Phương trình quy về phương trình bậc hai
Kiến thức cần nhớ
1. Giải phương trình có dạng f[x]=g[x] [I]
[f[x] = ax2 + bx + c và g[x] = mx2 + nx + p với a ≠ m]
Để giải phương trình [I] ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai vế của [I] dẫn đến phương trình f[x] = g[x] rồi tìm nghiệm của phương trình này
Bước 2: Thay từng nghiệm của phương trình f[x] = g[x] vào bất phương trình
f[x] ≥ 0 hoặc g[x] ≥ 0. Nghiệm nào thoả mãn bất phương trình đó thì giữ lại, nghiệm nào không thoả mãn thì loại đi.
Bước 3: Trên cơ sở những nghiệm giữ lại ở Bước 2, ta kết luận nghiệm của phương trình [I]
Chú ý:
– Trong hai bất phương trình f[x] ≥ 0 và g[x] ≥ 0 ta thường chọn bất phương trình dạng đơn giản để thực hiện bước 2.
– Người ta chứng minh được rằng tập hợp [số thực] giữ lại ở Bước 2 chính là tập nghiệm của phương trình [I].
Ví dụ: Giải phương trình x2−3x+2=x−2 [1]
Hướng dẫn giải
Bình phương hai vế của phương trình ta được: x2−3x+2 \= x – 2 [2]
Ta có: [2] ⇔ x2– 4x + 4 = [x−2]2\= 0
Do đó, phương trình [2] có nghiệm là x = 2.
Thay lần giá trị trên vào bất phương trình x – 2 ≥ 0, ta thấy x = 2 thoả mãn bất phương trình
Vậy nghiệm của phương trình [1] là x = 2.
2. Giải phương trình có dạng f[x]=g[x] [II]
[f[x] = ax2+ bx + c và g[x] = dx + e với a ≠ d2]
Để giải phương trình [II], ta làm như sau:
Bước 1: Giải bất phương trình g[x] ≥ 0 để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó
Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình dẫn đến phương trình f[x] = [g[x]]2 rồi tìm tập nghiệm của phương trình đó.
Bước 3: Trong những nghiệm của phương trình f[x] = [g[x]]2, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình g[x] ≥ 0. Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình [II].
Ví dụ: Giải phương trình x2−4x+3\= x – 1
Hướng dẫn giải
Ta có: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
Bình phương hai vế của phương trình, ta được: x2 – 4x + 3 = [x−1]2
⇔ x2 – 4x + 3 = x2 – 2x + 1 ⇔ – 2x + 2 = 0.
Phương trình có hai nghiệm là x = 1, giá trị x = 1 là thoả mãn x ≥ 1
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.
1. Bài tập vận dụng
1.1. Bài tập tự luận
Bài 1. Giải các phương trình sau:
- 2−x + 2x = 3;
- −x2+7x−6+x=4.
Hướng dẫn giải
- 2−x + 2x = 3 ⇔2−x\= 3 – 2x
Ta có: 3 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 32. Bình phương hai vế của phương trình ta được:
2 – x = [3−2x]2⇔ 2 – x = 9 – 12x + 4x2⇔ 4x2– 11x + 7 = 0 ⇔x=1x=74
Đối chiếu với điều kiện, ta thấy chỉ có giá trị x = 1 thoả mãn.
Vậy tập nghiệm S = {1}.
b]
−x2+7x−6+x=4⇔−x2+7x−6\= 4 – x. Ta có: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
−x2+7x−6 \= [4−x]2⇔−x2+7x−6 \= 16 – 8x + x2 ⇔ 2x2– 15x + 22 = 0
⇔x=2x=112.
Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có nghiệm x = 2 thoả mãn.
Vậy tập nghiệm S = {2}.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
- 4x2−6x−6=x2−6;
- −x2+4x−2=2−x.
Hướng dẫn giải
- Bình phương hai vế của phương trình ta được: 4x2– 6x – 6 = x2 – 6
⇔ 3x2 – 6x = 0 ⇔ x=0x=2. Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình x2– 6 ≥ 0 thì thấy chỉ có
nghiệm x = 2 thoả mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.
- Ta có: 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
–x2 + 4x – 2 = [2 – x]2 ⇔ – x2 + 4x – 2 = x2 – 4x + 4 ⇔ 2x2 – 8x + 6 = 0 ⇔x=1x=3
Đối chiếu với điều kiện x ≤ 2, ta thấy x = 3 không thoả mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}.
Bài 3. Giải phương trình x2−5x+4=−2x2−3x+12.
Hướng dẫn giải
x2−5x+4≥0x2−5x+4=−2x2−3x+12
⇔x−1x−4≥03x2−2x−8=0
⇔x≤1x≥4x=2x=−86⇒x=−86
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = −86.
Bài 4. Giải phương trình 3x2−9x+1=x−2.
Hướng dẫn giải
⇔x−2≥03x2−9x+1=x−22
⇔x≥23x2−9x+1=x2−4x+4
⇔x≥22x2−5x−3=0
⇔x≥2x−32x+1=0
⇔x≥2x=3[tm]x=−12[ktm]
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {3}.
1.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Nghiệm của phương trình 3x−4=4−3x là đáp án nào trong số các đáp án sau đây?
- x = 1;
- x = 2;
- x = 3;
- x = 43.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: 3x−4≥04−3x≥0⇔x≥43x≤43⇔x = 43
Bình phương hai vế của phương trình ta có: 3x – 4 = 4 – 3x ⇔ 6x = 8 ⇔ x = 43.
Đối chiếu với điều kiện bài toán và thử lại kết quả suy ra phương trình có nghiệm
x = 43.
Câu 2. Tổng các nghiệm của phương trình x−22x+7=x2−4bằng:
- 0;
- 1;
- 2;
- 3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định của phương trình 2x+7≥0⇔x≥−72.
Ta có: x−22x+7=x2−4⇔ x−22x+7=x−2x+2
⇔ x−22x+7−x+2=0⇔ x−2=02x+7−x+2=0⇔ x=22x+7=x+21
Giải phương trình
1:2x+7=x+2⇔x≥−22x+7=x+22⇔x≥−22x+7=[x+2]2⇔x≥−22x+7=x2+4x+4
⇔x≥−2x2+2x−3=0x≥−2x=1x=−3⇔x=1.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1, x = 2 nên tổng hai nghiệm của phương trình là 1 + 2 = 3.