Câu hỏi: Lưu ý khi giải bất phương trình?
Trả lời:
- Lưu ý khi giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình bậc nhất một ẩn ax + b >0 là dạng tổng quát để hướng dẫn học sinh giải toán. Đầu tiên, các em tìm ra nghiệm của bất phương trình, sau đó hướng dẫn các em biểu diễn trên trục số kết quả tìm được và đưa vào tập nghiệm của bất phương trình. Bất phương trình bậc nhất một ẩn khá dễ chinh phục, các gia sư cũng cần đưa ra những bài mẹo, những bài có kết quả vô nghiệm để kích thích tính tư duy sáng tạo trong toán học của các em. Lưu ý điều kiện trước khi giải bất kỳ bài toán nào nhé.
- Lưu ý khi giải bất phương trình tích
Bất phương trình dạng này khá phức tạp, tất nhiên trước tiên các em cần sử dụng các phép biến đổi để đưa các bất phương trình về dạng bất phương trình tích. Tìm tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất nhỏ trong tích, sau đó xét dấu bằng bảng biến thiên. Tìm nghiệm tùy vào dấu của bất phương trình, nếu bất phương trình là 0
+ Trường hợpa # 0
- Nếua> 0, tập nghiệm là:
- Nếua< 0, tập nghiệm là:
+ Trường hợpa= 0
- Nếub> 0, Phương trình vô số nghiệm.
- Nếub< 0, Phương trình vô nghiệm.
* Bất phương trình bậc 2một ẩn
Là bất phương trình dạng:a.x2+ b.x + c > 0 với a # 0
ĐặtΔ = b2− 4.a.c. Ta có các trường hợp sau:
+ Nếu Δ < 0:
- a < 0 thì BPT không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là:∅.
- a > 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: R.
+ Nếu Δ = 0:
- a < 0 thì BPT không nghiệm đúng với mọi giá trị thực củax. Tập nghiệm là:∅.
- a > 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi giá trị thực củax. Tập nghiệm là:
+ Nếu Δ > 0, gọix1, x2[x1< x2]là hai nghiệm củaphương trình bậc haia.x2+ b.x + c = 0với
+ Khi đó:
- Nếua> 0 thì tập nghiệmlà:[−∞; x1] ∪ [x2; +∞]
- Nếua< 0 thì tập nghiệmlà:[x1; x2]
*Bất phương trình logarit cơ bản
- Với cơ số a dương và khác 1, các bất phương trình có 1 trong các dạng sau gọi là bất phương trình logarit cơ bản:
- Với mỗi dạng bất phương trình trên, tùy thuộc vào cơ số cách giải có điểm khác nhau. Tuy nhiên các bạn có thể nhớ 1 điểm chung là giá trị củabiến x phải dươngđể logarit xác định. Đồng thời các bất phương trình cơ bản này đều có thể giải theo kiểumũ hóa 2 vế với cơ số a. Và khi mũ hóa như vậy thì a>1 bất phương trình sẽ không đổi chiều. Ngược lại với 0 g[x], f[x] ≥ g[x].
Để có thể giải được dạng bài tập này, các em cần nắm vững một số nội dung quan trọng dưới đây.
Cách giải và biện luận bất phương trình ax + b < 0
Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất
Điều kiện của a và b sẽ ảnh hưởng đến kết quả của nghiệm cuối cùng thu được.
Trong đó, cả P[x] và Q[x] đều là những nhị thức bậc nhất.
Nguyên Hàm Ln x Là Gì? Tính Nguyên Hàm Ln, Cách Giải Bài Tập
Phương pháp giải: Lập bảng xét dấu của của P[x].Q[x], từ đó suy ra tập nghiệm.
Cách giải bất phương trình có ẩn ở mẫu
Trong đó, P[x] và Q[x] là những nhị thức bậc nhất.
Phương pháp giải: Các em lập bảng xét dấu của của P[x]/Q[x], sau đó suy ra được tập nghiệm. Để đảm bảo tính chính xác của phép chia, các em không nên quy đồng và khử mẫu.
Cách giải bất phương trình chứa tham số
Giải bất phương trình chứa tham số [m+a]x + b > 0 là xem xét rằng với các giá trị nào của tham số thì bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm ra các nghiệm đó.
Phương pháp giải: Tùy theo yêu cầu đề, lập bảng xét dấu, biện luận tìm tham số m phù hợp và tìm nghiệm [nếu có].
Cách giải bất phương trình bậc 2
Bảng xét dấu
Nhận xét:
ax^2+bx+c>0, \ \forall x\in\R \Leftrightarrow \begin{cases}a>0\\\Delta>> Xem thêm: 3 Cách Giải Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối Đơn Giản
Cách giải bất phương trình chứa căn thức
Để có thể khử căn và giải được dạng bài tập này, các em cần kết hợp phép nâng lũy thừa hoặc đặt ẩn phụ.
>>> Xem thêm: Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Chứa Căn Chi Tiết
Bài tập giải bất phương trình lớp 10
Bài tập 1: Giải bất phương trình -6x + 12 < 0
Hướng dẫn giải:
-6x + 12 < 0 ⇔ -6x < 12 ⇔ x > 2
Cách Tính Đạo Hàm Hàm Số Mũ, Bài Tập Đạo Hàm Hàm Số Mũ Và Logarit
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S={x | x > 2}
Bài tập 2: Giải bất phương trình sau
Hướng dẫn giải:
\begin{aligned} &x+1 \ge \sqrt{2[x^2-1]}\\ \Leftrightarrow&\begin{cases}x+1\ge 0\\[x+1]^2 \ge 2[x^2-1]\\x^2-1\ge 0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow&\begin{cases}x\ge -1\\x^2-2x-3\le0\\x^2\ge 1 \end{cases}\\ \Leftrightarrow&\begin{cases}x\ge -1\\-1\le x \le 3\\ \left[\begin{array}{c} x\le-1\\x\ge 1 \end{array} \right. \end{cases}\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{c} x=-1\\1\le x \le 3 \end{array} \right.\\ &\text{Vậy tập nghiệm của bất phương trình là } S=[1;3] ∪\{-1\} \end{aligned}
Bài tập 3: Chứng minh bất phương trình sau vô nghiệm
\begin{aligned} &a] \space x^2+ \sqrt{x+8} \le-3\\ &b]\space \sqrt{1+2[x-3]^2}+\sqrt{5-4x+x^2}\sqrt{1+2[x-3]^2}\ge\sqrt{1}=1\\ &5-4x+x^2=1+[4-4x+x^2]\\ &=1+[2-x]^2\ge1\\ &=>\sqrt{5-4x+x^2}\ge\sqrt{1}=1\\ &=>\sqrt{1+[2-x]^2}+\sqrt{5-4x+x^2}\\ &\ge1+1=2\ge\frac{3}{2}\\ &với\space mọi\space x\in R\\ &=>BPT \sqrt{1+[2-x]^2}+\sqrt{5-4x+x^2}