Với Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
A. Phương pháp giải
Bài toán: Cho phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 [a ≠ 0], biết phương trình có một nghiệm x 0, tìm các nghiệm còn lại của phương trình
Cách giải:
- Nếu x = x 0 là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 thì
ax3 + bx2 + cx + d = [x - x 0].f[x]
- Để tìm f[x] ta lấy đa thức ax3 + bx2 + cx + d chia cho [x - x 0].
- Giả sử f[x] = ax2 + Bx + C, khi đó phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích [x - x 0]. [ax2 + Bx + C] = 0
Chú ý: để tìm f[x] ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hooc-ne sau
Khi đó: ax3 + bx2 + cx + d = [x - x 0].[ax2 + Bx + C]
Ví dụ 1: Tìm các nghiệm của phương trình x3 + x2 = 12 [1], biết x = 2 là một nghiệm của phương trình
Giải
Phương trình [1] ⇔ x3+x2-12 = 0
Vì x = 2 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức [x3 + x2 – 12] chia cho
[x – 2]. Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:
Vậy x3 + x2 – 12 = [x – 2].[ x2 + 3x + 6]
Xét phương trình: x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Xét phương trình: x2 + 3x + 6 = 0 có ∆ = 32 - 4.1.6 = -15 < 0 nên phương trình vô nghiệm
Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: [x - 2][x2 + mx+ m2 – 3] = 0 [1] có đúng 2 nghiệm phân biệt
Giải
Phương trình [1]
Phương trình [*] có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình [1] có đúng 2 nghiệm thì phương trình [**] phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2
+ TH1: phương trình [**] có nghiệm kép khác 2 ⇔ phương trình [**] có
∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của [**]
+ TH2: phương trình [**] có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2
Thay x = 2 vào phương trình [**] ta được:
Với m = -1 thì phương trình [**] trở thành: x2-x-2 = 0
Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm x = -1, x = 2
Suy ra m = -1 thỏa mãn
Vậy m = -1, m = 2, m = -2 là các giá trị cần tìm
B. Bài tập
Câu 1: Tính tổng các nghiệm của phương trình, biết x = -3 là một nghiệm của phương trình
Giải
Vì x = -3 là một nghiệm của phương trình nên ta lấy đa thức [2x3 + x2 – 13x + 6]chia cho [x + 3]. Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia
Vậy 2x3 + x2 – 13x + 6 = [x + 3].[2x2 - 5x + 2]
Xét phương trình x + 3 = 0 ⇔ x = -3
Xét phương trình 2x2 - 5x + 2 = 0 có ∆ = [-5]2 - 4.2.2 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 2, x = 1/2
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:
Đáp án là D
Câu 2: Tìm m để phương trình [x - 1][x2 – 2[m + 1]x – 2] = 0 [1] có 3 nghiệm phân biệt
Giải
Phương trình [1]
Phương trình [*] có 1 nghiệm x = 1 nên để phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình [**] phải có 2 nghiệm phân biệt khác x = 1
Vậy với thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Đáp án là B
Câu 3: Tìm m để phương trình [2x - 1][x2 – mx + 3m - 5] = 0 [1] có đúng 1 nghiệm
- 1 < m < 8
- 2 < m < 10
- m = 4
- m = 0
Giải
Phương trình [1]
Phương trình [*] có 1 nghiệm nên để phương trình [1] có đúng 1 nghiệm thì phương trình [**] phải có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
+ TH1: phương trình [**] có nghiệm kép
Thay vào phương trình [**] ta được:
+ TH2: phương trình [**] vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
Vậy 2 < m < 10 là các giá trị cần tìm
Đáp án là B
Câu 4: Tìm m để phương trình [x + 1][x2 + 2mx + 4] = 0 [1] có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3
- m = 1
- m = 6
- Không tồn tại m
- m = 0
Giải
Phương trình [1]
Phương trình [*] có 1 nghiệm x1 = -1 nên để phương trình [1] có 3 nghiệm thì phương trình [**] phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -1
Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình [**] nên x2 + x3 = -2m
Tổng các nghiệm của phương trình [1] là: x1 + x2 + x3 = -1 – 2m = 3 ⇔ m = -2
m = -2 không thỏa mãn điều kiện nên loại
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài
Đáp án là C
Câu 5: Tìm m để phương trình [x + 2][x2 – 2[m-1]x + m2 – 3m] = 0 [1] có 3 nghiệm phân biệt và tích các nghiệm bằng 4
- m = 1
- m = 1, m = 2
- m = 2
- m = 0
Giải
Phương trình [1]
Phương trình [*] có 1 nghiệm x1 = -2 nên để phương trình [1] có 3 nghiệm thì phương trình [**] phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -2
Điều này xảy ra
Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình [**] nên x2. x3 = m2 - 3m
Tích các nghiệm của phương trình [1] là:
Vậy với m = 1, m = 2 thì phương trình [1] có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đặt ra
Đáp án đúng là B
Câu 6: Biết rằng phương trình x3 – 4x2 + x + 6 = 0 được đưa về phương trình
[x -3][x2 + Bx + C] = 0. Hãy tính B + C
- -5
- -4
- -6
- -3
Giải
Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 – 4x2 + x + 6 cho x – 3
Vậy x3 - 4x2 + x + 6 = [x - 3].[x2 - x - 2]
Suy ra phương trình x3 – 4x2 + x + 6 = 0 ⇔ [x - 3].[x2 - x - 2] = 0
Vậy B = -1 và C = -2 ⇒ B + C = -1 – 2 = -3
Đáp án D
Câu 7: Biết rằng phương trình x3 – 5x2 - 2x + 24 = 0 được đưa về phương trình [x - 4][x2 + Bx + C] = 0. Hãy tính tích các nghiệm của phương trình x2 + Bx + C = 0 nếu có