Bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ là kiến thức các bạn được học ở Toán 8. Đây cũng là kiến thức bổ trợ cho chương trình Toán 9. Vì nó được áp dụng hầu hết chương trình Toán học của THCS và THPT. Vì vậy, bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ rất quan trọng. Và nó còn cũng chiếm phần điểm khá cao trong đề thi học kì 2 Toán 8.
Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!
Những kiến thức cần nhớ để làm bài tập hằng đẳng thức.
Trong chương trình học, các bạn có bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, đó là
Có thể bạn quan tâm: Dãy tỷ số bằng nhau
1. Bình phương của một tổng: [a + b]2 = a2 + 2ab + b2 = [a – b]2+ 4ab
2. Bình phương của một hiệu: [a – b]2 = a2 – 2ab + b2 = [a + b]2 – 4ab
3. Hiệu hai bình phương: a2 – b2 = [a – b][a + b]
4. Lập phương của một tổng: [a + b]3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5. Lập phương của một hiệu: [a – b]3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
6. Tổng hai lập phương: a3 + b3 = [a + b][a2 – ab + b2] = [a + b]3– 3a2b – 3ab2 = [a + b]3 – 3ab[a + b]
7. Hiệu hai lập phương: a3 – b3 = [a – b][a2 + ab + b2] = [a – b]3 + 3a2b – 3ab2 = [a – b]3 + 3ab[a – b]
Ngoài các hằng đẳng thức đáng nhớ, các ban còn có các hệ quả và những hằng đẳng thức mở rộng. Những bất đẳng thức thường áp dụng trong các dạng bài tập:
· Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức
· Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến
· Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
· Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
· Dạng 5 :Chứng minh đẳng thức
· Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức
· Dang 7: Phân tích đa thức thành nhân tử
· Dạng 8 : Tìm x, khi cho một biểu thức
· Dạng 9 : Thực hiện phép tính phân thức
Bài tập ví dụ về Hằng đẳng thức
Ví dụ 1:
b] Cho x+y= 9 và xy = 18. Không tính giá trị của x, y hãy tính giá trị của các biểu thức:
1] A = x2 + y2
2] B = x4 + y4
3] C = x2 – y2
4] D = x3 – y3.
Lời giải
1] Ta có A = x2 + y2 + 2xy – 2xy = [x + y]2 – 2 xy
Thay x + y = 9 và xy = 18, Ta được:
A = 92 – 2 . 18 = 81 – 36 = 45
Vậy A = 45
2] Ta có B = x4 + y4 + 2x2.y2 – 2x2.y2 = [x2 + y2]2 – 2. [xy]2
Tương đương B = [x2 + y2 + 2xy – 2xy]2 – 2. [xy]2 = [[x + y]2 – 2xy]2 – 2.[xy]2
Thay x + y = 9 và xy = 18, Ta được:
B = [92 – 2 x 18]2 – 2 x 182 = [81 – 36]2 – 2 x 22 x 92 = 452 – 8 x 92
Tương đương B = 52 x 92 – 8 x 92 = 92 x [25 – 8] = 81 x 17 = 1377
Vậy B = 1377
Ví dụ 2
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = [x – 1]2 + [x + 1][3 – x]
Lời giải:
Ta có A = [x – 1]2 + [x + 1][3 – x] = x2 – 2x +1 – x2 + 2x + 3
Tương đương A = 4
Suy ra biểu thức A không phụ thuộc vào biến
Suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 – 2x + 9
Lời giải
Ta có: B = x2 – 2x + 9 = x2 – 2x + 1 + 8 = [x – 1]2 + 8
Vì [x – 1]2 ≥ 0 với mọi x
Suy ra B ≥ 8
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 8.
Dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 hay x = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của B = 8 với x = 1
Ví dụ 4
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = 8x – x2 và tìm x để dấu bằng xảy ra.
Lời giải
Ta có C = 8x – x2 = 16 – 16 + 8x – x2 = 16 – [x -4]2
Vì [x – 4]2 ≥ 0
Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức C = 16
Dấu “=” xảy ra khi x – 4 = 0 hay x = 4
Vậy giá trị lớn nhất của C = 16 với x = 4
Ví dụ 5:
Tính giá trị lớn nhất cảu biểu thức D = 8x – 4x2
Lời giải
Ta có D = 8x – 4x2 = 4 – 4 + 8x – 4x2 = 4 – [2x – 2]2
Vì [2x – 2]2 ≥ 0
Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức D = 4
Dấu “=” xảy ra khi 2x – 2 = 0 hay x = 1
Vậy giá trị lớn nhất của D = 4 với x = 1
Để hiểu rõ hơn về các dạng, các bạn hãy tham khảo tài liệu của chúng tôi bên dưới.
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Tài liệu tiếp tục được cập nhật
Sưu tầm: Thu Hoài
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP
HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. Một số kiến thức cơ bản:
Bình phương của một tổng: [A + B ]2 = A2 + 2AB + B2
Bình phương của một hiệu: [A – B ]2 = A2 – 2AB + B2
Hiệu của hai bình phương: A2 – B2 = [A +B ] [A-B]
B. Bài tập
Bài 1
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu;
a] x2 + 2x + 1; b] 9x2 + y2 + 6xy;
c] 25a2 + 4b2 – 20ab; d] x2 – x + 1/4
Đáp án và hướng dẫn giải:
a] x2 + 2x + 1 = x2+ 2.x.1 + 12
= [x + 1]2
b] 9x2 + y2+ 6xy = [3x]2 + 2.3. x.y + y2 = [3x + y]2
c] 25a2 + 4b2– 20ab = [5a]2 – 2.5a.2b + [2b]2 = [5a – 2b]2
Hoặc 25a2 + 4b2 – 20ab = [2b]2 – 2.2b.5a + [5a]2 = [2b – 5a]2
d] x2 – x + 1/4
= x2 – 2.x.1/2+ [1/2]2
=[x- 1/2]2
Hoặc x2 – x + 1/4
= 1/4- x + x2 =[1/2]2 – 2.1/2 x + x2 = [1/2-x]2
Bài 2
Chứng minh rằng:
[10a + 5]2 = 100a . [a + 1] + 25.
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.
Áp dụng để tính: 252, 352, 652, 752.
Đáp án và hướng dẫn giải:
Ta có: [10a + 5]2 = [10a]2 + 2.10a.5 + 52
= 100a2 + 100a + 25
= 100a[a + 1] + 25.
Cách tính nhẩm bình thường của một số tận cùng bằng chữ số 5;
Ta gọi a là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5 => số đã cho có dạng 10a + 5 và ta được
[10a + 5]2 = 100a[a + 1] + 25
Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a[a + 1] rồi viết 25 vào bên phải.
Áp dụng;
Để tính 252 ta tính 2[2 + 1] = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625.
Để tính 352 ta tính 3[3 + 1] = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225.
652 = [10.6 + 5]2= 100.6[6+1] +25= 600.7 +25 =4200 +25= 4225
752 =[10.7+5]2 = 100.7[7+1] +25 = 700.8 +25=5600 +25 = 5625
Bài 3
Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:
a] x2 + 6xy + … = [… + 3y]2;
b] … – 10xy + 25y2 = [… – …]2;
Hãy nêu một số đề bài tương tự.
Đáp án và hướng dẫn giải:
a] x2 + 6xy + … = [… + 3y]2 nên x2 + 2x . 3y + … = […+3y]2
= x2 + 2x . 3y + [3y]2 = [x + 3y]2
Vậy: x2 + 6xy +9y2 = [x + 3y]2
b] …-2x . 5y + [5y]2 = [… – …]2;
x2 – 2x . 5y + [5y]2 = [x – 5y]2
Vậy: x2 – 10xy + 25y2 = [x – 5y]2
Bài 4
Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo.
Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng a – b [cho a > b]. Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?
Đáp án và hướng dẫn giải bài:
Diện tích của miếng tôn là [a + b]2
Diện tích của miếng tôn phải cắt là [a – b]2.
Phần diện tích còn lại là [a + b]2 – [a – b]2.
Ta có: [a + b]2 – [a – b]2 = a2 + 2ab + b2 – [a2 – 2ab + b2]
= a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2
= 4ab
Vậy phần diện tích hình còn lại là 4ab và không phụ thuộc vào vị trí cắt.
Bài 5
Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau:
x2 + 2xy + 4y2 = [x + 2y]2
Đáp án và hướng dẫn giải:
Nhận xét sự đúng, sai:
Ta có: [x + 2y]2 = x2 + 2 . x . 2y + 4y2
= x2 + 4xy + 4y2
Nên kết quả x2 + 2xy + 4y2 = [x + 2y]2 sai.
Bài 6
Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a] 9x2 – 6x + 1;
b] [2x + 3y]2 + 2.[2x + 3y] + 1.
Hãy nêu một đề bài tương tự.
Đáp án và hướng dẫn giải:
a] 9x2 – 6x + 1 = [3x]2 – 2 . 3x . 1 + 12 = [3x – 1]2
Hoặc 9x2 – 6x + 1 = 1 – 6x + 9x2 = [1 – 3x]2
b] [2x + 3y] = [2x + 3y]2 + 2 . [2x + 3y] . 1 + 12
= [[2x + 3y] + 1]2
= [2x + 3y + 1]2
Đề bài tương tự. Chẳng hạn:
1 + 2[x + 2y] + [x + 2y]2
4x2 – 12x + 9…
16x2 y4 – 8xy2 +1
Bài 7
Tính nhanh:
a] \[101^2\]; b] \[199^2\]; c] \[47.53\].
Đáp án và hướng dẫn giải:
a] 1012 = [100 + 1]2 = 1002 + 2 . 100 + 1 = 10201
b] 1992= [200 – 1]2 = 2002 – 2 . 200 + 1 = 39601
c] 47.53 = [50 – 3][50 + 3] = 502 – 32 = 2500 – 9 = 2491.
Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.