####### Chuyên đề 1: Giới hạn hàm số
- Dạng
0 , 0
Cách làm: Áp dụng quy tắc L’Hospital
Khi x → xo mà
[ ]
[ ]
f x
g x
→
→
hoặc
[ ]
[ ]
0
0
f x
g x
→
→
\=>
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
' lim lim x xo x xo '
f x f x I →→ g x g x
\==
Ví dụ:
0 [ ] 0
1 lim lim 1 ln 1 1
1
x x
x
x
x
→→
\== +
0 0
1
2 lim lim x sin x cos
x x
→→ x x
\==
Câu 3 – N1 – GK20171 – Đề 1
[ ]
0 0
4 cos
ln 1 4 sin 4 1 4 sin lim lim 3 1 3 ln 3 ln 3 x x x x
x
x x I →→
- * \= = = −
Câu 6 – N1 – GK20181 – Đề 2
3 4 2 3 2
0 0 0 0
3 4 6 12 6 24 lim lim lim lim 6 x sin x 1 cos x sin x cos
x x x x x x x
→ x x → x → x → x
- * \= = = = −−
- Dạng 1
. Vận dụng [ ]
1
0
1 lim 1 lim 1
x
x x x
e x → x →
öö ÷÷+ = = + øø
Ví dụ:
[ ] [ [ ]]
cos 1 1 1 cos 1 sin cos 1 1 0 0 0 0
lim cos lim 1 cos 1 lim lim 1
x x x x x x x x x x x
x x e e
− − − − → → → →
ùù = + − = = = úú ûû
- 2 222 lim 1 lim 1
x x
x x
e →→ x x
ö ö ö ö + = + = ÷ ÷ ÷ ÷ ø ø ø ø
Câu 2 – N1 – GK20181 – Đề 3
[ ] [ [ ]]
cos 1 1 1 cos 1 sin sin cos 1 sin cos 0 0 0 0
lim cos lim 1 cos 1 lim lim 1
x x x x x x x x x x x x
x x e e
− −− − → → → →
ùù = + − = = = úú ûû
- Dạng
00 0 , , 0
Khi x → xo ,
[ ]
[ ]
0
0
u x
v x
→
→
\=> [ ]
[ ] [ ] [ ]ln lim lim o o
v x v x u x
x x x x
I u x e
ùùûû
→→
\==
Ví dụ
ln 1/ lim lim lim 1/ 1/ 2 0 0 0 0
lim ln ln
0 0
lim lim 1
x x x x x x x x x
x x x x x
x x
x e e e e e
− →+ →+− →+ →+
++ →→
\= = = = = =
5 5ln 5
lim lim lim 1
x x x x
x x x
x e e → → →
\= = =
Câu 6 – N1 – GK20171 – Đề 3 : [ ]
tan
0
lim sin
x
x
I x →+
\=
[ ]
[ ]
[ ]
2 2
cos ln sin sin 1 1 tan tan ln sin sin cos 0 tan tan .cos
0 0 0 0 0
lim sin lim lim lim lim 1
x x x
x x x x x x x x
x x x x x
I x e e e e e + + + + +
− −
→ → → → →
\= = = = = = =
Câu 9 – N1 – GK20181 – Đề 2:
2 lim 1
n n
n →+
Xét [ ]
[ ]
2
2
1 ln 1 2 lim lim 2 2 1 0
lim 1 lim 1 1
x x
x x x x
x x
x x
I x x e e e
→+ →+
+ →+
→
\= + = + = = = = =>
2 lim 1
n
n
n →+
- \=
- Vô cùng bé – Vô cùng lớn
[ ]
[ ]
: , 0
: ,
o
o
VCB x x f x
VCL x x f x
→→
→ →
- So sánh VCB: Cho ñò, là các VCB khi x → xo. Xét lim x xo
k
ñ
→ ò
\=
k = 1 ñò
k = 0 ñ cấp cao hơn ò
k 0;1 ñ cùng cấp ò
- So sánh VCL: Cho A B , là các VCL khi x → xo. Xét lim x xo
A K → B
\=
K = 1 A B
K = A cấp cao hơn B
K 0;1 A, B cùng cấp
Câu 5 – N1 – GK20181 – Đề 4
Tìm a,b để 2 VCB sau tương đương khi x-> 0:
[ ] [ ] [ ]
2 3 4 3 ñò x = + + ax bx x , x =sin x
Ta có: [ ] [ ]
3 3 ò x =sin x x
[ ]
2 3 4 2 ñ x = + + ax bx x ax nếu a khác 0 => a = 0
[ ]
3 4 4 ñ x =+ bx x x nếu b = 0; [ ]
3 4 3 ñ x =+ bx x x nếu b =
Vậy a = 0; b =
####### Chuyên đề 2: Các ứng dụng tìm giới hạn
- Giới hạn trái – Giới hạn phải – Hàm số liên tục
- Giới hạn phải cÿa hàm số f[x] tại xo : [ ] lim [ ] o
o x x
f x f x +
→
\=
- Giới hạn trái cÿa hàm số f[x] tại xo : [ ] lim [ ] o
o x x
f x f x −
−
→
\=
Ví dụ:
0
1 lim x x + →
####### = [ ]
0
lim ln x
x →+
\=−
Câu 3 – GK20173 – N2 – D4:
2 1
1
2 lim 1
x
x
x
x
→
öö+ ÷÷= øø−
Câu 3 – GK20171 – N3 – D7:
1 1 1 ln 1 ln
0 0
1 lim lim 0 1 ln
x x x x x
x x
x e x x
++
öö ÷÷− øø−
→→
öö − = = ÷÷ øø−
- Hàm số f[x] liên tục tại xo khi và chỉ khi: f x [ ] [ ] o f xo f x [ ] o
−+ ==
Ví dụ:
Xét sự liên tục cÿa f[x] = x
2 +2x+5 tại xo=0 => f[xo
- ] = f[xo
- ]= f[xo] = 5=> LT
Câu 2 – GK20173 – N2 – D4: Xét tính liên tục
y =
[ ]
2 ln 1 4 ; 0
0; 0
x x x
x
−
\=
Nhận xét: Hàm số liên tục trên R{0}
Tại x = 0: [ ] [ ][ ] [ ]
[ ]
2 2
0 0
ln 1 4 ln 1 4 0 0 lim lim 0 0 x x
x x f f f x x
++
+−
→→
−− = = = = = => liên tục tại 0
Hàm số liên tục trên R
Đề 5 – 20141 : Tìm m để f[x] = 2
1 cos 2 ; 0
; 0
x x x
m x
−
\=
liên tục tại x = 0
####### [ ] [ ]
0 0
lim lim 2 2 x x
f x f x m +− →→
\= = =þ =
III. Đạo hàm
- Định nghĩa đạo hàm: [ ]
[ ] [ ] ' | lim o o
o x x x o
f x f x f x → x x
−
−
- Đạo hàm trái – Đạo hàm phải Phải: [ ]
[ ] [ ] ' lim o
o o x x o
f x f x f x x x
→
−
−
Trái: [ ]
[ ] [ ] ' lim o
o o x x o
f x f x f x x x −
−
→
−
−
Chú ý: f[x] có đạo hàm tại xo => Liên tục tại xo, không có ngược lại
Ví dụ:
Tính đạo hàm 2
tan tan ' 2 cos
x x y x x y x x
\= = +
C5 – 20181 – D7 – N3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm y’[0] với 3 y = x arcsin x
[ ] [ ]
3
0 0
0 arcsin '[0] lim lim 0 x x
f x f x x y →→ x x
− = = =
C5 – 20181 – D5 – N2: Tìm a để hàm số có đạo hàm tại x = 0
f[x] =
sin ; 0
cos ; 0
x e a x x
x x
−
ü
. Với a tìm được, tính f’[0]
f[0] = f[
- ]= f[
- ] = 1: Hàm số liên tục tại x = 0
f’[
- ] = 1 – a; f’[
- ] = 0 => a = 1 => f’[0] = 0
IV. Vi phân cấp 1 – Tính xấp xỉ
Vi phân cÿa y = f[x] là = + − y f x [ x ] [ ] [ ] f x f ' x . x
Cách tính xấp xỉ: f x [ o + = x ] [ ] [ ] f xo + f ' xo x
Ví dụ:
Áp dụng vi phân, tính gần đúng
3 7.
Xét [ ] [ ]
2 313 ' 3
f x x f x x
−
\= =. Ta có xo = = −8; x 0.
Áp dụng f x [ o + = x ] [ ] [ ] f xo + f ' xo x =>
3 7=7.
Tồn tại đạo hàm khi và
chỉ khi f’[xo
- ] = f’[xo
- ]
Áp dụng vi phân, tính gần đúng sin 0. 4
öö ÷÷+ øø
Xét f x [ ]= sin x f x '[ ] cos= x. Ta có ; 0.
4
xo x
= =
sin 0 sin 0 0. 4 4 4
ö ö ö ö ö ö ÷ + ÷= ÷ ÷+ ÷ ÷= ø ø ø ø ø ø
Câu 6 – 20181 – D4 – N1:
Āng dụng vi phân, tính gần đúng 4
2
2 0−
Xét [ ] [ ]
1 3 4 4 4 2
2 2 1 2 ' 2
f x f x x x x x
−
ö ö − ö ö = = = ÷ ÷ ÷ ÷ ø ø ø ø
. Ta có xo = = −2; x 0.
4 [ ] [ ]
2 2 0 ' 2 1. 2 0.
\= f − f = −
Chú ý: Công thức Leibiniz: [ ]
[ ] [ ] [ ]
0
..
n n k n k k
n k
u v C u v
−
\=
\=
õ
Trong đó:
[ Sử dụng khi biết một số k hữu hạn nào đó sẽ khiến v
[k] = 0
Ví dụ: x
5 có đạo hàm cấp 5 bằng 0
[ ] [ ] [ ]
[ [ ]]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2 1 2 202112 2 2 2 2 0
[ ] sin. ' cos sin '' 2 cos
'' sin. sin. sin. sin.
sin. 2 cos. sin. 2 cos.
x x x
k k k x x x x
k
x x x x
f x x e f x x x e f x xe
f x C x e C x e C x e C x e
x e x e x e x e
−
\=
\= = + =
\= = + +
\= − + + =
õ
- Cho y = xlnx. Tính y
[20] [1]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
20 20 20 0 20 0 1 19 1 20 20 20 0
20 19 19 18
20 19 19 19 19
ln ln ln
19! 18! 19! 20! 20! 19! ln 20 ln 1.. 20 1
k k k
k
y C x x C x x C x x
x x x x x x x x x
−
\=
\= = +
− − = + = − + − = + =
õ
y
[20] [1] = 20!-19!
Lưu ý: Cách chứng minh công thức đạo hàm cấp cao: Dùng quy nạp
[ ] [ ]
2 3
1 1 2 ' '' 111
y y y x x x
− = = =
- ++
Giả sử
[ ]
[ ]
[ ]
1
1! 1. 11
n n n
n
x x
öö ÷÷=− øø+ +
[*]
Với
[ ]
2
1 1 ' 1
n y x
− = = +
\=> n = 1 đúng với [*]
Với
[ ]
3
2 2 '' 1
n y x
\= = +
\=> n = 2 đúng với [*]
Giả sử
[ ]
[ ]
[ ]
1
! 1. 1
k k k
k n k y x
\= = − + +
là đúng
[ ] [ ]
[ ]
[ ][ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1 1 2 2 2
1 1 1! 1 1. !. 1 1 1
k k k k k k k
k x k n k y y k x x
- * ++
− + + + = + =ùù= − = − ++
[đúng với *]
Ví dụ:
Câu 7 – 20181 – Đề 5 – N2 : Cho y = [x+1]lnx. Tính y
[20] [1]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
20 20 20 0 20 0 1 19 1 20 20 20 0
20 19 19 18 20 19
ln 1 ln 1 ln [ 1]
19! 18! ln 1 20 ln 1. .[ 1] 20 1 2! 20! 2! 19! 18! 18! 19!
k k k
k
y C x x C x x C x x
x x x x x x
−
\=
\= + = + + +
\= + + = − + + − = − + = − + + = −
õ
Câu 5 – 20171 – Đề 1 – N1 : Tính y
[5] [x] với y = ln[2x
2 -x]
[ ]
[ ]
5 [5] 5 5
2 4! 2 .4! ln ln ln 2 1 2
2 1
y x x yx x
x x
\= = + −− =þ = + −
Câu 10 – 20173 – Đề 4 – N2: Cho y = x
2 ln[1-3x]. Tính y
[n] [0], n≥3.
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [[ ]]
[ ]
[ ][ ]
[ ]
[ ]
2 2
0
0 0 ln 1 3 0 , 0
n n k k n k k n k
y C x x x
−
\=
\=õ − =
2; 2
0; 0
k
k
\=
\=
[ ]
[ ] [ [ ]]
[ ]
[ ]
2 2 0 2 ln 1 3 0
n n y Cn x
− = −
Ta có [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] 1 2
3 9 3 ln 1 3 ' '' 1 1! 1 3 1 3 1 3
n n n n y x y y y n x x x
−− − − = − = = = − − − −−
[ [ ]]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2 2 2 2 3 2 2 2
3 2 ln 1 3 0 2 1 3! 2 3! 1 3
n n n n n n n n C x C n C n x
− − − − −
− − = − − = − − −
Câu 9 – 20171 – Đề 7 – N3: Cho
[ ]
[ ]
4 1 [ ] ln 2 5!
x f x x
− =−. Tính d
10 f[1].
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [[ ]]
[ ]
[ [ ]]
[ ]
10 10 10 10 10 4 10 10 0
1 1 1 , 1 1 ln 2 5!
k k k
k
d y y dx y C x x
−
\=
\= = õ − −.
Ta có [[ ] ]
4 [ ] 1
k x −=
4!; 4
0; 4
k
k
\=
\=>
[ ] [ [ ]]
[ ]
[ [ ]]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
6 [10] 4 6 6 5 106
1 1 1 4! ln 2 42 ln 2 42. 1 .5!. 5040 5! 2
y C x x x
− = − = − = − = − −
Sử dụng khai triển Maclaurin của hàm số
3 y =+ 1 x đến x
3 để tính gần đúng
3 1, 09
Quy tròn đến 10
- .
1 3 2 3 3 3
3 3 2 3
1 1 5 1 1 1 3 9 81
1 1 5 1, 09 1 0, 09 1 .0, 09 .0, 09 .0, 09 1, 029145 3 9 81
- \= + = + − + x x x x x + o x
\= + = + − + =
- Vận dụng khai triển Taylor để tìm đạo hàm cấp cao
Cách làm: Đề bài yêu cầu tìm đạo hàm cấp n hàm số y tại x = 0
- Khai triển Maclaurin hàm số y
- Hệ số của số hạng chứa x
n . n! = kết quả cần tìm
Ví dụ:
Tìm đạo hàm cấp cao y
[5] [0] của y = sin x.
y
[5] [0] = sin [x+5π/2]|x=0 = 1
Ta có khai triển Mac của y là:
1315 sin 3! 5!
x = − + x x x
Hệ số của x
5 là
1
5!
\=> y
[5] [0] =
1
5!
. 5! = 1
Câu 9 – 20173 – Đề 6 – N3 : Cho y = e
x sinx. Tính đạo hàm cấp cao y
[6] [0].
12131415 1 2 3! 4! 5!
x e = + + + + x x x x + x
1315 sin 3! 5!
x = − + x x x
\=> Hệ số của x
6 của sin
x e x là:
2 1 6 1 3 1 6 1
5! 3! 5! 90
x x x
öö − − + = ÷÷ øø
[ ] [ ] [ ] [ ]
6 016 0 8 6! 90
y y
− = = −
Câu 8 – 20181 – Đề 2 – N1: Cho 2
2
1
x y x
\= +
. Tính đạo hàm cấp cao y
[7] [0].
[ [ ]] [ ] [ [ ]]
[ ] 8 2 [7] 2 2
2 ln 1 ln 1 1
x y x y x x x
= = + = + +
.
Ta có: [ ]
2 3 4
ln 1 ... 2 3 4
x x x
+ = − + − + x x => [ ]
4 6 8 2 2 ln 1 ... 2 3 4
x x x
- \= − + − + x x
[ [ ]]
[ ] [ ] [ ]
8 2 [7]
ln 1 0 1 8! 0 10080 4 8! 4
x y
- −− = = = −
- Vận dụng khai triển maclaurin để tìm giới hạn
Cách làm: khi x => 0. Khai triển cả tử và mẫu để số hạng có bậc lớn nhất
phụ thuộc mẫu
Ví dụ:
Câu 9 – 20173 – Đề 1 – N1: Tính
[ ]
[ ]
4 2
0 5 3
1 1 2 cos 2 lim x ln 1 2
x x
→ x x
−+
−
[ ]
5 3 8 x ln 1 2−− x 2 x
[ ]
8 4 4
8 2 4
1 2 1 2
cos 2 1 6
x x x
x x x
- * −
−+
\=>
[ ] [ ]
8 8 4 2 4 4 8 8 4 8 1 2 cos 2 1 1 2 6 3
x x x x x x x o x x
−
- \= + − − − + + = +
[ ]
[ ]
4 2 8
0 5 3 0 8
4 1 1 2 cos 2 3 2 lim lim x ln 1 2 x 2 3
x x x
→→ x x x
−+ − == − −
II. Tiệm cận
- f x [ ]
- Tiệm cận ngang: xét f[x] khi x tiến tới ∞ và -∞
- Tiệm cận đứng: xét f[x] tại điểm x gián đoạn
- Tiệm cận xiên: y = ax + b
Trong đó:
[ ] lim lim [ ]
[ ] lim lim [ ]
x x
x x
f x a b f x ax x
f x a b f x ax x →
→→
→− −
\= = −
\= = −
[ ]
[ ]
x f t
y g t
\=
\=
. Xét lim tiến tới to hoặc ∞
- Tiệm cận đứng:
[ ]
[ ]
lim
lim
o
o
t t
t t
f t a
g t
→
→
\=
\=
- Tiệm cận ngang:
[ ]
[ ]
lim
lim
o
o
t t
t t
f t
g t b
→
→
=
\=
- Tiệm cận xiên:
Nếu lim [ ] t to
f t →
\= và lim [ ] t to
g t →
\= thì đường cong có thể có tiệm cận xiên.
[ ]
lim
lim
o
o
t t
t t
y a x
b y ax
→
→
\=
\=−
Ví dụ:
Tìm tiệm cận của hàm số 2 2
x y x
\= −
.
lim 1; lim 1 x x
y y →→−
\= = − => 2 tiệm cận ngang
2 2
lim l; im x x
y y +− → →−
= = − => 2 tiệm cận đứng
Câu 6 – GK20181 – D7 – N3: Tìm tiệm cận xiên của
1 2 1
x x y xe
- − [ ] [ ]
2 2 1 2 2 2 2 lim lim lim 4 4
x x x x x
y e e y e x e y e x x
→→
− →
\= = − = = +. Xét lim tại -∞ tương tự.
Câu 8 – GK20173 – D5 – N3: Tìm tiệm cận xiên y = ln[1+e
-2x ].
[ ][ ][ ]
[ ]
2 2
2
ln 1 lim lim 0 lim lim ln 1 0
ln 1 lim lim 2 lim 2 0 2
x x x x x x
x
x x x
y e y e khongco x x
y e y x y x x x
− − → → → →
−
→
−→
→
- \= = = + = =þ
- \= = − + = =þ = −
Ví dụ: Tìm tiệm cận của
2
1 x t
y t
\=
\=
0 0
0
lim lim 0 : 0
lim 0 li
;
; :m
t t
t t
T
x y TCN y
x y CD y
→→
→→
\= = =þ =
\= ==
Câu 9 – 20161 – D4:
Tìm các tiệm cận của đường cong cho bởi
2
3 3
2016 2016 ; 1 1
t t x y t t
\== −−
1 1
;lim lim t t
x y →→
\== => Không có TCD, TCN. Có TCX
0 lim 0;lim t t
x y → →
\== => Không có
[ ] 1 1 1
2016 lim lim 1; lim 3
2016
3
t t t
y t y x x
y x
→ → →
− = = − =
= −
III. Tiếp tuyến:
- Tìm tiếp tuyến y = f[x] tại xo.
y = f’[xo][x-xo] + yo
- Tiếp tuyến của hàm số có tham số t:
[ ]
[ ]
x x t
y y t
\=
\=
tại to
[ ]
[ ]
[ ]
' '[ ]
o o
o o
x x t y y t
x t y t
−− =
####### Chuyên đề 5: Nguyên hàm – Tích phân
- Bảng nguyên hàm
II. Một số cách tính nguyên hàm
- Đổi biến.
- Tích phân từng phần.
- Phân tích các phân thức.
- Hàm lượng giác:
- áp dụng công thức t = tan[x/2]
- Dạng sin cos
m n x xdx
#######
- Nếu m lẻ: đặt t = cos x
- Nếu n lẻ: đặt t = sin x
- Nếu m,n chẵn: hạ bậc
Ví dụ:
3 2 I = sin x cos x dx
#######
.
Đặt t = cos x => [ ] [ ]
5 3 5 3 2 2 4 2 cos cos 1 5 3 5 3
t t x x I = − t t dt = − t t dt = − + =þ = C I − + C
#######
Câu 7 – 20191 – N1 – Đề 2: 2
2
2 2
x I dx x x
- \= −+
[ ] [ ] [ ]
[[ ] ]
[ ]
2
2 2 2 2
ln 1 1 2 2 1 3 3arctan 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2
x x x x I dx dx dx x C x x x x x
öö−+
- * − = = = ÷÷+ = + − + −+ ÷÷ − + − + − + øø
Câu 8 – 20183 – N1 – Đề 1:
[ ]
3/ 2 2 ln 1 2 ln 1
3
x x I dx C x
- * \= = +
Câu 7 – 20181 – Đề 3 – N1:
2 I = arccos xdx
Đặt t = arccos x => x = cos t => dx = -sin t dt
2 2 2 I = − t sin tdt = t cos t − 2 t cos tdt t = cos t −2 sin t t −2 cos t C +
Câu 7 – 20181- N3 – Đề 7: 2
arctan x I dx x
\=
I
Đặt t = arctan x => x = tan t => dx = [tan
2 t +1]dt
2
2 2
[tan 1] 1 arctan ln sin ln sin[arctan ] tan sin tan tan
t t tdt t x I dt td t C x C t t t t x
- öö− − − = = = ÷÷= + + = + + øø
Câu 7 – 20191 – N1 – Đề 3:
2
2
arcsin
1
1 arcsin 1
2 1 1
2 1 2 2 arcsin 1 2 arcsin 1 2 arcsin 1 4 1 1 1
x I dx x
u x du dx x
dx dv v x x
x I x x dx x x dx x x x C x x
\= +
\= =þ = −
\= = + +
- \= + − = + − = + + − + − −
Câu 6 – 20181 – Đề 7 – N3:
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
2 3/ 4 1/ 4 7 / 4 3/ 4 7 / 4 3/ 4 1/ 4 4
4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 7 3 7 3 1
x
x e tdt x x I dx t t dt t t C e e C
e t
− = = = + − +ùù= + − + + = + − + + ûû
Câu 7 – 20181 – Đề 1 – N1:
[ ][ ]
2 2
3 2 2
2 2 1 1 2 2 1 ln 1 arctan 1 1 1 1 1 3 3 2
x x I dx dx dx x x C x x x x x x x
- * ö ö ù ö öù = = = ÷ − ÷ = − − úú÷ + +÷ − − + + ø − + + ø ûûø ø
Câu 9 – 20183 – N1 – Đề 1: [ ]
2 I = ln x + + x 1 dx