CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG
PHƯƠNG PHÁP
Để chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng . Bước 1 : Chọn 2 mặt phẳng [P] và [Q] và tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng đó : $\left[ P \right]\cap \left[ Q \right]=d$ Bước 2 : Chứng minh $A\in d,B\in d,C\in d$ Bước 3 : Vậy 3 điểm A,B,C cùng thuộc giao tuyến của [P] và [Q] nên chúng thẳng hàng |
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho chóp S.ABC có D, E, F lần lượt trên SA, SB , SC sao cho $DE\cap AB=\left\{ I \right\},EF\cap BC=\left\{ J \right\},FD\cap AC=\left\{ K \right\}$.
a] Tìm giao tuyến của [ABC] và [DEF]
b] Chứng minh rằng : I, J , K thẳng hàng
Lời giải.
Ví dụ 2. Cho chóp S.ABCD có AD không song song với BC, M thuộc SB, O là giao điểm của AC và BD
a ] Tìm giao điểm N của SC và [ADM]
b] DM cắt AN tại I . Chứng minh rằng S, I , O thẳng hàng
Lời giải.
a] Chọn mp phụ chứa SC là mp[SBC]. Tìm giao tuyến của mp[SBC] và mp[ADM].
Trong mp[ABCD], gọi AD cắt BC tại E. Khi đó : E là điểm chung của 2 mp. Lại có M cũng là điểm chung của 2 mp nên ME chính là giao tuyến của 2 mp.
Vậy N chính là giao điểm của ME và SC.
b] Vì DM cắt AN tại I nên I là điểm chung của 2 mp [SAC] và [SBD]
mà SO là giao tuyến của 2 mp [SAC] và [SBD] nên I thuộc SO.
Vậy S, I, O thẳng hàng.
Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD. S là điểm không thuộc [ABCD] . M và N lần lượt là trung điểm của AB và SC .
a ] Xác định giao điểm I của AN và [SBD]
b ] Xác định giao điểm J của MN và [SBD]
c ] Chứng minh I, J , B thẳng hàng
Lời giải.
a] Gọi AC cắt BD tại O. Trong mp[SAC] có AN cắt SO, mà SO chứa trong mp[SBD].
Vậy I chính là giao điểm của AN và SO.
b] Chọn mp phụ chứa MN là mp[ABN]. Tìm giao tuyến của 2 mp [ABN] và [SBD].
Từ câu a] có : I là điểm chung của 2 mp [ABN] và [SBD], mà B cũng là điểm chung của 2 mp nên IB là giao tuyến của 2 mp.
Vậy J chính là giao điểm của MN và IB.
c] Ta có : B, I, J là điểm chung của [ABN] và [ SBD]
Vậy : B, I, J thẳng hàng
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho chóp tứ giác S.ABCD . Gọi I, J là 2 điểm trên AD và SB. AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M .
a] Tìm giao điểm K của IJ và [SAC]
b] Xác định giao điểm L của DJ và [SAC]
c] Chứng minh A, K , L , M thẳng hàng.
Bài 2. Tứ diện SABC. Gọi L, M , N lần lượt là các điểm trên cạnh SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC.
a ] Tìm giao tuyến của [LMN] và [ABC]
b] Tìm giao điểm I của BC và [LMN]
c ] Tìm giao điểm J của SC và [LMN]
d ] Chứng minh M, I , J thẳng hàng
Bài 3. Cho chóp S.ABCD . Gọi M, N là 2 điểm trên BC và SD.
a ] Tìm giao điểm I của BN và [SAC]
b] Tìm giao điểm J của MN và [SAC]
c ] Chứng minh C, I , J thẳng hàng
Chúc các bạn học tốt, thân!