x – x + 5 – 4x2 – 3x
⇔ 3x2 – 7x2 + 4x2 – 3x + 35x + x + 3x = 5 – 1
⇔ 36x = 4 ⇔ x = 1/9 [thoả]
Vậy phương trình có nghiệm x = 1/9
Lời giải:
⇔ [2x + 1][x + 1] = 5[x – 1][x – 1]
⇔ 2x2 + 2x + x + 1 = 5x2 – 10x + 5
⇔ 2x2 – 5x2 + 2x + x + 10x + 1 – 5 = 0
⇔ – 3x2 + 13x – 4 = 0 ⇔ 3x2 – x – 12x + 4 = 0
⇔ x[3x – 1] – 4[3x – 1] = 0 ⇔ [x – 4][3x – 1] = 0
⇔ x – 4 = 0 hoặc 3x – 1 = 0
x – 4 = 0 ⇔ x = 4 [thỏa]
3x – 1 = 0 ⇔ x = 1/3 [thỏa]
Vậy phương trình có nghiệm x = 4 hoặc x = 1/3
⇔ [x – 3][x – 4] + [x – 2][x – 2] = – [x – 2][x – 4]
⇔ x2 – 4x – 3x + 12 + x2 – 2x – 2x + 4 = – x2 + 4x + 2x – 8
⇔ 3x[x – 3] – 8[x – 3] = 0 ⇔ [3x – 8][x – 3] = 0
⇔ 3x – 8 = 0 hoặc x – 3 = 0
3x – 8 = 0 ⇔ x = 8/3 [thỏa]
x – 3 = 0 ⇔ x = 3 [thỏa]
Vậy phương trình có nghiệm x = 8/3 hoặc x = 3
⇔ x2 + x + 1 + 2x2 – 5 = 4[x – 1]
⇔ x2 + x + 1 + 2x2 – 5 = 4x – 4 ⇔ 3x2 – 3x = 0 ⇔ 3x[x – 1] = 0
⇔ x = 0 [thỏa] hoặc x – 1 = 0 ⇔ x = 1 [loại]
Vậy phương trình có nghiệm x = 0
⇔ 13[x + 3] + x2 – 9 = 6[2x + 7]
⇔ 13x + 39 + x2 – 9 = 12x + 42
⇔ x2 + x – 12 = 0
⇔ x2 – 3x + 4x – 12 = 0
⇔ x[x – 3] + 4[x – 3] = 0
⇔ [x + 4][x – 3] = 0
⇔ x + 4 = 0 hoặc x – 3 = 0
x + 4 = 0 ⇔ x = -4 [thỏa]
x – 3 = 0 ⇔ x = 3 [loại]
Vậy phương trình có nghiệm x = -4.
a. Giải phương trình khi a = – 3
b. Giải phương trình khi a = 1
c. Giải phương trình khi a = 0
d. Tìm giá trị của a sao cho phương trình nhận x = 1/2 là nghiệm.
Lời giải:
a. Khi a = – 3, ta có phương trình:
⇔ [3 – x][x – 3] + [x + 3]2 = -24
⇔ 3x – 9 – x2 + 3x + x2 + 6x + 9 = -24 ⇔ 12x = – 24
⇔ x = -2 [thỏa]
Vậy phương trình có nghiệm x = -2
b. Khi a = 1, ta có phương trình:
⇔ [x + 1]2 + [x – 1][1 – x] = 4
⇔ x2 + 2x + 1 + x – x2 – 1 + x = 4
⇔ 4x = 4 ⇔ x = 1 [loại]
Vậy phương trình vô nghiệm.
c. Khi a = 0, ta có phương trình:
⇔ – x2 + x2 = 0 ⇔ 0x = 0
Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x ≠ 0
Vậy phương trình có nghiệm x ∈ R / x ≠ 0.
d. Thay x = 1/2 vào phương trình, ta có:
⇔ [1 + 2a][2a + 1] + [1 – 2a][2a – 1] = 4a[3a + 1]
⇔ 2a + 1 + 4a2 + 2a + 2a – 1 – 4a2 + 2a = 12a2 + 4a
⇔ 12a2 – 4a = 0 ⇔ 4a[3a – 1] = 0 ⇔ 4a = 0 hoặc 3a – 1 = 0
⇔ a = 0 [thỏa] hoặc a = 1/3 [thỏa]
Vậy khi a = 0 hoặc a = 1/3 thì phương trình
Lời giải:
a. Ta có:
ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 2,x ≠ 1/2,x ≠ ±1,x ≠ 13.
Ta biến đổi phương trình đã cho thành a. Ta có:
Khử mẫu và rút gọn:
[2x − 1][3x − 1] = 6[x2 − 1]
⇔−5x + 1 = −6 ⇔ x = 7/5
Giá trị x = 7/5 thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy phương trình có nghiệm là x = 7/5
b. Cách 1. ĐKXĐ: x≠ ± 1. Biến đổi vế trái thành a
Ta đưa phương trình đã cho về dạng
Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:
4[x + 1] = [x − 1][x + 1]
⇔[x + 1][x − 5] = 0
⇔x = −1 hoặc x = 5
Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5.
Cách 2. Đặt
ĐKXĐ của phương trình này là y ≠ 0 và y ≠ −1. Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:
2y2 − 2 = 1 + y
⇔2[y2 − 1]−[y + 1] = 0
⇔[y + 1][2y − 3] = 0
⇔y = −1 hoặc y = 32
Trong hai giá trị tìm được, chỉ có y = 32 là thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình
Giải phương trình này ta được x = 5
c. ĐKXĐ: x∈{0;−1;−2;−3}. Ta biến đổi phương trình như sau:
Ta có:
[1] ⇔x = −5
Tóm lại, phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {−5;−3/2}