CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 1 CHUYÊN ĐỀ 18 NGUYÊN HÀM & PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 2 Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản [dùng bảng nguyên hàm] ................................................................................................... 2 Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện ................................................................................................ 2 Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện ......................................................................................................... 11 Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm ...................................................................................... 16 Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 16 Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 17 Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm ..................................................................................... 18 Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 18 Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 21 Dạng 4. Nguyên hàm từng phần ..................................................................................................................................... 22 Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 22 Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 25 Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán ..................................................................................................................... 26 Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm .............................................................................................. 30 PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO ............................................................................................................................... 33 Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản [dùng bảng nguyên hàm] ................................................................................................. 33 Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện .............................................................................................. 33 Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện ......................................................................................................... 38 Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm ...................................................................................... 44 Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 44 Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 45 Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm ..................................................................................... 47 Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 47 Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 51 Dạng 4. Nguyên hàm từng phần ..................................................................................................................................... 53 Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện .......................................................................................................... 53 Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện..................................................................................................................... 57 Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán ..................................................................................................................... 60 Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm .............................................................................................. 69 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 2 PHẦN A. CÂU HỎI Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản [dùng bảng nguyên hàm] Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện Câu 1. [MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018] Nguyên hàm của hàm số 4 2 f x x x là A. 5 3 1 1 5 3 x x C B. 4 2 x x C C. 5 3 x x C . D. 3 4 2 x x C Câu 2. [Mã đề 104 - BGD - 2019] Họ tất cả nguyên hàm của hàm số 2 4 f x x là A. 2 x C . B. 2 2x C . C. 2 2 4 x x C . D. 2 4 x x C . Câu 3. [Mã 102 - BGD - 2019] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 6 f x x là A. 2 x C . B. 2 6 x x C . C. 2 2x C . D. 2 2 6 x x C . Câu 4. [MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số 2 si n f x x . A. 2 si n 2 c os x d x x C B. 2 si n 2 c o s x d x x C C. 2 2 si n si n x d x x C D. 2 si n si n 2 x d x x C Câu 5. [Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018] Nguyên hàm của hàm số 3 f x x x là A. 4 2 1 1 4 2 x x C B. 2 3 1 x C C. 3 x x C D. 4 2 x x C Câu 6. [Mã 103 - BGD - 2019] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 3 f x x là A. 2 3 x x C . B. 2 2 3 x x C . C. 2 x C . D. 2 2x C . Câu 7. [ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số 2 1. f x x A. 2 2 1 2 1 . 3 f x dx x x C B. 1 2 1 2 1 . 3 f x dx x x C C. 1 2 1 . 3 f x dx x C D. 1 2 1 . 2 f x dx x C Câu 8. [ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số 2 2 2 f x x x . A. 3 1 d 3 x f x x C x . B. 3 2 d 3 x f x x C x . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 3 C. 3 1 d 3 x f x x C x . D. 3 2 d 3 x f x x C x . Câu 9. [MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số 1 5 2 f x x . A. d 1 ln 5 2 5 2 5 x x C x B. d ln 5 2 5 2 x x C x C. d 1 ln 5 2 5 2 2 x x C x D. d 5ln 5 2 5 2 x x C x Câu 10. [MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số c o s 3 f x x A. c o s 3 3 si n 3 x d x x C B. s in 3 c o s 3 3 x xd x C C. c o s 3 si n 3 x d x x C D. si n 3 c o s 3 3 x x dx C Câu 11. [Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018] Nguyên hàm của hàm số 3 2 f x x x là A. 4 3 1 1 4 3 x x C B. 2 3 2 x x C C. 3 2 x x C D. 4 3 x x C Câu 12. [ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019] Họ nguyên hàm của hàm số x f x e x là A. 1 x e C B. 2 x e x C C. 2 1 2 x e x C D. 2 1 1 1 2 x e x C x Câu 13. [Mã đề 101 - BGD - 2019] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số [ ] 2 5 f x x là A. 2 x C . B. 2 5 x x C . C. 2 2 5 x x C . D. 2 2x C . Câu 14. [MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số 7 x f x . A. 7 7 d ln 7 x x x C B. 1 7 d 7 x x x C C. 1 7 7 d 1 x x x C x D. 7 d 7 ln 7 x x x C Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số cos 2 f x x . A. d 2sin 2 f x x x C B. d 2sin 2 f x x x C C. 1 d sin 2 2 f x x x C D. 1 d sin 2 2 f x x x C Câu 16. [Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018] Nguyên hàm của hàm số 4 f x x x là CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 4 A. 3 4 1 x C B. 5 2 x x C C. 5 2 1 1 5 2 x x C D. 4 x x C Câu 17. [ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018] Họ nguyên hàm của hàm số 2 [ ] 3 1 f x x là A. 3 x C B. 3 3 x x C C. 6 x C D. 3 x x C Câu 18. [THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02] Tìm nguyên hàm 15 2 7 dx x x ? A. 16 2 1 7 2 x C B. 16 2 1 7 32 x C C. 16 2 1 7 16 x C D. 16 2 1 7 32 x C Câu 19. [THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02] Họ nguyên hàm của hàm số 3 [x] x f e là hàm số nào sau đây? A. 3 x e C . B. 3 1 3 x e C . C. 1 3 x e C . D. 3 3 x e C . Câu 20. [THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019] Tính sin 2 d x x x . A. 2 sin 2 x x C . B. 2 cos 2 2 x x C . C. 2 cos 2 2 x x C . D. 2 cos 2 2 2 x x C . Câu 21. [TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019] Nguyên hàm của hàm số 2 1 e x y là A. 2 1 2e x C . B. 2 1 e x C . C. 2 1 1 e 2 x C . D. 1 e 2 x C . Câu 22. [THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01] Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 2 3 f x x A. ln 2 3 x C . B. 1 ln 2 3 2 x C . C. 1 ln 2 3 ln 2 x C . D. 1 lg 2 3 2 x C . Câu 23. [THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01] Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 1 3 x y x x . A. 3 2 3 1 , 3 ln 3 x x C C x . B. 3 2 1 3 , 3 x x C C x . C. 3 3 ln , 3 ln 3 x x x C C . D. 3 3 ln , 3 ln 3 x x x C C . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 5 Câu 24. [THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01] Tìm họ nguyên hàm của hàm số sin 3 f x x A. 3cos3x C . B. 3cos3x C . C. 1 cos3 3 x C . D. 1 cos3 3 x C . Câu 25. [CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01] Họ nguyên hàm của hàm số 2 3 sin f x x x là A. 3 cos x x C . B. 6 cos x x C . C. 3 cos x x C . D. 6 cos x x C . Câu 26. [CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03] Công thức nào sau đây là sai? A. 1 ln d x x C x . B. 2 1 d tan cos x x C x . C. sin d cos x x x C . D. e d e x x x C . Câu 27. [CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03] Nếu 3 2 d 4 f x x x x C thì hàm số f x bằng A. 3 4 3 x f x x Cx . B. 2 12 2 f x x x C . C. 2 12 2 f x x x . D. 3 4 3 x f x x . Câu 28. [THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. 1 cos 2 sin 2 2 d x x x C . B. e e 1 1 d e x x x C . C. 1 ln dx x C x . D. 1 e e d 1 x x x C x . Câu 29. [THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1] Nguyên hàm của hàm số 2 x y là A. 2 ln 2.2 d x x x C . B. 2 2 d x x x C . C. 2 2 d 2 ln x x x C . D. 2 1 d 2 x x x C x . Câu 30. [HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02] Họ nguyên hàm của hàm số 2 f x x là A. 2 F x x C . B. 3 3 x F x C . C. 3 F x x C . D. F x x C . Câu 31. [LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019] Tìm họ nguyên hàm của hàm số 3 sin f x x x . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 6 A. 2 d 3 cos f x x x x C . B. 2 3 d cos 2 x f x x x C . C. 2 3 d cos 2 x f x x x C . D. d 3 cos f x x x C . Câu 32. [SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01] Họ nguyên hàm của hàm số [ ] sinx f x x là A. 2 cos x+C x B. 2 cos x+C x C. 2 cos x+C 2 x D. 2 cos x+C 2 x Câu 33. [THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019] Họ nguyên hàm của hàm số [ ] cos f x x là: A. cos x C . B. cos x C . C. sin x C . D. sin x C . Câu 34. [THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019] Họ các nguyên hàm của hàm số 4 2 f x x x là A. 3 4 2 x x C . B. 4 2 x x C . C. 5 3 1 1 5 3 x x C . D. 5 3 x x C . Câu 35. [THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01] Họ nguyên hàm của hàm số 2 x f x e x là. A. 2 x e x C . B. 2 x e x C . C. 2 1 1 x e x C x . D. 2 x e C . Câu 36. [CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01] Họ các nguyên hàm của hàm số cos y x x là A. 2 1 sin 2 x x C . B. 2 sin x x C . C. 2 1 sin 2 x x C . D. 2 sin x x C . Câu 37. [CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02] Họ nguyên hàm của hàm số 2 1 3 y x x x là A. 3 2 3 ln . 3 2 x x x C B. 3 2 3 ln . 3 2 x x x C C. 3 2 3 ln . 3 2 x x x C D. 3 2 2 3 1 . 3 2 x x C x Câu 38. [CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02] Họ nguyên hàm của hàm số 1 sin f x x x là A. ln cos x x C . B. 2 1 cos x C x . C. ln cos x x C . D. ln cos x x C . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 7 Câu 39. [THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2] Hàm số 3 1 3 F x x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên ; ? A. 2 3 f x x . B. 3 f x x . C. 2 f x x . D. 4 1 4 f x x . Câu 40. [THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2] Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 x f x . A. d 2 x f x x C . B. 2 d ln 2 x f x x C . C. d 2 ln 2 x f x x C . D. 1 2 d 1 x f x x C x . Câu 41. [THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2] Tìm nguyên hàm của hàm số 4 2 2 x f x x . A. 3 1 d 3 x f x x C x . B. 3 2 d 3 x f x x C x . C. 3 1 d 3 x f x x C x . D. 3 2 d 3 x f x x C x . Câu 42. [SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019] Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số x y e ? A. 1 y x . B. x y e . C. x y e . D. ln y x . Câu 43. [CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01] Tính 2 [ ] F x e dx , trong đó e là hằng số và 2, 718 e . A. 2 2 [ ] 2 e x F x C . B. 3 [ ] 3 e F x C . C. 2 [ ] F x e x C . D. [ ] 2 F x ex C . Câu 44. [CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01] Tìm nguyên hàm của hàm số 1 1 2 f x x trên 1 ; 2 . A. 1 ln 2 1 2 x C . B. 1 ln 1 2 2 x C . C. 1 ln 2 1 2 x C . D. ln 2 1 x C . Câu 45. [ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019] Nguyên hàm của hàm số 3 2 x x ? CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 8 A. 2 3 2 x x C . B. 4 3 1 1 4 3 x x C . C. 4 3 x x C . D. 4 3 4 3 x x C . Câu 46. [CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03] Nguyên hàm của hàm số 2 x f x x là A. 2 2 ln2 2 x x C . B. 2 2 x x C . C. 2 2 ln2 x x C . D. 2 2 2 x x C . Câu 47. [THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01] Họ nguyên hàm của hàm số 1 sin f x x A. 1 cos x C . B. 1 cos x C . C. cos x x C . D. cos x x C . Câu 48. [THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02] Nguyên hàm của hàm số ] [x f 3 2 1 2 2019 3 x x x là A. C x x x 2 3 2 12 1 2 3 4 . B. 2 4 3 1 2 2019 9 3 2 x x x x C . C. 2 4 3 1 2 2019 12 3 2 x x x x C . D. 2 4 3 1 2 2019 9 3 2 x x x x C . Câu 49. [THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019] Họ nguyên hàm của hàm số 2 [ ] 2 x t x x là A. 3 2 ln 2 3 x x C . B. 2 2 x x C . C. 3 2 ln 2 3 x x C . D. 2 2 ln 2 x x C . Câu 50. [THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019] Họ nguyên hàm của hàm số 1 [ ] 3 1 f x x trên khoảng 1 ; 3 là: A. 1 ln[3 1] 3 x C B. ln[1 3 ] x C C. 1 ln[1 3 ] 3 x C D. ln[3x 1] C Câu 51. [THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. 2 d 2 ln 2 x x x C . B. 2 2 e e d 2 x x x C . C. 1 cos2 d sin 2 2 x x x C . D. 1 d ln 1 1 x x C x 1 x . Câu 52. [THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hàm số 4 2 2 3 [ ] x f x x . Khẳng định nào sau đây là đúng? CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 9 A. 3 2 3 [ ] 3 2 x f x dx C x . B. 3 2 3 [ ] 3 x f x dx C x . C. 3 2 3 [ ] 3 x f x dx C x . D. 3 3 [ ] 2 f x dx x C x . Câu 53. [SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019] Cho hàm số 2 1 x f x x . Tìm d f x x . A. 2 2 d x f x x x C x . B. 2 2 1 1 d ln 2 2 x f x x x C x . C. 2 2 1 d 2 x f x x x C x . D. 2 2 1 1 d 1 2 x f x x x C x x . Câu 54. [LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019] Tìm họ nguyên hàm của hàm số 3 sin f x x x . A. 2 d 3 cos f x x x x C . B. 2 3 d cos 2 x f x x x C . C. 2 3 d cos 2 x f x x x C . D. d 3 cos f x x x C . Câu 55. [CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02] Hàm số 2 x F x e là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau: A. 2 [ ] 2 x f x xe . B. 2 2 [ ] 1 x f x x e . C. 2 [ ] x f x e . D. 2 [ ] 2 x e f x x . Câu 56. [THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Tất cả các nguyên hàm của hàm số [ ] 3 x f x là A. 3 ln 3 x C B. 3 x C C. 3 ln 3 x C D. 3 ln 3 x C Câu 57. [SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01] Họ nguyên hàm của hàm số 3 2 f x x x là A. 4 3 4 3 x x C . B. 4 3 x x C . C. 2 3 2 x x C . D. 4 3 3 4 x x C Câu 58. [CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01] Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số 2019 y x ? A. 2020 1 2020 x . B. 2020 2020 x . C. 2018 2019 y x . D. 2020 1 2020 x . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 10 Câu 59. [CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1] Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 1 3 x y x x . A. 3 3 ln , 3 ln 3 x x x C C R B. 3 3 ln , 3 ln 3 x x x C C R C. 3 2 1 3 , 3 x x C C R x D. 3 2 3 1 , 3 ln 3 x x C C R x Câu 60. [SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Tìm nguyên hàm của hàm số 5 2018 2017 x x e f x e x . A. 4 2018 d 2017 x f x x e C x . B. 4 2018 d 2017 x f x x e C x . C. 4 504,5 d 2017 x f x x e C x . D. 4 504,5 d 2017 x f x x e C x . Câu 61. [HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019] Họ nguyên hàm của hàm số 2 2 cos x x e y e x là A. 2 tan x e x C B. 2 tan x e x C C. 1 2 cos x e C x D. 1 2 cos x e C x Câu 62. [ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019] Nguyên hàm của hàm số 1 2 2 1 f x x có dạng: A. 1 d 2 1 2 f x x x C . B. d 2 1 f x x x C . C. d 2 2 1 f x x x C . D. 1 d 2 1 2 1 f x x C x x . Câu 63. [CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02] Tìm nguyên F x của hàm số 1 2 3 ? f x x x x A. 4 3 2 11 6 6 4 2 x F x x x x C . B. 4 3 2 6 11 6 F x x x x x C . C. 4 3 2 11 2 6 4 2 x F x x x x C . D. 3 2 2 6 11 6 F x x x x x C . Câu 64. [Mã đề 104 - BGD - 2019] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 3 2 2 x f x x trên khoảng 2; là CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 11 A. 2 3ln 2 2 x C x B. 2 3ln 2 2 x C x C. 4 3ln 2 2 x C x D. 4 3ln 2 2 x C x . Câu 65. [Mã đề 101 - BGD - 2019] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 2 1 1 x f x x trên khoảng 1; là A. 2 2ln 1 1 x C x . B. 3 2ln 1 1 x C x . C. 2 2ln 1 1 x C x . D. 3 2ln 1 1 x C x . Câu 66. [MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017] Cho 2 F x x là một nguyên hàm của hàm số 2 . x f x e . Tìm nguyên hàm của hàm số 2 ' . . x f x e A. 2 2 ' . x f x e d x x x C B. 2 2 ' . 2 x f x e d x x x C C. 2 2 ' . 2 2 x f x e d x x x C D. 2 2 ' . 2 2 x f x e d x x x C Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện Câu 67. [MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017] Tìm nguyên hàm F x của hàm số sin cos f x x x thoả mãn 2 2 F . A. cos sin 3 F x x x B. cos sin 1 F x x x C. cos sin 1 F x x x D. cos sin 3 F x x x Câu 68. [MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017] Cho F x là một nguyên hàm của hàm số [ ] 2 x f x e x thỏa mãn 3 0 2 F . Tìm F x . A. 2 1 2 x F x e x B. 2 5 2 x F x e x C. 2 3 2 x F x e x D. 2 1 2 2 x F x e x Câu 69. [MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017] Cho hàm số f x thỏa mãn ' 3 5 si n f x x và 0 1 0 f . Mệnh đề nào dưới đây đúng? CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 12 A. 3 5 c os 1 5 f x x x B. 3 5 c o s 2 f x x x C. 3 5 c o s 5 f x x x D. 3 5 c o s 2 f x x x Câu 70. [ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018] Cho hàm số [ ] f x xác định trên 1 \ 2 thỏa mãn 2 , 0 1, 1 2 2 1 f x f f x . Giá trị của biểu thức 1 3 f f bằng A. 2 ln15 B. 3 ln15 C. ln15 D. 4 ln15 Câu 71. [SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho F x là một nguyên hàm của 1 1 f x x trên khoảng 1; thỏa mãn 1 4 F e Tìm F x . A. 2ln 1 2 x B. ln 1 3 x C. 4ln 1 x D. ln 1 3 x Câu 72. [ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019] Cho hàm số f x thỏa mãn 2 5sin f x x và 0 10 f . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 5cos 3 f x x x . B. 2 5cos 15 f x x x . C. 2 5cos 5 f x x x . D. 2 5cos 10 f x x x . Câu 73. [THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01] Biết F x là một nguyên hàm của hàm số 2x f x e và 0 0 F . Giá trị của ln3 F bằng A. 2. B. 6. C. 8. D. 4. Câu 74. [THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02] Hàm số 2 ln sin cos F x x x x là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? A. 2 . sin cos x f x x x B. 2 cos sin 2 ln sin cos sin cos x x x f x x x x x x . C. 2 sin cos sin cos x x x f x x x . D. 2 2 ln sin cos sin cos x f x x x x x x . Câu 75. [LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019] Biết F x là một nguyên hàm của hàm cos3 f x x và 2 2 3 F . Tính 9 F . A. 3 2 9 6 F B. 3 2 9 6 F C. 3 6 9 6 F D. 3 6 9 6 F CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 13 Câu 76. [TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01] Nguyên hàm của hàm số 2 2 5 x x f x là A. 2 5 ln 2 x x C . B. 5.2 ln 2 x x C . C. 2 2 5 ln 2 ln 2 x x x x C . D. 2 1 5 ln 2 x C . Câu 77. [SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01] Biết F x là một nguyên hàm của hàm số 2x e và 201 0 2 F Giá trị 1 2 F là A. 1 200 2 e B. 2 100 e C. 1 50 2 e D. 1 100 2 e Câu 78. [SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01] Hàm số F x nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số . f x g x , biết 1 3 F , 1 d f x x x C và 2 2 d g x x x C . A. 2 1 F x x B. 2 3 F x x C. 2 2 F x x D. 2 4 F x x Câu 79. [THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019] Cho F x là một nguyên hàm của hàm số 1 , 2 f x x biết 1 2. F Giá trị của 0 F bằng A. 2 ln 2. B. ln 2. C. 2 ln 2 . D. ln 2 . Câu 80. [CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02] Tìm một nguyên hàm F x của hàm số 2 0 , b f x ax x x biết rằng 1 1, 1 4, 1 0 F F f A. 2 3 3 7 2 4 4 F x x x . B. 2 3 3 7 4 2 4 F x x x . C. 2 3 3 7 4 2 4 F x x x . D. 2 3 3 1 2 2 2 F x x x . Câu 81. [KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019] Cho F x là một nguyên hàm của hàm 1 2 1 f x x ; biết 0 2 F . Tính 1 F . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 14 A. 1 1 3 2 2 F ln . B. 1 3 2 F l n . C. 1 2 3 2 F l n . D. 1 1 3 2 2 F ln . Câu 82. [THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hàm số thỏa mãn và . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. . B. . C. . D. . Câu 83. [LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019] Biết F x là một nguyên hàm của hàm cos3 f x x và 2 2 3 F . Tính 9 F . A. 3 2 9 6 F B. 3 2 9 6 F C. 3 6 9 6 F D. 3 6 9 6 F Câu 84. [CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01] Hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số 1 y x trên ;0 thỏa mãn 2 0 F . Khẳng định nào sau đây đúng? A. ln ;0 2 x F x x B. ln ;0 F x x C x với C là một số thực bất kì. C. ln ln 2 ;0 F x x x . D. ln ;0 F x x C x với C là một số thực bất kì. Câu 85. [CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01] Hàm số f x có đạo hàm liên tục trên và: 2 2e 1, x f x , 0 2 x f . Hàm f x là A. 2e 2 x y x . B. 2e 2 x y . C. 2 e 2 x y x . D. 2 e 1 x y x . Câu 86. [SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hàm số 2 x f x x e . Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x thỏa mãn 0 2019 F . A. 2 2018 x F x x e . B. 2 2018 x F x x e . C. 2 2017 x F x x e . D. 2019 x F x e . f x cos f x x 0 2019 f sinx 2019 f x 2019 cos f x x sinx 2019 f x 2019 cos f x x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 15 Câu 87. [THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019] Cho hàm số f x xác định trên \ 1 R thỏa mãn 1 1 f x x , 0 2017 f , 2 2018 f . Tính 3 1 S f f . A. ln 4035 S . B. 4 S . C. ln 2 S . D. 1 S . Câu 88. [THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04] Cho biết 2 13 dx ln 1 ln 2 1 2 x a x b x C x x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 8 a b . B. 8 a b . C. 2 8 a b . D. 8 a b . Câu 89. [THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04] Cho biết 3 1 dx ln 1 1 ln a x x b x C x x . Tính giá trị biểu thức: 2 P a b . A. 0. B. -1. C. 1 2 . D. 1. Câu 90. [THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04] Cho biết 2 4 11 dx ln 2 ln 3 5 6 x a x b x C x x . Tính giá trị biểu thức: 2 2 P a ab b . A. 12. B. 13. C. 14. D. 15. Câu 91. Cho hàm số f x thỏa mãn 2 3 b f x ax x , 1 3 f , 1 2 f , 1 1 2 12 f . Khi đó 2a b bằng A. 3 2 . B. 0 . C. 5 . D. 3 2 . Câu 92. [THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04] Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số 2 x f x , thỏa mãn 1 0 ln 2 F . Tính giá trị biểu thức 0 1 ... 2018 2019 T F F F F . A. 2019 2 1 1009. ln 2 T . B. 2019.2020 2 T . C. 2019 2 1 ln 2 T . D. 2020 2 1 ln 2 T . Câu 93. [CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho F x là một nguyên hàm của hàm số 2 1 cos f x x . Biết 4 F k k với mọi k . Tính 0 ... 10 F F F F . A. 55. B. 44. C. 45. D. 0. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 16 Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện Câu 94. [THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01] Nguyên hàm của hàm số 2 [ ] 3sin cos f x x x là A. 3 sin x C . B. 3 sin x C . C. 3 cos x C . D. 3 cos x C . Câu 95. [CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03] Tìm nguyên hàm của hàm số sin [ ] 1 3cos x f x x . A. 1 [ ]d ln 1 3cos 3 f x x x C . B. [ ]d ln 1 3cos f x x x C . C. [ ]d 3ln 1 3cos f x x x C . D. 1 [ ]d ln 1 3cos 3 f x x x C . Câu 96. [CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho 3 0 d 4 2 f x x x x C . Tính 2 d xf x I x . A. 6 2 2 I x x C . B. 10 6 10 6 x x I C . C. 6 2 4 2 I x x C . D. 2 12 2 I x . Câu 97. [SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019] Tìm các hàm số [ ] f x biết ' 2 cos [ ] [2 sin ] x f x x . A. 2 sin [ ] [2 sin ] x f x C x . B. 1 [ ] [2 cos ] f x C x . C. 1 [ ] 2 sin f x C x . D. sin [ ] 2 sin x f x C x . Câu 98. [SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Tìm họ nguyên hàm của hàm số 3 2 1 .e x f x x . A. 3 3 1 d .e 3 x x f x x C . B. 3 1 d 3e x f x x C . C. 3 1 d e x f x x C . D. 3 1 1 d e 3 x f x x C . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 17 Câu 99. [SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Họ nguyên hàm của hàm số 1 5 4 f x x là: A. 1 ln 5 4 5 x C . B. ln 5 4 x C . C. 1 ln 5 4 ln 5 x C . D. 1 ln 5 4 5 x C . Câu 100. [ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019] Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số 9 5 1 3x f x x A. 4 4 4 1 1 x ln 3x 36 3 x f x d C x B. 4 4 4 1 1 x ln 12x 36 3 x f x d C x C. 4 4 4 1 1 x ln 3x 36 3 x f x d C x D. 4 4 4 1 1 x ln 12x 36 3 x f x d C x Câu 101. [Mã 102 - BGD - 2019] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 3 1 [ ] [ 1] x f x x trên khoảng [1; ] là A. 1 3ln[ 1] 1 x c x . B. 2 3ln[ 1] 1 x c x . C. 2 3ln[ 1] 1 x c x . D. 1 3ln[ 1] 1 x c x . Câu 102. [THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018] Nguyên hàm của 2 sin sin 2 . x f x x e là A. 2 2 sin 1 sin . x x e C . B. 2 sin 1 2 sin 1 x e C x . C. 2 sin x e C . D. 2 sin 1 2 sin 1 x e C x . Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện Câu 103. [THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019] Biết F x là một nguyên hàm của hàm số sin [ ] 1 3cos x f x x và 2 2 F .Tính . 0 F A. 1 [0] ln 2 2 3 F . B. 2 [0] ln 2 2 3 F . C. 2 [0] ln 2 2 3 F . D. 1 [0 ln 2 2 3 F . Câu 104. [THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Tìm hàm số F x biết 3 4 d 1 x F x x x và 0 1 F . A. 4 ln 1 1 F x x . B. 4 1 3 ln 1 4 4 F x x . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 18 C. 4 1 ln 1 1 4 F x x . D. 4 4ln 1 1 F x x . Câu 105. Cho F x là nguyên hàm của hàm số 1 1 x f x e và 0 ln 2 F e . Tập nghiệm S của phương trình ln 1 2 x F x e là: A. 3 S B. 2;3 S C. 2;3 S D. 3;3 S Câu 106. [HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02] Biết 2017 2019 1 1 1 . , 1 1 1 b x x dx C x a x x với , a b . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 a b . B. 2 b a . C. 2018 a b . D. 2018 b a . Câu 107. [THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019] Cho hàm số y f x thỏa mãn 4 2 ' . f x f x x x . Biết 0 2 f . Tính 2 2 f . A. 2 313 2 15 f . B. 2 332 2 15 f . C. 2 324 2 15 f . D. 2 323 2 15 f . Câu 108. [THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2018] Biết rằng F x là một nguyên hàm trên của hàm số 2018 2 2017 1 x f x x thỏa mãn 1 0 F . Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x . A. 1 2 m . B. 2017 2018 1 2 2 m . C. 2017 2018 1 2 2 m . D. 1 2 m . Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện Câu 109. [CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01] Nguyên hàm của hàm số 3 3 1 f x x là A. 3 d 3 1 3 1 f x x x x C . B. 3 d 3 1 f x x x C . C. 3 1 d 3 1 3 f x x x C . D. 3 1 d 3 1 3 1 4 f x x x x C . Câu 110. Họ các nguyên hàm của hàm số 5 2 3 f x x là A. 6 2 3 12 x F x C . B. 6 2 3 6 x F x C . C. 4 10 2 3 F x x C . D. 4 5 2 3 F x x C . Câu 111. Nguyên hàm của hàm số 3 2 f x x là CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 19 A. 2 [3 2] 3 2 3 x x C B. 1 [3 2] 3 2 3 x x C C. 2 [3 2] 3 2 9 x x C D. 3 1 2 3 2 C x Câu 112. [ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019] Họ nguyên hàm của hàm số 2 1 f x x là A. 1 2 1 2 1 3 x x C . B. 1 2 1 2 x C . C. 2 2 1 2 1 3 x x C . D. 1 2 1 2 1 3 x x C . Câu 113. [THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2] Đổi biến 1 t x thì 4 d [ 1] x x x trở thành A. 4 1 d . t t t B. 4 [ 1] d . t t t C. 4 1 d . t t t D. 1 d . t t t Câu 114. [THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Khi tính nguyên hàm 3 d 1 x x x , bằng cách đặt 1 u x ta được nguyên hàm nào? A. 2 2 4 d u u . B. 2 4 d u u . C. 2 3 d u u . D. 2 2 4 d u u u . Câu 115. [LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019] Biết d 3 cos 2 5 f x x x x C . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. 3 d 3 cos 6 5 f x x x x C B. 3 d 9 cos 6 5 f x x x x C C. 3 d 9 cos 2 5 f x x x x C D. 3 d 3 cos 2 5 f x x x x C Câu 116. [THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019] Họ nguyên hàm của hàm số 2019 3 2 1 f x x x là A. 2021 2020 2 2 1 1 1 2 2021 2020 x x . B. 2021 2020 2 2 1 1 2021 2020 x x . C. 2021 2020 2 2 1 1 2021 2020 x x C . D. 2021 2020 2 2 1 1 1 2 2021 2020 x x C . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 20 Câu 117. [LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019] Biết d 3 cos 2 5 f x x x x C . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. 3 d 3 cos 6 5 f x x x x C B. 3 d 9 cos 6 5 f x x x x C C. 3 d 9 cos 2 5 f x x x x C D. 3 d 3 cos 2 5 f x x x x C Câu 118. [Mã 103 - BGD - 2019] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 2 1 2 x f x x trên khoảng 2; là A. 3 2ln 2 2 x C x . B. 1 2ln 2 2 x C x . C. 1 2ln 2 2 x C x . D. 3 2ln 2 2 x C x . Câu 119. [THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018] Nguyên hàm của 1 ln .ln x f x x x là: A. 1 ln d ln ln .ln x x x C x x . B. 2 1 ln d ln .ln .ln x x x x C x x . C. 1 ln d ln ln .ln x x x x C x x . D. 1 ln d ln .ln .ln x x x x C x x . Câu 120. [THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018] Tìm họ nguyên hàm của hàm số 3 2 1 x f x x e A. 3 1 d x f x x e C . B. 3 1 d 3 x f x x e C . C. 3 1 1 d 3 x f x x e C . D. 3 3 1 d 3 x x f x x e C . Câu 121. [THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018] Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 2 2 1 f x x . A. 1 d 2 1 2 f x x x C . B. d 2 1 f x x x C . C. d 2 2 1 f x x x C . D. 1 d 2 1 2 1 f x x C x x . Câu 122. [THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018] Tìm họ nguyên hàm của hàm số 5 tan f x x . A. 4 2 1 1 d tan tan ln cos 4 2 f x x x x x C . B. 4 2 1 1 d tan tan ln cos 4 2 f x x x x x C . C. 4 2 1 1 d tan tan ln cos 4 2 f x x x x x C . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 21 D. 4 2 1 1 d tan tan ln cos 4 2 f x x x x x C . Câu 123. [THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018] Nguyên hàm của hàm số 2 ln 1 f x x x là A. 2 2 ln 1 1 F x x x x x C . B. 2 2 ln 1 1 F x x x x x C . C. 2 ln 1 F x x x x C . D. 2 2 ln 1 F x x x x C . Câu 124. [THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHÒNG - 2018] Biết 2 2 d sin ln f x x x x . Tìm nguyên hàm d f x x . A. 2 d sin ln 2 x f x x x C . B. 2 d 2sin 2ln 2 x f x x x C . C. 2 d 2sin 2ln ln 2 f x x x x C . D. 2 d 2sin 2 2ln ln 2 f x x x x C . Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện Câu 125. [HỒNG BÀNG - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018] Biết F x là một nguyên hàm của hàm số 3 sin .cos f x x x và 0 F . Tính 2 F . A. 2 F . B. 2 F . C. 1 2 4 F . D. 1 2 4 F . Câu 126. [THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019] Cho [ ] F x là một nguyên hàm của hàm số 4 3 2 2 1 2 x f x x x x trên khoảng 0; thỏa mãn 1 1 2 F . Giá trị của biểu thức 1 2 3 2019 S F F F F bằng A. 2019 2020 . B. 2019.2021 2020 . C. 1 2018 2020 . D. 2019 2020 . Câu 127. [SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018] Biết cos 2 d sin 2 cos 2 x x x ax x b x C với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? A. 1 8 ab . B. 1 4 ab . C. 1 8 ab . D. 1 4 ab . Câu 128. [THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018] Biết rằng trên khoảng 3 ; 2 , hàm số 2 20 30 7 2 3 x x f x x có một nguyên hàm 2 2 3 F x ax bx c x [ , , a b c là các số nguyên]. Tổng S a b c bằng A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 6 . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 22 Câu 129. Giả sử 2 3 d 1 1 2 3 1 x x C x x x x g x [C là hằng số]. Tính tổng các nghiệm của phương trình 0 g x . A. 1 . B. 1. C. 3 . D. 3 . Câu 130. [THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018] Cho 3 2 1 1 I dx x x 2 2 ln 2 ln 1 a b x c x C x . Khi đó S a b c bằng A. 1 4 . B. 3 4 . C. 7 4 . D. 2 . Dạng 4. Nguyên hàm từng phần Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện Câu 131. [ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019] Họ nguyên hàm của hàm số 4 1 ln f x x x là: A. 2 2 2 ln 3 x x x . B. 2 2 2 ln x x x . C. 2 2 2 ln 3 x x x C . D. 2 2 2 ln x x x C . Câu 132. Họ các nguyên hàm của hàm số sin f x x x là A. cos sin . F x x x x C B. cos sin . F x x x x C C. cos sin . F x x x x C D. cos sin . F x x x x C Câu 133. [CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019] Họ nguyên hàm của hàm số 2 [ ] . x f x x e là : A. 2 1 1 [ ] 2 2 x F x e x C B. 2 1 [ ] 2 2 x F x e x C C. 2 [ ] 2 2 x F x e x C D. 2 1 [ ] 2 2 x F x e x C Câu 134. [THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01] Họ nguyên hàm của hàm số 2 1 x f x x e là A. 2 3 x x e C . B. 2 3 x x e C . C. 2 1 x x e C . D. 2 1 x x e C . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 23 Câu 135. [CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02] Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 [ ] x f x xe ? A. 2 1 1 [ ] . 2 2 x F x e x C B. 2 1 [ ] 2 . 2 x F x e x C C. 2 [ ] 2 2 . x F x e x C D. 2 1 [ ] 2 . 2 x F x e x C Câu 136. [THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01] Họ nguyên hàm của hàm số 1 sin f x x x là A. 2 sin cos 2 x x x x C . B. 2 cos sin 2 x x x x C . C. 2 cos sin 2 x x x x C . D. 2 sin cos 2 x x x x C . Câu 137. [ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019] Họ nguyên hàm của hàm số [ ] 2 [1 ] x f x x e là A. 2 2 1 x x e x . B. 2 2 1 x x e x . C. 2 2 2 x x e x . D. 2 2 2 x x e x . Câu 138. Họ nguyên hàm của ln f x x x là kết quả nào sau đây? A. 2 2 1 1 ln 2 2 F x x x x C . B. 2 2 1 1 ln 2 4 F x x x x C . C. 2 2 1 1 ln 2 4 F x x x x C . D. 2 1 1 ln 2 4 F x x x x C . Câu 139. [THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 3 1 .ln f x x x . A. 3 2 1 ln 3 x f x dx x x x C . B. 3 3 ln 3 x f x dx x x C . C. 3 2 1 ln 3 x f x dx x x x x C . D. 3 3 ln 3 x f x dx x x x C . Câu 140. [THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Tất cả các nguyên hàm của hàm số 2 sin x f x x trên khoảng 0; là A. cot ln sin x x x C . B. cot ln sin x x x C . C. cot ln sin x x x C . D. cot ln sin x x x C . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 24 Câu 141. [SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01] Họ nguyên hàm của hàm số 3 cos y x x x là A. 3 3 sin cos x x x x C B. 3 3 sin cos x x x x C C. 3 3 sin cos x x x x C D. 3 3 sin cos x x x x C Câu 142. [CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019] Họ nguyên hàm của hàm số 4 e x f x x x là A. 5 1 1 e 5 x x x C . B. 5 1 1 e 5 x x x C . C. 5 1 e 5 x x x C . D. 3 4 1 e x x x C . Câu 143. Cho hai hàm số , F x G x xác định và có đạo hàm lần lượt là , f x g x trên . Biết rằng 2 2 . ln 1 F x G x x x và 3 2 2 . . 1 x F x g x x Họ nguyên hàm của . f x G x là A. 2 2 2 1 ln 1 2 . x x x C B. 2 2 2 1 ln 1 2 . x x x C C. 2 2 2 1 ln 1 . x x x C D. 2 2 2 1 ln 1 . x x x C Câu 144. [SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. d x x x xe x e xe C . B. 2 d 2 x x x x xe x e e C . C. d x x x xe x xe e C . D. 2 d 2 x x x xe x e C . Câu 145. [SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hai hàm số F x , G x xác đinh và có đạo hàm lần lượt là f x , g x trên . Biết 2 2 .G ln 1 F x x x x và 3 2 2 1 x F x g x x . Tìm họ nguyên hàm của f x G x . A. 2 2 2 1 ln 1 2 x x x C . B. 2 2 2 1 ln 1 2 x x x C . C. 2 2 2 1 ln 1 x x x C . D. 2 2 2 1 ln 1 x x x C . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 25 Câu 146. [ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019] Cho biết 3 1 1 2 3 F x x x x là một nguyên hàm của 2 2 2 x a f x x . Tìm nguyên hàm của cos g x x ax . A. sin cos x x x C B. 1 1 sin 2 cos 2 2 4 x x x C C. sin cos x x C D. 1 1 sin 2 cos 2 2 4 x x x C Câu 147. [TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02] Họ nguyên hàm của hàm số 2 l 1 2 n x x y x x là A. 2 2 1 ln 2 x x x x x C . B. 2 2 1 ln 2 x x x x x C . C. 2 2 1 ln 2 x x x x x C . D. 2 2 1 ln 2 x x x x x C . Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện Câu 148. [MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017] Cho 2 1 2 F x x là một nguyên hàm của hàm số f x x . Tìm nguyên hàm của hàm số ln f x x . A. 2 2 ln 1 ln d x f x x x C x x B. 2 2 ln 1 ln d 2 x f x x x C x x C. 2 2 ln 1 ln d 2 x f x x x C x x D. 2 2 ln 1 ln d x f x x x C x x Câu 149. [MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017] Cho 3 1 3 F x x là một nguyên hàm của hàm số f x x . Tìm nguyên hàm của hàm số l n f x x A. 3 5 l n 1 l n d 5 x f x x x C x x B. 3 5 l n 1 l n d 5 x f x x x C x x C. 3 3 l n 1 l n d 3 x f x x x C x x D. 3 3 l n 1 l n d 3 x f x x x C x x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 26 Câu 150. [MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017] Cho 1 x F x x e là một nguyên hàm của hàm số 2x f x e . Tìm nguyên hàm của hàm số 2x f x e . A. 2 d 4 2 x x f x e x x e C B. 2 d 2 x x f x e x x e C C. 2 2 d 2 x x x x f e x e C D. 2 d 2 x x f x e x x e C Câu 151. [HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02] Cho hàm số f x thỏa mãn x f x xe và 0 2 f .Tính 1 f . A. 1 3 f . B. 1 f e . C. 1 5 f e . D. 1 8 2 f e . Câu 152. [THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hàm số f x thỏa mãn e , x f x f x x và 0 2 f . Tất cả các nguyên hàm của 2 e x f x là A. 2 e e x x x C B. 2 2 e e x x x C C. 1 e x x C D. 1 e x x C Câu 153. [ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019] Cho hàm số y f x thỏa mãn ' 1 e , 0 0 x f x x f và d e x f x x ax b c với , , a b c là các hằng số. Khi đó: A. 2. a b B. 3. a b C. 1. a b D. 0. a b Câu 154. [THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018] Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số e x f x x . Tính F x biết 0 1 F . A. 1 e 2 x F x x . B. 1 e 1 x F x x . C. 1 e 2 x F x x . D. 1 e 1 x F x x . Câu 155. [SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018] Biết cos 2 d sin 2 cos 2 x x x ax x b x C với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? A. 1 8 ab . B. 1 4 ab . C. 1 8 ab . D. 1 4 ab . Câu 156. [THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018] Giả sử F x là một nguyên hàm của 2 ln 3 x f x x sao cho 2 1 0 F F . Giá trị của 1 2 F F bằng A. 10 5 ln 2 ln 5 3 6 . B. 0 . C. 7 ln 2 3 . D. 2 3 ln 2 ln 5 3 6 . Câu 157. [THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018] Gọi g x là một nguyên hàm của hàm số ln 1 f x x . Cho biết 2 1 g và 3 ln g a b trong đó , a b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của 2 2 3 T a b A. 8 T . B. 17 T . C. 2 T . D. 13 T . Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 27 Câu 158. [MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018] Cho hàm số f x thỏa mãn 1 2 25 f và 2 3 4 f x x f x với mọi x . Giá trị của 1 f bằng A. 391 400 B. 1 40 C. 41 400 D. 1 10 Câu 159. [THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018] Cho hs y f x thỏa mãn 2 y xy và 1 1 f thì giá trị 2 f là A. 2 e . B. 2e . C. 1 e . D. 3 e . Câu 160. [SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019] Cho hàm số f x liên tục trên , 0 f x với mọi x và thỏa mãn 1 1 2 f , 2 2 1 x f f x x .Biết 1 2 ... 2019 1 a f f f b với , , , 1 a b a b .Khẳng định nào sau đây sai? A. 2019 a b . B. 2019 ab . C. 2 2022 a b . D. 2020 b . Câu 161. [THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hàm số y f x liên tục trên 0; thỏa mãn 2 2 ' 3 xf x f x x x . Biết 1 1 2 f . Tính 4 f ? A. 24 . B. 14 . C. 4 . D. 16 . Câu 162. [THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019] Cho hàm số 0 f x với mọi x , 0 1 f và 1. f x x f x với mọi x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 f x B. 2 4 f x C. 6 f x D. 4 6 f x Câu 163. [CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019] Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 2;4 và 0, 2;4 f x x . Biết 3 3 3 7 4 , 2;4 , 2 4 x f x f x x x f . Giá trị của 4 f bằng A. 40 5 1 2 . B. 20 5 1 4 . C. 20 5 1 2 . D. 40 5 1 4 . Câu 164. [CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03] Cho [ ] f x là hàm số liên tục trên thỏa mãn , f x f x x x và 0 1 f . Tính 1 f . A. 2 e . B. 1 e . C. e . D. e 2 . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 28 Câu 165. [THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019] Cho hàm số f x thỏa mãn 2 2 1 1 . " xf x x f x f x với mọi x dương. Biết 1 1 1 f f . Giá trị 2 2 f bằng A. 2 2 2ln 2 2 f . B. 2 2 2ln 2 2 f . C. 2 2 ln 2 1 f . D. 2 2 ln 2 1 f . Câu 166. [CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03] Cho hàm số [ ] f x thỏa mãn 2 3 [ '[ ]] [ ]. ''[ ] 2 , f x f x f x x x x R và [0] '[0] 1 f f . Tính giá trị của 2 [2] T f A. 43 30 B. 16 15 C. 43 15 D. 26 15 Câu 167. [SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 0; 2 , thỏa mãn 3 tan . cos x f x x f x x . Biết rằng 3 3 ln 3 3 6 f f a b trong đó , a b . Giá trị của biểu thức P a b bằng A. 14 9 B. 2 9 C. 7 9 D. 4 9 Câu 168. [KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019] Cho hàm số f x liên tục và dương trên 0; thỏa mãn 2 2 4 0 f x x f x và 1 0 3 f . Tính tổng 0 1 2 ... 2018 a S f f f f b với a , b , a b tối giản. Khi đó ? b a A. 1 . B. 1011. C. 1. D. 2018 . Câu 169. [THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hàm số y f x đồng biến trên 0; ; y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn 4 3 9 f và 2 ' 1 . f x x f x . Tính 8 f . A. 8 49 f . B. 8 256 f . C. 1 8 16 f . D. 49 8 64 f . Câu 170. Cho hàm số f x thỏa mãn 1 2 f và 2 2 2 2 1 1 x f x f x x với mọi x . Giá trị của 2 f bằng A. 2 5 B. 2 5 C. 5 2 D. 5 2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 29 Câu 171. [CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019] Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; , biết 2 2 1 0 f x x f x , 0, 0 f x x và 1 2 6 f . Tính giá trị của 1 2 ... 2019 P f f f . A. 2021 2020 . B. 2020 2019 . C. 2019 2020 . D. 2018 2019 . Câu 172. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 2;1 thỏa mãn 0 3 f và 2 2 . 3 4 2 f x f x x x . Giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn 2;1 là A. 3 2 42 . B. 3 2 15 . C. 3 42 . D. 3 15 . Câu 173. [ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019] Cho hàm số [ ] f x thỏa mãn [1] 4 f và 3 2 [ ] [ ] 2 3 f x xf x x x với mọi 0 x . Giá trị của [2] f bằng A. 5 . B. 10. C. 20 . D. 15. Câu 174. [SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: 0 2 2, f 0, f x x và 2 . 2 1 1 , f x f x x f x x . Khi đó giá trị 1 f bằng A. 26 . B. 24 . C. 15 . D. 23 . Câu 175. [SGD&ĐT CẦN THƠ - HKII - 2018] Cho hàm số f x thỏa mãn 2 2 . 2 1 f x f x f x x x , x và 0 0 3 f f . Giá trị của 2 1 f bằng A. 28 . B. 22 . C. 19 2 . D. 10 . Câu 176. [THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM - 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm trên thỏa mãn 2 1 e x x f x x f x và 1 0 2 f . Tính 2 f . A. e 2 3 f . B. e 2 6 f . C. 2 e 2 3 f . D. 2 e 2 6 f . Câu 177. [LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018] Cho hàm số y f x liên tục trên \ 0; 1 thỏa mãn điều kiện 1 2ln 2 f và 2 1 . x x f x f x x x . Giá trị 2 ln 3 f a b , với , a b . Tính 2 2 a b . A. 25 4 . B. 9 2 . C. 5 2 . D. 13 4 . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 30 Câu 178. [THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018] Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn 1 1 f , . 3 1 f x f x x , với mọi 0 x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 5 3 f . B. 1 5 2 f . C. 4 5 5 f . D. 3 5 4 f . Câu 179. [THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018] Giả sử hàm số y f x liên tục nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn 1 1 f , . 3 1 f x f x x , với mọi 0 x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 3 5 4 f . B. 1 5 2 f . C. 4 5 5 f . D. 2 5 3 f . Câu 180. [THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018] Cho hàm số 0 f x thỏa mãn điều kiện 2 2 3 f x x f x và 1 0 2 f . Biết rằng tổng 1 2 3 ... 2017 2018 a f f f f f b với * , a b và a b là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 a b . B. 1 a b . C. 1010 a b . D. 3029 b a . Câu 181. [THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018] Cho hàm số 0 f x , 4 2 2 2 3 1 x x f x f x x và 1 1 3 f . Tính 1 2 80 ... f f f . A. 3240 6481 . B. 6480 6481 . C. 6480 6481 . D. 3240 6481 . Câu 182. [SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018] Cho hàm số f x đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn 0;2 và thỏa mãn 2 2 . 0 f x f x f x f x . Biết 0 1 f , 6 2 e f . Khi đó 1 f bằng A. 3 2 e . B. 3 e . C. 5 2 e . D. 2 e . Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm Câu 183. [THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018] Cho hàm số f x xác định trên \ 1 thỏa mãn 1 1 f x x , 0 2017 f ,, 2 2018 f . Tính 3 2018 1 2017 S f f . A. 1 S . B. 2 1 ln 2 S . C. 2ln 2 S . D. 2 ln 2 S . Câu 184. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho hàm số f x xác định trên khoảng 0; \ e thỏa mãn 1 ln 1 f x x x , 2 1 ln 6 e f và 2 e 3 f . Giá trị của biểu thức 3 1 e e f f bằng A. 3ln 2 1. B. 2ln 2. C. 3 ln 2 1 . D. ln 2 3. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 31 Câu 185. [QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018] Cho hàm số f x xác định trên \ 2;1 thỏa mãn 2 1 2 f x x x , 3 3 0 f f và 1 0 3 f . Giá trị của biểu thức 4 1 4 f f f bằng A. 1 1 ln 2 3 3 . B. ln80 1 . C. 1 4 ln ln 2 1 3 5 . D. 1 8 ln 1 3 5 . Câu 186. [SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018] Cho hàm số f x xác định trên \ 1;1 thỏa mãn 2 2 1 f x x , 2 2 0 f f và 1 1 2 2 2 f f . Tính 3 0 4 f f f được kết quả A. 6 ln 1 5 . B. 6 ln 1 5 . C. 4 ln 1 5 . D. 4 ln 1 5 . Câu 187. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho hàm số f x xác định trên khoảng 0; \ e thỏa mãn 1 ln 1 f x x x , 2 1 ln 6 e f và 2 e 3 f . Giá trị của biểu thức 3 1 e e f f bằng A. 3ln 2 1. B. 2ln 2. C. 3 ln 2 1 . D. ln 2 3. Câu 188. [SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018] Biết 2 2 3 F x ax bx c x , , a b c là một nguyên hàm của hàm số 2 20 30 11 2 3 x x f x x trên khoảng 3 ; 2 . Tính T a b c . A. 8 T . B. 5 T . C. 6 T . D. 7 T . Câu 189. [THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1] Gọi 2 .e x F x ax bx c là một nguyên hàm của hàm số 2 1 e . x f x x . Tính 2 . S a b c A. 3 S . B. 2 S . C. 0 S . D. 4 S . Câu 190. [LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019] Cho hàm số 3 2 2 2 2 2 x x f x x e xe , ta có 3 2 2 2 d x x x f x x me nxe pe C . Giá trị của biểu thức m n p bằng A. 1 3 B. 2 C. 13 6 D. 7 6 Câu 191. [CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01] Biết rằng hàm số 3 2 3 4 3 F x mx m n x x là một nguyên hàm của hàm số 2 3 10 4 f x x x . Tính mn . A. 1 mn . B. 2 mn . C. 0 mn . D. 3 mn . Câu 192. Biết cos 3 1 sin 3 2019 x a x F x x b c là một nguyên hàm của hàm số 2 sin3 f x x x , [với a , b , c ]. Giá trị của ab c bằng CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 32 A. 14 . B. 15 . C. 10 . D. 18 . Câu 193. [LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019] Cho hàm số 3 2 2 2 2 2 x x f x x e xe , ta có 3 2 2 2 d x x x f x x me nxe pe C . Giá trị của biểu thức m n p bằng A. 1 3 B. 2 C. 13 6 D. 7 6 Câu 194. [ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019] Biết 2 2 3 F x ax bx c x , , a b c là một nguyên hàm của hàm số 2 20 30 11 2 3 x x f x x trên khoảng 3 ; 2 . Tính T a b c . A. 8 T . B. 5 T . C. 6 T . D. 7 P . Câu 195. Cho hàm số [ ] F x là một nguyên hàm của 2 2 [ ] 2019 4 3 2 . x f x x x x Khi đó số điểm cực trị của hàm số [ ] F x là A. 5. B. 4. C. 3. D. 2. Câu 196. [THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019] Cho F x là một nguyên hàm của hàm số 2 3 4x x f x e x . Hàm số 2 F x x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6 . B. 5. C. 3. D. 4 . Câu 197. [CỤM 8 TRƯỜNG CHUYÊN LẦN 1] Biết 2 e x F x ax bx c là một nguyên hàm của hàm số 2 2 5 2 e x f x x x trên . Giá trị biểu thức 0 f F bằng: A. 1 e . B. 3e . C. 2 20e . D. 9e . Câu 198. [THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01] Cho 2 4 1 cos sin cot sin x x x F x dx x và S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 F x F trên khoảng 0;4 . Tổng S thuộc khoảng A. 6 ;9 . B. 2 ;4 . C. 4 ;6 . D. 0;2 . Câu 199. [CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1] Cho hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số 2 2cos 1 sin x f x x trên khoảng 0; . Biết rằng giá trị lớn nhất của F x trên khoảng 0; là 3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. 3 3 4 6 F B. 2 3 3 2 F C. 3 3 F D. 5 3 3 6 F CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 33 PHẦN B. ĐÁP ÁN THAM KHẢO Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản [dùng bảng nguyên hàm] Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm cơ bản không có điều kiện Câu 1. Chọn A f x dx 4 2 x x dx 5 3 1 1 5 3 x x C . Câu 2. Chọn D Ta có 2 2 4 4 f x dx x dx x x C . Câu 3. Lời giải Chọn B 2 2 6 6 x dx x x C Câu 4. Chọn A Câu 5. Chọn A 3 2 d x x x 4 2 1 1 4 2 x x C . Câu 6. Chọn A Ta có 2 2 3 d 3 x x x x C . Câu 7. Chọn B 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 f x dx x dx x d x x x C . Câu 8. Lời giải Chọn A Ta có 3 2 2 2 2 d 3 x x x C x x . Câu 9. Chọn A Áp dụng công thức d 1 ln 0 x ax b C a ax b a ta được d 1 ln 5 2 5 2 5 x x C x . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 34 Câu 10. Chọn B Ta có: s in 3 c o s 3 3 x xd x C Câu 11. Chọn A Câu 12. Chọn C Câu 13. Chọn B Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số [ ] 2 5 f x x là 2 [ ] 5 F x x x C . Câu 14. Chọn A Áp dụng công thức d , 0 1 ln x x a a x C a a ta được đáp án B Câu 15. Chọn C Áp dụng công thức 1 cos[ ]d sin[ ] ax b x ax b C a với 0 a ; thay 2 a và 0 b để có kết quả. Câu 16. Chọn C Ta có 4 5 2 1 1 d 5 2 x x x x x C . Câu 17. Chọn D 2 3 3 1 . x dx x x C Câu 18. Chọn D 15 15 16 2 2 2 2 1 1 7 dx 7 7 7 2 32 x x x d x x C Câu 19. Ta có: 3 3 1 d , 3 x x e x e C với C là hằng số bất kì. Câu 20. Ta có sin 2 d = d sin 2 d x x x x x x x 2 cos 2 2 2 x x C . Câu 21. Ta có: 2 1 2 1 2 1 1 1 e d e d 2 1 e 2 2 x x x x x C . Câu 22. Câu 23. Ta có: 3 2 1 3 3 d ln , 3 ln 3 x x x x x x C C x . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 35 Câu 24. cos 3 sin 3 dx 3 x x C Câu 25. Ta có 2 3 3 sin d cos x x x x x C . Câu 26. Ta có: 1 ln d x x C x sai. Câu 27. Có 3 2 2 4 12 2 f x x x C x x . Câu 28. Ta có: 1 e e d 1 x x x C x sai vì e d e x x x C . Câu 29. Do theo bảng nguyên hàm: l a d n x x a a x C . Câu 30. Lời giải Chọn B. Câu 31. Ta có 2 3 d 3 sin d cos 2 x f x x x x x x C . Câu 32. Chọn C Theo bảng nguyên hàm cơ bản Câu 33. Ta có cos d sin x x x C . Câu 34. Ta có 4 2 5 3 1 1 d d 5 3 f x x x x x x x C . Câu 35. Ta có: 2 2 x x e x dx e x C Câu 36. 2 1 cos d sin 2 x x x x x C . Câu 37. Ta có: 3 2 2 1 3 [ 3 ]d ln . 3 2 x x x x x x C x Câu 38. Ta có 1 1 d sin d d sin d ln cos f x x x x x x x x x C x x . Câu 39. Gọi 3 1 3 F x x là một nguyên hàm của hàm số f x . Suy ra 2 ' F x f x f x x . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 36 Câu 40. Ta có: 2 d 2 d ln 2 x x f x x x C . Câu 41. Ta có: 4 3 2 2 2 2 2 2 d d d 3 x x f x x x x x C x x x . Câu 42. Ta có: x x e e x y e là một nguyên hàm của hàm số x y e . Câu 43. Ta có: 2 2 [ ] F x e dx e x C . Câu 44. Trên khoảng 1 ; 2 , ta có: d f x x 1 d 1 2 x x 1 1 d 1 2 2 1 2 x x 1 ln 2 1 2 x C . Câu 45. Chọn B Câu 46. Ta có 2 2 1 2 d ln 2 2 x x x x x C . Câu 47. Ta có d 1 sin d cos f x x x x x x C . Câu 48. Sử dụng công thức 1 1 n n x x dx C n ta được: 4 3 2 3 2 4 3 2 1 1 1 2 1 2 2019 . 2. 2019 2019 . 3 3 4 3 2 12 3 2 x x x x x x dx x C x x x x C Câu 49. Ta có 3 2 2 [ ]dx [2 ]dx ln 2 3 x x x f x x C . Câu 50. Ta có: 1 1 [3 1] 1 1 ln 3 1 ln[1 3x] C 3 1 3 3 1 3 3 d x dx x C x x [do 1 ; 3 x ] Câu 51. Chọn A Ta có: 2 2 d ln 2 x x x C . Câu 52. Chọn B Ta có 4 3 2 2 2 2 3 3 2 3 [ ] 2 3 x x f x dx dx x dx C x x x Câu 53. Ta có: 2 2 1 2 . 1 1 d ln 2 2 x x x x x C x Câu 54. Chọn C CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 37 Ta có 2 3 d 3 sin d cos 2 x f x x x x x x C . Câu 55. Chọn A Ta có f x F x 2 2 2 x x f x e xe . Câu 56. Chọn A Ta có 3 [ ]d 3 d 3 d[ ] ln 3 x x x f x x x x C . Câu 57. Chọn A 4 3 3 2 d 4 3 x x f x dx x x x C . Câu 58. Ta có: 2020 2019 d , 2020 x x x C C là hằng số. Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số 2019 y x . Câu 59. Ta có: 3 2 3 d ln , 3 ln 3 1 3 x x x x R x x C C x . Câu 60. 5 5 4 2018 2018 504,5 d 2017 d 2017 d 2017 x x x x e f x x e x e x e C x x x Câu 61. Ta có: 2 2 1 2 2 cos cos x x x e y e e x x 2 1 2 2 tan cos x x ydx e dx e x C x . Câu 62. Ta có: 1 d d 2 2 1 f x x x x 1 1 d 2 2 1 x x 1 2 1 2 1 d 2 x x 1 2 2 1 1 1 . . 1 2 2 2 x C 1 2 1 2 x C . Câu 63. Ta có: 3 2 6 11 6 f x x x x 4 3 2 3 2 11 6 11 6 2 6 4 2 x F x x x x dx x x x C . Câu35. Họ nguyên hàm của hàm số 2 3 3 2 x f x x x là A. ln 1 2ln 2 x x C . B. 2ln 1 ln 2 x x C . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 38 C. 2ln 1 ln 2 x x C . D. ln 1 2ln 2 x x C . Ta có 2 3 3 2 1 3 2 1 2 1 2 x x f x x x x x x x . Suy ra họ nguyên hàm của hàm số 2 3 3 2 x f x x x là { Các chữ d trong vi phân chưa đúng chuẩn} 2 1 2ln 1 ln 2 1 2 f x dx dx x x C x x Câu 64. Chọn C Ta có 2 2 2 3 2 4 3 2 3 4 2 2 2 2 x x f x x x x x . Do đó 2 2 3 2 3 4 4 3ln 2 2 2 2 2 x dx dx x C x x x x . Câu 65. Chọn B Ta có 2 2 2 2 1 3 2 1 2 3 3 d d d d 2ln 1 . 1 1 1 1 1 x x f x x x x x x C x x x x x Câu 66. Chọn D Ta có 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 4 . ' 2 [ ] ' x x x x x x x e x e x f x e F x x f x f x e e e Suy ra 2 ' [ ] 2 4 x f x e x nên 2 2 ' . 2 2 . x f x e d x x x C Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm cơ bản có điều kiện Câu 67. Chọn C Có d sin cos d cos sin F x f x x x x x x x C Do cos sin 2 1 2 1 2 2 2 F C C C cos sin 1 F x x x . Câu 68. Chọn A Ta có 2 2 d x x F x e x x e x C Theo bài ra ta có: 3 1 0 1 2 2 F C C . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 39 Câu 69. Chọn C Ta có 3 5 si n x 3 5 c os f x d x x x C Theo giả thiết 0 1 0 f nên 5 1 0 5 C C . Vậy 3 5 c o s 5. f x x x Câu 70. Chọn C 2 ln 2 1 2 1 dx x C f x x Với 1 2 x , 0 1 f 1 C nên 1 1 ln 3 f Với 1 , 1 2 2 2 x f C nên 3 2 ln 5 f Nên 1 3 3 ln15 f f Câu 71. Lờigiải Chọn B F x = 1 ln 1 1 dx C x C x 1 4 F e . Ta có 1 4 3 C C Câu 72. Ta có: d 2 5sin d 2 5cos f x f x x x x x x C . Mà 0 10 f nên 5 10 5 C C . Vậy 2 5cos 5 f x x x . Câu 73. 2 2 2 1 1 1 1 d ; 0 0 2 2 2 2 x x x F x e x e C F C F x e . Khi đó 2ln 3 1 1 ln 3 4 2 2 F e . Câu 74. Ta có đáp án là đạo hàm của hàm số 2 ln sin cos F x x x x ' F x f x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 40 Đạo hàm của hàm số 2 ln sin cos F x x x x là: ' 2 ' 2 ' [ ] .ln sin cos . ln sin cos F x f x x x x x x x 2 cos sin 2 .ln sin cos . sin cos x x x x x x x . Đáp án B. Câu 75. sin 3 cos3 d 3 x F x x x C 2 2 3 F 1 C sin 3 1 3 x F x sin 3 6 3 1 9 3 6 F . Câu 76. Ta có 2 2 2 5 1 5.2 5 ln 2 x x x x f x dx dx dx x C . Câu 77. Chọn D Ta có 2 2 1 d 2 x x e x e C . Theo đề ra ta được: 0 201 1 201 0 100 2 2 2 F e C C . Vậy 1 2 2 2 1 1 1 1 [ ] 100 100 100 2 2 2 2 x F x e F e e . Câu 78. Chọn C Theo giả thiết ta có: 1 f x và 2 g x x nên . 2 f x g x x . 2 2 d F x x x x C . Vì 1 3 2 F C . Vậy một nguyên hàm F x cần tìm của hàm số . f x g x , là 2 2 F x x . Câu 79. Lờigiải Cách 1: Ta có: 1 d d ln 2 , 2 f x x x x C C x . Giả sử 0 ln 2 F x x C là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãn 1 2 F . Do 0 1 2 2 ln 2 2 F C F x x .Vậy 0 2 ln 2. F Câu 80. Ta có 2 2 1 dx dx 2 b b F x f x ax ax C x x . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 41 Theo bài ra 1 3 1 2 2 1 1 1 3 1 4 4 2 2 1 0 0 7 4 a b C b F F a b C a f a b C . Vậy 2 3 3 7 4 2 4 F x x x . Câu 81. Chọn D Ta có 1 1 l n 2 1 2 1 2 F x d x x C x Do 1 0 2 ln 2.0 1 2 2 2 F C C Vậy 1 1 ln 2 1 2 1 ln 3 2 2 2 F x x F . Câu 82. Chọn A . . Vậy . Câu 83. Chọn C sin 3 cos3 d 3 x F x x x C 2 2 3 F 1 C sin 3 1 3 x F x sin 3 6 3 1 9 3 6 F . Câu 84. Ta có 1 d ln ln F x x x C x C x với ;0 x . Lại có 2 0 ln 2 0 ln 2 F C C . Do đó ln ln 2 ln 2 x F x x . Vậy ln ;0 2 x F x x . Câu 85. Ta có: d f x x 2 2e 1 d x x 2 e x x C . cos f x x d cos d f x x x x sin x C 0 2019 f sin0 2019 C 2019 C sinx 2019 f x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 42 Suy ra 2 e x f x x C . Theo bài ra ta có: 0 2 f 1 2 C 1 C . Vậy: 2 e 1 x f x x . Câu 86. Ta có 2 2 x x f x dx x e dx x e C . Có F x là một nguyên hàm của f x và 0 2019 F . Suy ra 2 0 2019 x F x x e C F 1 2019 2018 C C . Vậy 2 2018 x F x x e . Câu 87. Trên khoảng 1; ta có 1 ' 1 f x dx dx x 1 ln 1 x C 1 ln 1 f x x C . Mà 1 [2] 2018 2018 f C . Trên khoảng ;1 ta có 1 ' 1 f x dx dx x 2 ln 1 x C 2 ln 1 f x x C . Mà [0] 2017 f 2 2017 C . Vậy ln[ 1] 2018 khi 1 ln[1 ] 2017 khi 1 x x f x x x . Suy ra 3 1 1 f f . Câu 88. Ta có: 2 13 1 2 1 2 x A B x x x x 2 1 1 2 A x B x x x 2 1 2 A B x A B x x 2 5 2 13 3 A B A A B B . Khi đó: 2 13 5 3 dx dx 5ln 1 3ln 2 1 2 1 2 x x x C x x x x . Suy ra 5; 3 a b nên 8 a b . Câu 89. Ta có: 3 1 1 1 A B D x x x x x 2 3 1 1 1 A x Bx x Dx x x x 2 3 A B D x B D x A x x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 43 1 0 1 0 2 1 1 2 A A B D B D B A D . Khi đó: 3 1 1 1 1 dx dx 2 1 2 1 x x x x x 1 ln 1 1 ln 2 x x x C . Suy ra 1 ; 1 2 a b nên 2 0 P a b . Câu 90. Ta có: 2 4 11 5 6 2 3 x A B x x x x 3 2 2 3 A x B x x x 3 2 2 3 A B x A B x x 4 3 3 2 11 1 A B A A B B . Khi đó: 2 4 11 3 1 dx dx 5 6 2 3 x x x x x 3ln 2 ln 3 x x C . Suy ra 3; 1 a b nên 2 2 13 P a ab b . Câu 91. Ta có 1 3 f 3 a b 1 . Hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; , các điểm 1 x , 1 2 x đều thuộc 0; nên 3 2 3 2 d d 3 2 b ax b f x f x x ax x C x x . + 1 2 f 2 3 2 a b C 2 . + 1 1 2 12 f 1 2 24 12 a b C 3 . Từ 1 , 2 và 3 ta được hệ phương trình 3 2 3 2 1 2 24 12 a b a b C a b C 2 1 11 6 a b C 2 2.2 1 5 a b . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 44 Câu 92. Ta có 2 d 2 d ln 2 x x f x x x C F x là một nguyên hàm của hàm số 2 x f x , ta có 2 ln 2 x F x C mà 1 0 ln 2 F 2 0 ln 2 x C F x . 0 1 ... 2018 2019 T F F F F 2 2018 2019 1 1 2 2 ... 2 2 ln 2 2020 1 2 1 . ln 2 2 1 2020 2 1 ln 2 Câu 93. Ta có 2 d d tan cos x f x x x C x . Suy ra 0 0 0 1 1 1 2 9 10 tan , ; 0 1 0 1 2 2 4 3 tan , ; 1 1 0 2 2 4 3 5 tan , ; 2 2 2 4 ... 17 19 tan , ; 2 2 19 21 tan , ; 2 2 x C x F C C x C x F C C x C x F F x x C x x C x 2 0 9 9 10 10 1 2 1 ... 9 1 9 8 4 10 1 10 9. 4 C C F C C F C C Vậy 0 ... 10 tan 0 1 tan tan 2 1 ... tan10 9 44. F F F F Dạng 2. Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm Dạng 2.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện Câu 94. 2 2 3 [ ]d 3sin cos d 3sin d[sin ] sin f x x x x x x x x C . Câu 95. Ta có: sin 1 1 1 d d 1 3cos ln 1 3cos 1 3cos 3 1 3cos 3 x x x x C x x . Câu 96. Ta có: 2 2 2 2 2 6 2 3 4 2 1 1 d d 2 2 2 xf x f x x x C I x x x x C . Câu 97. Ta có ' 2 2 cos d[2 sin ] 1 [ ] [ ]d d 2 sin [2 sin ] [2 sin ] x x f x f x x x C x x x . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 45 Câu 98. d f x x 3 2 1 e d x x x 3 1 3 1 e d 1 3 x x 3 1 1 e 3 x C . Câu 99. Ta có 1 1 1 1 d d 5 4 ln 5 4 5 4 5 5 4 5 x x x C x x . Câu 100. Chọn A 4 4 3 4 4 2 2 2 9 5 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 x x 3 4 12 3 3 3 x x x dx f x d d dx dx x x x x x x x x 4 4 4 2 4 4 4 4 4 1 1 1 1 ln 12 12 12x 36 3 3 dx dx x C x x x x Câu 101. Chọn C Ta có 2 2 2 3 3 2 3[ 1] 2 3 2 [ ] [ 1] [ 1] 1 [ 1] x x f x x x x x Vậy 2 3 2 [ ]d [ ]d 1 [ 1] f x x x x x 2 d[ 1] d[ 1] 3 2 1 [ 1] x x x x 2 3ln 1 2 [ 1] d[ 1] x x x 2 3ln[ 1] 1 x C x vì 1 x . Câu 102. Ta có 2 sin sin 2 . x x e dx 2 sin 2 sin x e d x 2 sin x e C Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện Câu 103. Ta có sin d [ ] 1 3cos x x F x x d[cos ] 3cos 1 x x 1 3 1 3 ln cosx C . mà 3 2 2 1 2 1 3 F ln cos C 2 C . Do đó, 1 1 2 0 3 0 1 2 4 2 2 2 3 3 3 F ln cos ln ln . Vậy 2 0 2 2 3 F ln . Câu 104. Chọn C Ta có: 4 4 4 1 1 1 d 1 ln 1 4 1 4 F x x x C x . Do 0 1 F nên 1 ln 0 1 1 1 4 C C . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 46 Vậy: 4 1 ln 1 1 4 F x x . Câu 105. Chọn A. Ta có 1 ln 1 1 1 x x x x dx e F x f x dx dx x e C e e 0 ln 2 ln 2 1 F C e C : ln 1 2 ln 1 1 ln 1 2 3 x x x PT F x e x e e x . Câu 106. Ta có: 2017 2017 2017 2018 2019 2 1 1 1 1 1 1 1 1 . . 1 2 1 1 4036 1 1 1 x x x x x dx dx d C x x x x x x . 4036, 2018 a b Do đó: 2 a b . Câu 107. Ta có 4 2 ' . d d f x f x x x x x C 2 5 3 2 5 3 f x x x C . Do 0 2 f nên suy ra 2 C . Vậy 2 32 8 2 2 2 5 3 f 332 15 . Câu 108. Ta có 2018 2 2017 1 x f x dx dx x 2018 2 2 2017 1 1 2 x d x 2017 2 1 2017 . 2 2017 x C 2017 2 1 2 1 C x F x Mà 1 0 F 2017 2018 1 1 0 2.2 2 C C Do đó 2017 2018 2 1 1 2 2. 1 F x x suy ra F x đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 2017 2 1 2 1 x lớn nhất 2 1 x nhỏ nhất 0 x Vậy 2017 2018 2018 1 1 1 2 2 2 2 m . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 47 Dạng 3. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm Dạng 3.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện Câu 109. Ta có 1 3 1 d 3 1 d 3 1 3 f x x x x 3 1 3 1 3 1 4 x x C . Câu 110. 5 6 5 [2 3] [2 3] [ ] [2 3] [2 3] 2 12 x x F x x dx d x C Câu 111. Chọn C Do 1 1 1 2 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 2d 3 2 d 3 2 [3 2] 3 2 3 3 9 x x x x x C x x C Câu 112. Đặt 1 2 1 d d d d 2 1 t x t x t t x x 3 2 1 d 2 1d d 2 1 2 1 3 3 t f x x x x t x C x x C . 49: [THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02] Cho hàm số ln 2 2 . x f x x . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f x ? A. 2 x F x C B. 2 2 1 x F x C C. 2 2 1 x F x C D. 1 2 x F x C Chọn A Ta có d F x f x x ln 2 2 . d x x x ln 2 2 . d x x x . Đặt 1 d d 2 u x u x x . Vậy 2ln 2. 2 .d u F x u 2 2ln 2. ln 2 u C 1 2 x C . Phương án B: 1 2 2 x F x C thỏa. Phương án C: 1 2 2 x F x C thỏa. Câu 113. 1 d d . t x t x Vậy 4 4 1 d d . [ 1] x t x t x t CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 48 Câu 114. Chọn A Đặt 1 u x 2 1 d 2 d x u x u u . Khi đó 3 dx 1 x x trở thành 2 2 4 .2 d 2 4 d u u u u u u . Câu 115. Cách 1: Ta có d 3 cos 2 5 f x x x x C d 3 cos 2 5 f x x x x C 3cos 2 5 6 sin 2 5 f x x x x 3 3cos 6 5 18 sin 6 5 f x x x x Xét 3 d 3cos 6 5 18 sin 6 5 d f x x x x x x 3cos 6 5 d 18 sin 6 5 d x x x x x 1 . Xét 18 sin 6 5 d I x x x . Đặt 3 3d d 6sin 6 5 d d cos 6 5 x u x u x x v x v . 3 cos 6 5 3 cos 6 5 d I x x x x , thay vào 1 ta được 3 d 3 cos 6 5 . f x x x x C Cách 2: Đặt 3 x t d 3d x t . Khi đó: d 3 cos 2 5 f x x x x C 3 3 d 3. 3 cos 2.3 5 f t t t t C 3 d 3 cos 6 5 f t t t t C 3 d 3 cos 6 5 f x x x x C . Câu 116. Xét 2019 2019 3 2 2 2 d 1 d 1 d f x x x x x x x x x . Đổi biến 2 1 dt 2 d t x x x , ta có: 2019 2020 2019 1 1 d 1 dt dt 2 2 f x x t t t t 2021 2020 2 2 2021 2020 1 1 1 1 2 2021 2020 2 2021 2020 x x t t C C . Câu 117. Chọn A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 49 Cách 1: Ta có d 3 cos 2 5 f x x x x C d 3 cos 2 5 f x x x x C 3cos 2 5 6 sin 2 5 f x x x x 3 3cos 6 5 18 sin 6 5 f x x x x Xét 3 d 3cos 6 5 18 sin 6 5 d f x x x x x x 3cos 6 5 d 18 sin 6 5 d x x x x x 1 . Xét 18 sin 6 5 d I x x x . Đặt 3 3d d 6sin 6 5 d d cos 6 5 x u x u x x v x v . 3 cos 6 5 3 cos 6 5 d I x x x x , thay vào 1 ta được 3 d 3 cos 6 5 . f x x x x C Cách 2: Đặt 3 x t d 3d x t . Khi đó: d 3 cos 2 5 f x x x x C 3 3 d 3. 3 cos 2.3 5 f t t t t C 3 d 3 cos 6 5 f t t t t C 3 d 3 cos 6 5 f x x x x C . Câu 118. Chọn B Đặt 2 1 x t x t dx dt với 0 t Ta có 2 2 2 1 2 1 1 d dt = dt 2ln t f x x t C t t t t Hay 1 d 2ln 2 . 2 f x x x C x Câu 119. Ta có 1 ln d d .ln x I f x x x x x . Đặt ln x x t ln 1 d d x x t . Khi đó ta có 1 ln d .ln x I x x x 1 dt t ln t C ln .ln x x C . Câu 120. Đặt 3 2 1 d 3 d t x t x x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 50 Do đó, ta có 3 3 2 1 1 1 1 1 d d . d 3 3 3 x t t x f x x x e x e t e C e C . Vậy 3 1 1 d 3 x f x x e C . Câu 121. Đặt 2 1 x t 2 2 1 x t d dt x t . Khi đó ta có 1 2 1d 2 x x 1 dt 2 t t 1 dt 2 1 2 t C 1 2 1 2 x C . Câu 122. 5 5 5 sin d tan d d cos x I f x x x x x x 2 2 2 2 5 5 1 os . 1 os .sinx sin .sin .sinx d d cos cos c x c x x x x x x Đặt cos d sin d t x t x x 2 2 2 4 5 5 1 . 1 1 2 d d t t t t I t t t t 5 3 1 2 1 dt t t t 5 3 4 2 1 1 2 d ln 4 t t t t t t C t 4 2 4 2 1 1 1 1 cos cos ln cos . ln cos 4 4 cos cos x x x C x C x x 2 2 2 1 . tan 1 tan 1 ln cos 4 x x x C 4 2 2 1 tan 2 tan 1 tan 1 ln cos 4 x x x x C 4 2 1 1 1 tan tan ln cos 4 2 4 x x x C 4 2 1 1 tan tan ln cos 4 2 x x x C . Câu 123. Đặt 2 1 t x x 2 2 2 1 1 1 x x x x t x x = 2 1 1 x x 2 1 1 x x t . 1 2 t x t 2 1 1 1 2 dx t ; 2 1 2 1 t x t 2 ln 1 f x dx x x dx = 2 1 1 1 ln 2 tdt t = 2 1 1 1 lnt. 2 dt I t . Đặt ln u t 1 d du t t 2 1 d 1 d v t t 1 v t t ; 1 1 1 1 1 ln 2 2 I t t t dt t t t = 2 1 1 1 1 ln 1 2 2 t t dt t t = 1 1 1 1 ln 2 2 t t t C t t CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 51 = 2 2 ln 1 1 x x x x C . Câu 124. Câu này đề chưa chặt, phải là “Biết một nguyên hàm của hàm số 2 y f x là ….” Đặt d 2 d 2 x t x t . 2 2 1 2 d sin ln dt sin ln 2 2 2 t t f x x x x C f t C 2 d 2sin 2ln 2ln 2 2 t f t t t C 2 d 2sin 2ln 2 x f x x x C . Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện Câu 125. Đặt sin t x d cos d t x x . d F x f x x 3 sin cos d x x x 3 d t t 4 4 t C 4 sin 4 x C . 0 F 4 sin 4 C C 4 sin 4 x F x . 4 sin 2 2 4 F 1 4 . Câu 126. Ta có 2 4 3 2 2 2 1 2 1 2 1 x x f x x x x x x . Đặt 2 1 t x x x x d 2 1 d t x x . Khi đó 2 1 1 1 d d 1 F x f x x t C C t t x x . Mặt khác, 1 1 2 F 1 1 2 2 C 1 C . Vậy 1 1 1 F x x x . Suy ra 1 1 1 1 1 2 3 2019 ... 2019 1.2 2.3 3.4 2019.2020 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2019 1 2019 2 2 3 3 4 2019 2020 2020 1 1 2018 2018 . 2020 2020 S F F F F Câu 127. Đặt d d 1 d cos 2 d sin 2 2 u x u x v x x v x Khi đó 1 1 cos 2 d sin 2 sin 2 d 2 2 x x x x x x x 1 1 sin 2 cos 2 2 4 x x x C CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 52 1 2 a , 1 4 b . Vậy 1 8 ab . Câu 128. Đặt 2 2 3 2 3 d d t x t x x t t Khi đó 2 20 30 7 d 2 3 x x x x 2 2 2 3 3 20 30 7 2 2 d t t t t t 4 2 5 15 7 d t t t 5 3 5 7 t t t C 5 3 2 3 5 2 3 7 2 3 x x x C 2 2 3 2 3 5 2 3 2 3 7 2 3 x x x x x C 2 4 2 1 2 3 x x x C Vậy 2 4 2 1 2 3 F x x x x . Suy ra 3 S a b c . Câu 129. Ta có 1 2 3 1 x x x x 2 2 3 3 2 1 x x x x 2 2 3 1 x x . Đặt 2 3 t x x , khi đó d 2 3 d t x x . Tích phân ban đầu trở thành 2 d 1 1 1 t C t t . Trở lại biến x , ta có 2 2 3 d 1 1 2 3 1 3 1 x x C x x x x x x . Vậy 2 3 1 g x x x . 2 3 5 2 0 3 1 0 3 5 2 x g x x x x . Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 3 . Câu 130. 4 2 1 x I dx x x 2 1 t x 2 dt xdx 2 1 1 2 1 . I dt t t 2 1 1 1 1 2 1 1 dt t t t 1 1 ln 1 ln 2 1 t t C t 2 2 2 1 1 ln ln 1 2 x x C x 2 2 1 1 ln ln 1 2 2 x x C x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 53 1 2 1 1 4 a b c S a b c 7 4 . Dạng 4. Nguyên hàm từng phần Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm không có điều kiện Câu 131. Chọn D Ta có 4 1 ln 4 1 ln f x x x F x x x dx đặt 2 2 2 2 2 2 1 1 ln 2 1 ln 2 2 1 ln 2 ln 4 2 u x du F x x x xdx x x x C x x x C x dv x v x Câu 132. Đặt du dx . dv sin dx cos u x x v x Suy ra sin dx cos cos dx cos sin . x x x x x x x x C Câu 133. Lờigiải Đặt 2 2 1 2 x x du dx u x v e dv e 2 2 2 1 1 . . 2 2 x x x x e dx x e e dx 2 2 2 1 1 . . 2 4 x x x x e dx x e e C 2 1 1 2 2 x e x C Câu 134. Gọi 2 1 d x I x e x . Đặt 2 1 du 2d d d x x u x x v e x v e . 2 1 2 d 2 1 2 2 3 x x x x x I x e e x x e e C x e C . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 54 Câu 135. Ta có 2 [ ] x F x xe dx Đặt 2 2 1 2 x x du dx u x v e dv e dx Suy ra 2 2 1 1 [ ] 2 2 x x F x xe e dx 2 2 2 1 1 1 1 2 4 2 2 x x x xe e C e x C Câu 136. Ta có: d 1 sin d d .sin d d d cos f x x x x x x x x x x x x x x 2 2 = cos cos d = cos sin 2 2 x x x x x x x x x C . Câu 137. Ta có 2 [1 ] 2 2 x x x e dx xdx xe dx . Gọi 2 ln I x xdx . Đặt x x u x du dx dv e dx v e . Khi đó 2 2 x x I xe e dx . Vậy 2 2 [1 ] 2 2 2 x x x x x e dx xdx xe e dx x xe x C = 2 2 2 x x e x C . Câu 138. Ta có ln F x f x dx x xdx . Đặt 2 ln 2 dx du u x x dv xdx x v . Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có: 2 2 2 1 1 1 1 ln ln 2 2 2 4 F x x x xdx x x x C . Câu 139. Chọn C Ta có 2 3 1 ln I x xdx Đặt 2 2 3 1 ln 3 1 3 1 u x du dx x dv x dx v x dx x x . 3 3 3 2 2 2 1 ln 1 ln 1 1 ln 3 x I x x x x x dx x x x x dx x x x x C x . Câu 140. Chọn A 2 d d sin x F x f x x x x . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 55 Đặt 2 d d 1 cot d d sin u x u x v x v x x . Khi đó: 2 d sin cos d .cot cot d .cot d .cot sin sin sin x x x F x x x x x x x x x x x x x x .cot ln sin x x x C . Với 0; sin 0 ln sin ln sin x x x x . Vậy cot ln sin F x x x x C . Câu 141. Chọn A Ta có: 2 3 cos d 3 d 3 cos d x x x x x x x x x 2 3 1 3 d x x x C 2 3 cos d 3 .d sin 3 .sin 3sin d 3 .sin 3cos x x x x x x x x x x x x C Vậy 3 3 cos d 3 sin cos x x x x x x x x C Câu 142. Ta có: 4 4 e dx dx e dx x x x x x x . +] 4 5 1 1 dx= 5 x x C . +] Đặt du dx . dv e dx e x x u x v Suy ra: e dx x x 2 e e dx e e x x x x x x C 2 1 e x x C . Vậy 4 5 1 e dx 1 e 5 x x x x x x C . Câu 143. Chọn C Ta có . . d .G .G d F x G x F x G x x F x x F x x x . .G d . .G d F x x x F x G x F x x x 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 1 d ln 1 1 ln 1 1 x x x x x x x x C x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 56 2 2 2 1 ln 1 x x x C . Câu33. Họ nguyên hàm của hàm số 2 . x f x x e là A. 2 1 1 2 2 x F x e x C . B. 2 1 2 2 x F x e x C . C. 2 2 2 x F x e x C . D. 2 1 2 2 x F x e x C . Đặt 2 2 1 2 x x du dx u x dv e dx v e . 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . . 2 2 4 2 2 x x x x x F x x e e dx x e e C e x C . Câu 144. Sử dụng công thức: d . d u v u v v u . Ta có: d d d x x x x x x xe x x e xe e x xe e C . Câu 145. Ta có: d d f x G x x G x F x . d G x F x F x G x . g d G x F x F x x x . 3 2 2 2 2 d ln 1 d 1 x f x G x x x x x x 2 2 2 2 ln 1 2 d 1 x x x x x x 2 2 2 2 2 1 ln 1 d 1 1 x x x x x 2 2 2 2 ln 1 ln 1 x x x x C 2 2 2 1 ln 1 x x x C . Câu 146. Lởi giải Chọn C Ta có 2 2 2 2 2 1 1 2 x F x x x x . Do F x là một nguyên hàm của 2 2 2 x a f x x nên 1 a . d cos d g x x x x x Đặt d d d cos d sin u x u x v x x v x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 57 d cos d sin sin d sin cos g x x x x x x x x x x x x C Câu 147. Ta có: 2 1 2 l 2 ln 1 1 n d d d 2 1 x x x x x I x x x I x x . 1 2 1 ln d I x x x . Đặt 2 ln d d 1 1 d 2 d x v x x u x u x x v x . 2 2 2 1 2 2 1 ln ln 1 d 1 d l 2 n . I x x x x x x x x x x x x x x x x x C 2 2 1 d ln x I x C x . 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 d 2 ln 1 ln ln 1 ln . 2 x x I x x x x x I x x x x x C x x x C C x Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện Câu 148. Chọn C Ta có: 2 1 d 2 f x x x x . Chọn 2 1 f x x . Suy ra 3 2 ln d ln d f x x x x x x . Đặt 3 2 d ln d 2 1 d d x u x u x v x v x x . Khi đó: 3 2 3 2 2 ln ln 1 ln 1 ln d d d 2 x x x f x x x x x C x x x x x . Câu 149. Chọn C Ta có 3 3 3 1 1 . . . 3 f x F x f x x F x x x x x x 4 4 3 l n 3 l n f x x f x x x x Vậy 4 4 l n d 3 l n d 3 l n . d f x x x x x x x x x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 58 Đặt 3 4 d ln ; d d ; 3 x x u x dv x x u v x Nên 4 4 4 3 3 3 3 ln ln ln 1 ln d 3 ln . d 3 d d 3 3 3 x x x x f x x x x x x x x x C x x x x Câu 150. Chọn D Theo đề bài ta có 2 . d 1 x x f x e x x e C , suy ra 2 . 1 1 . x x x x f x e x e e x e 1 . . 1 . x x x x f x e x e x e f x x e Suy ra 2 d 1 d 1 d 1 d 2 x x x x x x K f x e x x e x x e e x e x x e C . Câu 151. Ta có: . x f x f x dx x e dx Đặt x x u x du dx dv e dx v e . . x x x x f x x e e dx x e e C Theo đề: 0 2 2 1 3 f C C . 3 x x f x x e e 1 3 f . Câu 152. Chọn D Ta có e e e 1 x x x f x f x f x f x 1 e 1 e x x f x f x x C . Vì 2 1 0 2 2 e 2 e x x f C f x x 2 e d 2 e d x x f x x x x . Đặt 2 d d d e d e x x u x u x v x v 2 e d 2 e d x x f x x x x 2 e e d x x x x 2 e e 1 e x x x x C x C . Câu 153. Theo đề: ' 1 e x f x x . Nguyên hàm 2 vế ta được ' d 1 e d 1 e e 1 e e e x x x x x x f x x x x f x x dx f x x C x C Mà 0 0 0 0.e 0 0 e x f C C f x x . d e d e e d e e 1 e x x x x x x f x x x x x x x C x C . Suy ra 1 ; 1 0 a b a b . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 59 Câu 154. Đặt d d d e d e x x u x u x v x v . Do đó e d e e d x x x x x x x e e ; x x x C F x C . 0 1 F 0 e 1 2 C C . Vậy 1 e 2 x F x x . Câu 155. Đặt d d 1 d cos 2 d sin 2 2 u x u x v x x v x Khi đó 1 1 cos 2 d sin 2 sin 2 d 2 2 x x x x x x x 1 1 sin 2 cos 2 2 4 x x x C 1 2 a , 1 4 b . Vậy 1 8 ab . Câu 156. Tính 2 ln 3 d x x x . Đặt 2 d ln 3 d 3 d 1 d x u x u x x v v x x Ta có 2 ln 3 1 d d ln 3 3 x x x x x x x x 1 1 ln 3 ln , 3 3 x x C F x C x x . Lại có 2 1 0 F F 1 1 1 ln 2 ln 4 ln 0 3 3 4 C C 7 2 ln 2 3 C . Suy ra 1 1 1 2 1 2 ln 2 ln 2 ln 5 ln 2 3 2 3 5 F F C 10 5 ln 2 ln 5 3 6 . Câu 157. Đặt 1 ln 1 1 1 u x du x dv dx v x 1 ln 1 1 ln 1 1 ln 1 1 x g x x dx x x dx x x x C x Do 2 1 1ln1 2 1 3 1 ln 1 3 g C C g x x x x Suy ra: 3 2ln 2 3 3 2ln 2 ln 4 g 1, b 4 a 2 2 3a 13 b CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 60 Dạng 5. Sử dụng nguyên hàm để giải toán Câu 158. Chọn D Ta có 2 3 4 f x x f x 3 2 4 f x x f x 3 1 4 x f x 4 1 x C f x Do 1 2 25 f , nên ta có 9 C . Do đó 4 1 9 f x x 1 1 10 f . Câu 159. Ta có 2 y xy 2 y x y 2 d d y x x x y 3 ln 3 x y C 3 3 e x C y . Theo giả thiết 1 1 f nên 1 3 1 e 1 3 C C . Vậy 3 1 3 3 =e x y f x . Do đó 3 2 e f . Câu 160. 2 2 1 x f f x x 2 2 1 x f x f x 2 2 1 dx f x dx f x x 2 2 1 d f x x dx f x 2 1 x x C f x 1 [Với C là hằng số thực]. Thay 1 x vào 1 được 1 2 1 2 C 0 C .Vậy 1 1 1 f x x x . 1 1 1 1 1 1 [1] [2] ... [2019] ... 2 1 3 2 2020 2019 T f f f 1 1 2020 . Suy ra: 1 2019 2020 a a b b [Chọn đáp số sai]. Câu 161. Chọn D Trên khoảng 0; ta có: 2 2 1 3 2 ' 3 ' 2 2 xf x f x x x x f x x x . ' ' 2 2 3 3 . . 2 2 x f x x x f x dx x dx . 3 1 . 2 x f x x C . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 61 Mà 1 1 2 f nên từ có: 3 1 1 1 1. 1 .1 0 2 2 2 f C C C 2 2 x x f x . Vậy 2 4 4 4 16 2 f . Câu 162. Ta có: 1 1 f x f x x 1 d d 1 f x x x f x x ln 2 1 f x x C Mà 0 1 f nên 2 1 2 2 2 3 6 x C f x e f e Câu 163. Ta có: 0, 2;4 f x x nên hàm số y f x đồng biến trên 2;4 2 f x f mà 7 2 4 f . Do đó: 0, 2;4 f x x . Từ giả thiết ta có: 3 3 3 3 3 4 4 1 x f x f x x x f x f x 3 3 . 4 1 4 1 f x x f x f x x f x . Suy ra: 2 3 3 d 4 1 1 d d 4 2 4 1 4 1 f x f x x x x x C f x f x 2 2 3 3 4 1 8 2 x f x C . 7 3 1 2 2 4 2 2 f C C . Vậy: 3 2 4 1 1 3 4 x f x 40 5 1 4 4 f . Câu 164. [1] f x f x x . Nhân 2 vế của [1] với x e ta được e . e . .e x x x f x f x x . Hay e . .e e . .e d x x x x f x x f x x x . Xét .e d x I x x . Đặt d d e d d e x x u x u x x v v . .e d .e e d .e e x x x x x I x x x x x C . Suy ra e .e e x x x f x x C . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 62 Theo giả thiết [0] 1 f nên 2 C .e e 2 2 1 e e x x x x f x f . Câu 165. Ta có: 2 2 1 1 . " ; 0 xf x x f x f x x 2 2 2 . ' 1 1 . " x f x x f x f x 2 2 2 2 ' 2 1 ' 1 . " 1 ' . " 1 1 . ' 1 f x f x f x x f x f x f x x f x f x x Do đó: ' 1 2 1 1 . ' .d 1 .d . ' . f x f x x x f x f x x c x x Vì 1 1 1 ' 1 1 1 2 1. f f c c Nên 1 . ' .d 1 .d f x f x x x x x 1 .d 1 .d f x f x x x x 2 2 2 ln . 2 2 f x x x x c Vì 2 2 1 1 1 1 1 1. 2 2 f c c Vậy 2 2 2 ln 1 2 2ln 2 2 2 2 f x x x x f . Câu 166. Có 2 3 3 [ '[ ]] [ ]. ''[ ] 2 [ [ ]. '[ ]]' 2 f x f x f x x x f x f x x x 3 4 2 1 [ ]. '[ ] [ 2 ] 4 f x f x x x dx x x C Từ [0] '[0] 1 f f . Suy ra 1 C . Vậy 4 2 1 [ ]. '[ ] 1 4 f x f x x x Tiếp, có 4 2 2 4 2 1 1 2 [ ]. '[ ] 2 2 [ [ ]]' 2 2 2 2 f x f x x x f x x x 2 4 2 5 3 1 1 2 [ ] [ 2 2] 2 2 10 3 f x x x dx x x x C Từ [0] 1 f . Suy ra 1 C . Vậy 2 5 3 1 2 [ ] 2 1 10 3 f x x x x . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 63 Do đó 43 15 T Câu 167. Chọn D 3 tan . cos x f x x f x x 2 cos . sin . cos x x f x x f x x . 2 sin . cos x x f x x . Do đó 2 sin . d d cos x x f x x x x 2 sin . d cos x x f x x x Tính 2 d cos x I x x . Đặt 2 d d d tan d cos u x u x x v x v x . Khi đó 2 d cos d tan tan d tan d tan ln cos cos cos x x I x x x x x x x x x x x x x . Suy ra .tan ln cos ln cos sin cos sin x x x x x f x x x x . 2 2ln 2 3 3 3 ln 3 3 3 2ln 3 6 3 9 2 3 a b f f 5 3 ln 3 9 . Suy ra 5 9 1 a b . Vậy 4 9 P a b . Câu 168. Chọn E không có đáp án đúng Xét 2 2 2 4 0 2 4 f x f x x f x x f x 2 dx= 2 4 dx f x x f x . 2 1 4 x x C f x . Vì 1 0 3 f 3 C 2 1 1 1 1 4 3 2 1 3 f x x x x x . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 64 Vậy 0 2 ... 2018 1 3 ... 2017 S f f f f f f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 2 3 3 5 2019 2021 2 2 4 4 6 2018 2020 S 1 1 1 1 1 2020 1009 1 2 2 2020 2021 2 2021 2.2020 S . Câu 169. Chọn A Ta có với 0; x thì 0 y f x ; 1 0 x . Hàm số y f x đồng biến trên 0; nên 0, 0; f x x . Do đó 2 1 1 f x x f x f x x f x 1 f x x f x . Suy ra d 1 d f x x x x f x 3 1 1 3 f x x C . Vì 4 3 9 f nên 2 8 2 3 3 C . Suy ra 2 3 1 1 2 3 f x x , suy ra 8 49 f . Câu 170. Chọn D Từ giả thiết ta có: 2 2 2 2 1 . 0 1 x f x f x x với mọi 1;2 x . Do đó 1 1 0 f x f với mọi 1;2 x . Xét với mọi 1;2 x ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 d d x x f x f x f x f x x f x x x x x x f x . 2 2 2 1 1 d d 1 f x x x x x x x f 2 2 1 d d 1 x f x x x x x f x 1 1 1 C f x x x . Mà 1 1 1 1 0 f C C . Vậy 2 1 x f x x 5 2 2 f . Câu 171. TH1: 0 f x 0 f x trái giả thiết. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 65 TH2: 0 f x 2 2 1 . f x x f x 2 2 1 f x x f x . 2 d 2 1 d f x x x x f x 2 1 x x C f x . Ta có: 1 2 6 f 0 C 2 1 1 1 1 f x x x x x . 1 1 1 1 1 2019 ..... 1 2 2 3 2020 2020 P . Câu 172. Ta có: 2 2 . 3 4 2 f x f x x x [*] Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được 2 2 2 3 2 . 3 4 2 2 2 f x f x dx x x dx f x d f x x x x C 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 1 3 f x x x x C f x x x x C Theo đề bài 0 3 f nên từ [1] ta có 3 3 2 0 3 0 2.0 2.0 27 3 9 f C C C 3 3 2 3 2 3 3 2 2 9 [ ] 3 2 2 9 . f x x x x f x x x x Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn 2;1 . CÁCH 1: Vì 3 2 2 2 2 9 2 2 2 5 0, 2;1 x x x x x x x nên f x có đạo hàm trên 2;1 và 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 3 3 4 2 3 4 2 0, 3 3 2 2 9 3 2 2 9 x x x x f x x x x x x x 2;1 . x Hàm số y f x đồng biến trên 3 2;1 2;1 max 1 . 42 f x f Vậy 3 2;1 max 1 42 f x f . CÁCH 2: 2 3 3 3 3 2 2 3 2 . 3 223 3 2 2 9 9 3 x x x x f x x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 66 Vì các hàm số 3 22 2 2 3 , 2 9 3 3 3 y x y x đồng biến trên nên hàm số 3 3 223 3 2 3 9 2 2 3 y x x cũng đồng biến trên . Do đó, hàm số y f x đồng biến trên 2;1 . Vậy 3 2;1 ax 1 4 m 2 f x f . Câu 173. 3 2 3 2 2 2 1. [ ] . [ ] 2 3 [ ] [ ] [ ] 2 3 2 3 f x x f x x x f x f x xf x x x x x x x Suy ra, [ ] f x x là một nguyên hàm của hàm số g 2 3 x x . Ta có 2 2 3 3 , x dx x x C C . Do đó, 2 1 [ ] 3 , f x x x C x [1] với 1 C nào đó. Vì [1] 4 f theo giả thiết, nên thay 1 x vào hai vế của [1] ta thu được 1 0 C , từ đó 3 2 [ ] 3 f x x x . Vậy [2] 20 f . Câu 174. Ta có 2 . 2 1 1 f x f x x f x 2 . 2 1 1 f x f x x f x . Suy ra 2 . d 2 1 d 1 f x f x x x x f x 2 2 d 1 2 1 d 2 1 f x x x f x 2 2 1 f x x x C . Theo giả thiết 0 2 2 f , suy ra 2 1 2 2 3 C C . Với 3 C thì 2 2 2 2 1 3 3 1 f x x x f x x x . Vậy 1 24 f . Câu 175. Ta có 2 f x f x f x f x f x . Do đó theo giả thiết ta được 2 2 1 f x f x x x . Suy ra 2 3 2 3 2 x f x f x x x C . Hơn nữa 0 0 3 f f suy ra 9 C . Tương tự vì 2 2 f x f x f x nên 2 2 3 2 2 9 3 2 x f x x x . Suy ra 2 3 2 3 4 2 2 1 2 9 d 18 3 2 3 3 x x f x x x x x x x C , cũng vì 0 3 f suy ra CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 67 3 2 4 2 1 18 9 3 3 x f x x x x . Do đó 2 1 28 f . Câu 176. Ta có 2 1 e x x f x x f x 1 1 e x x f x f x x f x 1 1 e x x f x x f x 2 e 1 e 1 e x x x x f x x f x 2 e 1 e x x x f x 2 e 1 d e d x x x f x x x 2 1 e 1 e 2 x x x f x C Mà 1 0 2 f 0 C . Vậy 1 e . 2 1 x f x x Khi đó 2 e 2 6 f . Câu 177. Từ giả thiết, ta có 2 1 . x x f x f x x x 2 1 . 1 1 1 x x f x f x x x x . 1 1 x x f x x x , với \ 0; 1 x . Suy ra . 1 x f x x d 1 x x x hay . 1 x f x x ln 1 x x C . Mặt khác, ta có 1 2ln 2 f nên 1 C . Do đó . 1 x f x x ln 1 1 x x . Với 2 x thì 2 . 2 1 ln 3 3 f 3 3 2 ln 3 2 2 f . Suy ra 3 2 a và 3 2 b . Vậy 2 2 9 2 a b . Câu 178. Ta có . 3 1 f x f x x 1 3 1 f x f x x 1 d d 3 1 f x x x f x x d 1 d 3 1 f x x f x x 2 ln 3 1 3 f x x C 2 3 1 3 x C f x e Mà 1 1 f nên 4 3 1 C e 4 3 C . Suy ra 4 3 5 3,794 f e . Câu 179. Từ . 3 1 f x f x x ta có 1 3 1 f x f x x . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 68 Suy ra: 1 d d 3 1 f x x x f x x 2 ln 3 1 3 f x x C . Ta có 2 ln 1 3.1 1 3 f C 4 ln1 3 C 4 3 C . Nên 2 4 ln 3 1 3 3 f x x 2 4 3 1 3 3 x f x e . Vậy 2 4 4 3.5 1 3 3 3 5 3;4 f e e . Câu 180. Ta có 2 2 3 f x x f x 2 2 3 f x x f x d 2 3 d f x x x x f x 2 1 3 x x C f x . Vì 1 0 2 2 f C . Vậy 1 1 1 1 2 2 1 f x x x x x . Do đó 1 1 1009 1 2 3 ... 2017 2018 2020 2 2020 f f f f f . Vậy 1009 a ; 2020 b . Do đó 3029 b a . Câu 181. 4 2 2 2 3 1 x x f x f x x 4 2 2 2 3 1 f x x x f x x . 4 2 2 2 3 1 d d f x x x x x f x x 4 2 2 2 3 1 d d f x x x x f x x . 2 2 2 1 3 1 d d f x x x f x x 3 1 1 x x C f x x 3 1 1 f x C x x x . Do 1 1 3 f 0 C 4 2 1 x f x x x = 2 2 1 1 1 2 1 1 x x x x . 1 1 1 1 2 3 1 f ; 1 1 1 2 2 7 3 f ; 1 1 1 3 2 13 7 f ;.; 1 1 1 80 2 6481 6321 f . 1 2 80 ... f f f 1 1 1 2 2 6481 . = 3240 6481 . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 69 Câu 182. Theo đề bài, ta có 2 2 2 2 . . 0 1 f x f x f x f x f x f x f x f x 2 1 ln . 2 f x f x x x C f x C x D f x f x Mà 6 0 1 2 0 2 e f C D f . Suy ra : 2 5 2 2 2 e 1 e x x f x f . Dạng 6. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm Câu 183. Ta có 1 d 1 f x x x ln 1 x C 1 2 ln 1 khi 1 ln 1 khi 1 x C x x C x . Lại có 0 2017 f 2 ln 1 0 2017 C 2 2017 C . 2 2018 f 1 ln 2 1 2018 C 1 2018 C . Do đó ln 3 1 2018 2018 ln 1 1 2017 2017 S 2 ln 2 . Câu 184. Ta có 1 1 d d d ln ln ln 1 ln 1 ln 1 f x f x x x x x C x x x 1 2 ln ln 1 khi 0 e ln ln 1 khi e x C x f x x C x . Do 1 1 1 2 2 1 1 ln 6 ln ln 1 ln 6 ln 3 ln 6 ln 2 e e f C C C Đồng thời 2 2 2 2 e 3 ln ln e 1 3 3 f C C Khi đó: 3 3 1 1 e ln ln 1 ln 2 ln ln e 1 3 3 ln 2 1 e e f f . Câu 185. 2 1 d 2 f x x x x 1 2 3 1 1 ln , ; 2 3 2 1 1 ln , 2;1 3 2 1 1 ln , 1; 3 2 x C x x x C x x x C x x . Ta có 1 1 3 ln 4 , ;2 3 f C x , 1 1 1 0 ln , 2;1 3 2 f C x , 3 1 2 3 ln , 1; 3 5 f C x , Theo giả thiết ta có 1 0 3 f 2 1 1 ln 2 3 C . 2 1 1 ln 2 3 3 f . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 70 Và 3 3 0 f f 1 3 1 1 ln 3 10 C C . Vậy 4 1 4 f f f 1 2 1 5 1 1 1 1 ln ln 2 ln 2 ln 2 3 2 3 3 3 3 C C 1 1 ln 2 3 3 . Câu 186. Ta có d f x f x x 2 2 1 dx x 1 1 1 1 dx x x 1 2 3 1 ln 1 1 1 ln 1 1 1 1 ln 1 1 khi khi khi x C x x x C x x x C x x . Khi đó 1 3 1 3 2 2 2 1 2 2 0 ln 3 ln 0 0 3 1 1 1 1 2 ln 3 ln 2 2 2 3 f f C C C C C f f C C Do đó 1 2 3 3 6 3 0 4 ln 2 ln ln 1 5 5 f f f C C C . Câu 187. Ta có 1 1 d d d ln ln ln 1 ln 1 ln 1 f x f x x x x x C x x x 1 2 ln ln 1 khi 0 e ln ln 1 khi e x C x f x x C x . Do 1 1 1 2 2 1 1 ln 6 ln ln 1 ln 6 ln 3 ln 6 ln 2 e e f C C C Đồng thời 2 2 2 2 e 3 ln ln e 1 3 3 f C C Khi đó: 3 3 1 1 e ln ln 1 ln 2 ln ln e 1 3 3 ln 2 1 e e f f . Câu 188. Ta có F x f x . Tính 2 1 2 2 3 . 2 3 F x ax b x ax bx c x 2 2 2 3 2 3 ax b x ax bx c x 2 5 3 6 3 2 3 ax b a x b c x . Do đó 2 5 3 6 3 2 3 ax b a x b c x 2 20 30 11 2 3 x x x 2 2 5 3 6 3 20 30 11 ax b a x b c x x 5 20 3 6 30 3 11 a b a b c 4 2 5 a b c 7 T . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 71 Câu 189. Ta có 2 2 e e 2 . 1 . . x x F x f x ax bx c ax b x x Đồng nhất hệ số hai vế ta có: 1 1 2 2 4 1 5 a a a b b c b c . Từ đó 2 1 8 5 2. S a b c Câu 190. Ta có d f x f x x 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x e xe me nxe pe C 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 x x x x x x x e xe mx e ne nxe pe 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 x x x x x x e xe mx e n p e nxe 2 3 2 3 13 2 2 1 6 2 0 1 2 m m n n m n p n p p . Câu 191. Vì F x là một nguyên hàm của hàm số f x nên , F x f x x 2 2 3 2 3 4 3 10 4, mx m n x x x x 3 3 2 3 10 m m n 1 2 m n . Vậy . 2 m n . Câu 192. Vì F x là nguyên hàm của f x nên 1 3 3 3 1 cos3 3 sin 3 cos3 sin 3 cos3 f x F x x x a x x x a x x b c b c b . Đồng nhất hai vế của f x ta được 2 2 3 1 3 9 3 1 0 a a b b c c b . Vậy 2.3 9 15 ab c . Câu 193. Ta có d f x f x x 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x e xe me nxe pe C 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 x x x x x x x e xe mx e ne nxe pe 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 x x x x x x e xe mx e n p e nxe CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 72 2 3 2 3 13 2 2 1 6 2 0 1 2 m m n n m n p n p p . Câu 194. Ta có 2 1 2 2 3 2 3 F x ax b x ax bx c x 2 2 2 2 3 5 3 6 3 2 3 2 3 ax b x ax bx c ax b a x c b x x Vì 2 2 5 3 6 3 20 30 11 F x f x ax b a x c b x x 5 20 4 3 6 30 2 3 11 5 a a b a b c b c . Do đó 4 2 5 7 T a b c . Câu 195. Chọn A [ ] [ ] '[ ] [ ] f x F x F x f x '[ ] 0 [ ] 0 F x f x 2 2 2 2019 4 3 2 0 2019 2 1 2 0 x x x x x x x x Vậy số điểm cực trị của [ ] F x là 2. Câu 196. Ta có F x f x 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2x 1 4 x x F x x f x x x x x x e x x 2 2 2 2 2x 1 1 2 2 x x x x e x x x x 2 2 2 1 2x 1 1 2 1 2 0 2; 1; ;0;1 2 x x x x x x x x e x 2 0 F x x có 5 nghiệm đơn nên 2 F x x có 5 điểm cực trị. Câu 197. + Tính 2 2 e 2 e x x F x ax bx c ax a b x b c 2 2 5 2 e x x x . Suy ra 2 2 2 5 1 2 1 a a a b b b c c nên 2 2 1 e x F x x x . + Tính 0 1 F suy ra 0 1 9e f F f . Câu 198. Chọn CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 73 Ta có: 2 2 2 4 4 4 1 cos sin cot 1 cos sin 1 cos cot sin sin sin x x x x x x x F x dx dx dx x x x Gọi 2 4 1 cos cot sin x x A dx x và 2 4 1 cos sin sin x x B dx x Ta có: 2 2 3 4 2 2 4 1 1 cos cot 1 2cot cot cot 2cot . cot sin sin cot cot . 2 2 x x x x A dx dx x x d x x x x x C 2 2 2 4 2 1 cos sin 1 cos sin sin 1 cos x x x x B dx dx x x Đặt cos t x , suy ra sin . dt x dx . Khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 1 2 cos 1 cos 1 t t B dt dt dt C t t t t t t t C x x Do đó: 2 4 1 1 1 cot cot 2 cos 1 cos 1 2 2 x x F x A B C x x Suy ra: 2 4 1 1 1 cot cot 2 2 cos 1 cos 1 2 2 x x F x F C C x x 2 4 1 1 cot cot 0 cos 1 cos 1 x x x x 2 4 2 2 4 2cos cos cos 0 sin sin sin x x x x x x Với điều kiện sin 0 x , CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 74 3 2 2 3 2 2 cos 0 cos 0 * cos 2 1 cos cos 1 cos cos 0 2 cos 0 sin cos 0 cos 0 1 17 2cos cos 2 0 cos 4 x x x x x x x x x x x x x x Theo giả thiết 0;4 x nên 3 3 ; ; 2 ; 2 2 2 2 2 x x x x ; ; 2 x x ; ; 2 x x . Khi đó tổng các nghiệm này sẽ lớn hơn 9 . Câu 199. Ta có: 2 2 2 2cos 1 cos 1 d d 2 d d sin sin sin x x f x x x x x x x x 2 2 d sin 1 2 2 d cot sin sin sin x x x C x x x Do F x là một nguyên hàm của hàm số 2 2cos 1 sin x f x x trên khoảng 0; nên hàm số F x có công thức dạng 2 cot sin F x x C x với mọi 0; x . Xét hàm số 2 cot sin F x x C x xác định và liên tục trên 0; . 2 2cos 1 ' sin x F x f x x Xét 2 2cos 1 1 ' 0 0 cos 2 sin 2 3 x F x x x k k x . Trên khoảng 0; , phương trình ' 0 F x có một nghiệm 3 x Bảng biến thiên: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: //www.facebook.com/phong.baovuong 75 0; max 3 3 F x F C Theo đề bài ta có, 3 3 2 3 C C . Do đó, 2 cot 2 3 sin F x x x .