$\sqrt{A^2.B}=\sqrt{A^2}.\sqrt{B}=|A|.\sqrt{B}\,\,\,với\,\,B\geq0 \\|A|.\sqrt{B}=\begin{cases}A.\sqrt{B}\,\,\,[A\geq0;\,\,B\geq0]\\-A.\sqrt{B}\,\,\,[A\leq0;\,\,B\geq0]\end{cases}$
- Phương pháp giải
- Đối với biểu thức số: Chia các số trong căn với các số chính phương
- Đối với biểu thức chứa biến: Tách các biểu thức chứa biến dưới dấu căn thành tích của lũy thừa bậc chẵn
- Ví dụ
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: $\sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{50}$
Giải: $\sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{50}=\sqrt{2}+\sqrt{2.2^2}+\sqrt{2.5^2}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
Ví dụ 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $\sqrt{28b^3}\,\,\,với\,\, b\geq0$
Giải: $\sqrt{28b^3}=\sqrt{2^2.7.b^2.b}=\sqrt{[2.b]^2.7.b}=|2b|.\sqrt{7b}=2b.\sqrt{7b}$ vì $b\geq0$
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
- Công thức
- Với $A\geq0;\,\,B\geq0$ thì $A.\sqrt{B}=\sqrt{A^2}.\sqrt{B}=\sqrt{A^2.B}$
- Với $A 0
Giải:
$\sqrt{\frac{3}{2a}}\\\n=\sqrt{\frac{3.2a}{[2a]^2}}\\\n=\frac{\sqrt{6a}}{\sqrt{[2a]^2}}\\\n=\frac{\sqrt{6a}}{2a}$ vì a > 0
4. Trục căn thức ở mẫu số
- Với các biểu thức A; B mà B > 0, ta có: $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A.\sqrt{B}}{B}$
Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu $\frac{5}{3\sqrt{7}}$
Giải: $\frac{5}{3\sqrt{7}}=\frac{5.\sqrt{7}}{3.7}=\frac{5\sqrt{7}}{21}$
Ví dụ 2: Trục căn thức ở mẫu $\frac{2}{\sqrt{b}}$ với b > 0
Giải: $\frac{2}{\sqrt{b}}=\frac{2\sqrt{b}}{b}$ với b > 0
- Với các biểu thức A; B; C mà $A\geq0;\,\,A\neq B^2$ ta có: $\frac{C}{\sqrt{A} \,\pm\,B}=\frac{C.[\sqrt{A}\,\mp\,B]}{A-B^2}$
Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu $\frac{5}{5-2\sqrt{3}}$
Giải:
$\frac{5}{5-2\sqrt{3}}\\\n=\frac{5.[5+2\sqrt{3}]}{5^2-[2\sqrt{3}]^2}\\\n=\frac{25+10\sqrt{3}}{13}$
Ví dụ 2: Trục căn thức ở mẫu $\frac{2a}{1+\sqrt{a}}$ với a > 0
Giải: $\frac{2a}{1+\sqrt{a}}=\frac{2a[1-\sqrt{a}]}{1-a}$ với a > 0
- Với A; B; C là các biểu thức mà $A\geq0;\,\,B\geq0;\,\,A\neq B$ ta có: $\frac{C}{\sqrt{A} \,\pm\,\sqrt{B}}=\frac{C.[\sqrt{A}\,\mp\,\sqrt{B}]}{A-B}$
Ví dụ 1. Trục căn thức ở mẫu $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$
Giải:
$\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{4[\sqrt{7}-\sqrt{5}]}{7-5}\\\n=\frac{4[\sqrt{7}-\sqrt{5}]}{2}\\\n=2.[\sqrt{7}-\sqrt{5}]$