– Căn bậc hai của một số a không âm là số $x$ sao cho $ {{x}^{2}}~=\text{ }a$.
Số $ a>0$ có hai căn bậc hai là $ \sqrt{a}$ và $ -\sqrt{a}$ , trong đó $ \sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của a.
– Căn bậc ba của một số thực a là số $ x$ sao cho $ {{x}^{3}}=\text{ }a$, kí hiệu $x=\sqrt[3]{a}$ .
– Phép khai phương đơn giản:
$ \sqrt{{{{A}^{2}}}}=|A|$ [với $ \forall A$]
$ \sqrt{{AB}}=\sqrt{A}\cdot \sqrt{B}$ [với $ A,B\ge 0$]
$ \sqrt{{\dfrac{A}{B}}}=\dfrac{{\sqrt{A}}}{{\sqrt{B}}}$ [với ∀ $ {A,B}$]
$ \sqrt[3]{{AB}}=\sqrt[3]{A}\cdot \sqrt[3]{B}$ [với $ A\ge 0;B>0$]
$ \sqrt[3]{{\dfrac{A}{B}}}=\dfrac{{\sqrt[3]{A}}}{{\sqrt[3]{B}}}$ [với ∀ $ B\ne 0$]
VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢI
Ví dụ 1: Tính:
a] Căn bậc hai của 100
b] $ \sqrt{16+9}$
c] $ \sqrt[3]{64}$
d] $ \sqrt{16.9}$
Giải:
a] Căn bậc hai của 100 bằng 10.
b] $ \sqrt{16+9}=\sqrt{25}=\sqrt{5^{2}}=5$
c] $ \sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^{3}}=4$
d] $ \sqrt{16.9}=\sqrt{4^{2} \cdot 3^{2}}=\sqrt{[4.3]^{2}}=4.3=12$
Ví dụ 2: Tính:
a] $ \sqrt{810.40}$
b] $ \sqrt{\dfrac{12^{5}}{3^{5} \cdot 4^{3}}}$
c] $ \dfrac{\sqrt{180}: \sqrt{5}}{\sqrt{200}}: \sqrt{8}$
d] $ \dfrac{\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{27.125}}{\sqrt[3]{500.2}}$
Giải:
a] $ \sqrt{810.40}=\sqrt{81.10 .40}=\sqrt{81.400}$
$=\sqrt{9^{2} \cdot 20^{2}}=\sqrt{[9.20]^{2}}=9.20=180$
b] $ \sqrt{\dfrac{12^{5}}{3^{5} \cdot 4^{3}}}=\sqrt{\dfrac{3^{5} \cdot 4^{5}}{3^{5} \cdot 4^{3}}}=\sqrt{4^{2}}=4$
c] $ \dfrac{\sqrt{180}: \sqrt{5}}{\sqrt{200}}: \sqrt{8}=\dfrac{\sqrt{180: 5}}{\sqrt{200: 8}}=\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{5^{2}}}=\dfrac{6}{5}$
d] $ \dfrac{{\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{{27.125}}}}{{\sqrt[3]{{500.2}}}}=\dfrac{{\sqrt[3]{{{{2}^{3}}}}+\sqrt[3]{{{{3}^{3}}{{{.5}}^{3}}}}}}{{\sqrt[3]{{1000}}}}=\dfrac{{2+3.5}}{{10}}=\dfrac{{17}}{{10}}$
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức
a] $ \sqrt{[1-\sqrt{2}]^{2}}-\sqrt{3+2 \sqrt{2}}+\sqrt{[-2]^{6}}$
b] $ \sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{13-4 \sqrt{3}}$
c] $ \sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7}-\sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7}$
d] $ \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$
Giải:
a] $ \sqrt{[1-\sqrt{2}]^{2}}-\sqrt{3+2 \sqrt{2}}+\sqrt{[-2]^{6}}$
$=\sqrt{[1-\sqrt{2}]^{2}}-\sqrt{2+2 \sqrt{2}+1}+\sqrt{[-2]^{6}}$
$=\sqrt{[1-\sqrt{2}]^{2}}-\sqrt{[1+\sqrt{2}]^{2}}+\sqrt{[-2]^{6}}$
$=|1-\sqrt{2}|-|1+\sqrt{2}|+\left|[-2]^{3}\right|$
$=\sqrt{2}-1-[1+\sqrt{2}]+8$
$=\sqrt{2}-1-1-\sqrt{2}+8$
$=6$
b] $ \sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{13-4 \sqrt{3}}$
$=\sqrt{3+2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2+4}+\sqrt{[2 \sqrt{3}]^{2}-2 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 1+1}$
$=\sqrt{[\sqrt{3}+2]^{2}}+\sqrt{[2 \sqrt{3}-1]^{2}}$
$=|\sqrt{3}+2|+|2 \sqrt{3}-1|$
$=\sqrt{3}+2+2 \sqrt{3}-1$
$=3 \sqrt{3}+1$
c] $ \sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7}-\sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7}$
$=\sqrt[3]{2 \sqrt{2}-3.2 \cdot 1+3 \cdot \sqrt{2} \cdot 1-1}-\sqrt[3]{2 \sqrt{2}+3 \cdot 2 \cdot 1+3 \cdot \sqrt{2} \cdot 1+1}$
$=\sqrt[3]{[\sqrt{2}-1]^{3}}-\sqrt[3]{[\sqrt{2}+1]^{3}}$
$=\sqrt{2}-1-[\sqrt{2}+1]$
$=-2$
d] $ \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$
$=\dfrac{1}{2} \cdot[2 \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+2 \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}]$
$=\dfrac{1}{2} \cdot[\sqrt[3]{16+8 \sqrt{5}}+\sqrt[3]{16-8 \sqrt{5}}]$
$=\dfrac{1}{2} \cdot[\sqrt[3]{5 \sqrt{5}+3.5 \cdot 1+3 \cdot \sqrt{5} \cdot 1+1}+\sqrt[3]{5 \sqrt{5}-3 \cdot 5 \cdot 1+3 \cdot \sqrt{5} \cdot 1-1}]$
$=\dfrac{1}{2} \cdot[\sqrt[3]{[\sqrt{5}+1]^{3}}+\sqrt[3]{[\sqrt{5}-1]^{3}}]$
$=\dfrac{1}{2} \cdot[\sqrt{5}+1+\sqrt{5}-1]$
$=\dfrac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{5}=\sqrt{5}$
Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức $ Q=\dfrac{1}{{\sqrt{{x+3}}\cdot \sqrt{{x-3}}}}+\sqrt{{{{x}^{2}}+7x+4}}$ tại $ x=5$
Giải:
Tại $ x=5$ ta có:
$ \begin{aligned} \mathrm{Q} &=\dfrac{1}{\sqrt{5+3} \cdot \sqrt{5-3}}+\sqrt{5^{2}+7.5+4} \\ &=\dfrac{1}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}}+\sqrt{64} \\ &=\dfrac{1}{\sqrt{8.2}}+8 \\ &=\dfrac{1}{4}+8=\dfrac{33}{8} \end{aligned}$
BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1: Căn bậc hai số học của 64 là:
A. 8 B. -8 C. 32 D. -32
Giải:
Căn bậc hai số học của 64 là 8 vì 82 = 64.
⇒ Chọn đáp án A.
Bài 2: Căn bậc ba của -27 là:
A. 3 B. 9 C. -9 D. -3.
Giải:
Căn bậc ba của -27 là -3 vì [-3]3 = -27.
⇒ Chọn đáp án D.
Bài 3: Giá trị biểu thức $3 \sqrt{5}-\sqrt{[1-\sqrt{5}]^{2}}$ bằng:
$ \begin{array}{llll}\text { A. }-1+4 \sqrt{5} & \text { B. } 1+2 \sqrt{5} & \text { C. } 1-4 \sqrt{5} & \text { D. } \sqrt{5}-1\end{array}$
Giải:
$3 \sqrt{5}-\sqrt{[1-\sqrt{5}]^{2}}=3 \sqrt{5}-|1-\sqrt{5}|$
$=3 \sqrt{5}-[\sqrt{5}-1]=3 \sqrt{5}-\sqrt{5}+1=2 \sqrt{5}+1$
⇒ Chọn đáp án B.
Bài 4: Kết quả của phép tính $ \sqrt{7-2 \sqrt{10}}-\sqrt{7+2 \sqrt{10}}$ là:
$ \begin{array}{llll}\text { A. } 2 \sqrt{2} & \text { B. }-2 \sqrt{2} & \text { C. } 2 \sqrt{5} & \text { D. }-2 \sqrt{5}\end{array}$
Giải:
$ \sqrt{7-2 \sqrt{10}}-\sqrt{7+2 \sqrt{10}}$
$=\sqrt{5-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}+2}-\sqrt{5+2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}+5}$
$=\sqrt{[\sqrt{5}-\sqrt{2}]^{2}}-\sqrt{[\sqrt{5}+\sqrt{2}]^{2}}$
$=|\sqrt{5}-\sqrt{2}|-|\sqrt{5}+\sqrt{2}|$
$=[\sqrt{5}-\sqrt{2}]-[\sqrt{5}+\sqrt{2}]$
$=-2 \sqrt{2}$
⇒ Chọn đáp án B.
Bài 5: Giá trị biểu thức $ \sqrt{x^{2}+2 \sqrt{x^{2}-1}}-\sqrt{x^{2}-2 \sqrt{x^{2}-1}}$ tại $ x=4$ là:
$ \begin{array}{llll}\text { A. } 2 \sqrt{15} & \text { B. }-2 \sqrt{15} & \text { C. } 2 & \text { D. }-2 .\end{array}$
Giải:
Tại $ x=4$ thì:
$ \sqrt{x^{2}+2 \sqrt{x^{2}-1}}-\sqrt{x^{2}-2 \sqrt{x^{2}-1}}$
$=\sqrt{4^{2}+2 \sqrt{4^{2}-1}}-\sqrt{4^{2}-2 \sqrt{4^{2}-1}}$
$=\sqrt{16+2 \sqrt{15}}-\sqrt{16-2 \sqrt{5}}$
$=\sqrt{15+2 \sqrt{15}+1}-\sqrt{15-2 \sqrt{15}+1}$
$=\sqrt{[\sqrt{15}+1]^{2}}-\sqrt{[\sqrt{15}-1]^{2}}$
$=|\sqrt{15}+1|-|\sqrt{15}-1|$
$=[\sqrt{15}+1]-[\sqrt{15}-1]$
$=2$
⇒ Chọn đáp án C.
Bài 6: Viết các biểu thức sau thành bình phương của biểu thức khác:
$ \begin{array}{lll}\text { a] } 4-2 \sqrt{3} & \text { b] } 7+4 \sqrt{3} & \text { c] } 13-4 \sqrt{3}\end{array}$
Giải:
a] $4-2 \sqrt{3}=3-2 \sqrt{3}+1=[\sqrt{3}-1]^{2}$
b] $7+4 \sqrt{3}=4+2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}+3=[2+\sqrt{3}]^{2}$
c] $13-4 \sqrt{3}=[2 \sqrt{3}]^{2}-2 \cdot 2 \sqrt{3}+1=[2 \sqrt{3}-1]^{2}$
Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức:
a] $A=\sqrt{4.8 .16 .32}$
b] $ \mathrm{B}=\sqrt{\dfrac{3}{15}}: \sqrt{\dfrac{36}{45}}$
c] $C=\sqrt[3]{-0,5} \sqrt[3]{1,25} \cdot \sqrt[3]{\dfrac{16}{10}}$
Giải:
a]
$A=\sqrt{4.8 .16 .32}=\sqrt{2^{2} .2^{3} \cdot 2^{4} \cdot 2^{5}}$
$=\sqrt{2^{14}}=\sqrt{\left[2^{7}\right]^{2}}=2^{7}=128$
b]
$ \mathrm{B}=\sqrt{\dfrac{3}{15}}: \sqrt{\dfrac{36}{45}}=\sqrt{\dfrac{3}{15}: \dfrac{36}{45}}$
$=\sqrt{\dfrac{3}{15} \cdot \dfrac{45}{36}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\left[\dfrac{1}{2}\right]^{2}}=\dfrac{1}{2}$
c]
$C=\sqrt[3]{-0,5} \sqrt[3]{1,25} \sqrt[3]{\dfrac{16}{10}}=\sqrt[3]{[-0,5] \cdot 1,25 \cdot \dfrac{16}{10}}$
$=\sqrt[3]{\dfrac{-1}{2} \cdot \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{16}{10}}=\sqrt[3]{-1}=-1$
Bài 8: Rút gọn các biểu thức:
a] $ \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$
b] $ \sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$
c] $ \dfrac{2}{\sqrt{3}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}+\dfrac{6}{\sqrt{3}+3}$
Giải:
a] $ \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\dfrac{[\sqrt{7}+\sqrt{5}]^{2}+[\sqrt{7}-\sqrt{5}]^{2}}{[\sqrt{7}+\sqrt{5}][\sqrt{7}-\sqrt{5}]}$
$=\dfrac{12+2 \sqrt{35}+12-2 \sqrt{35}}{7-5}$
$=\dfrac{24}{2}=12$
b] $ \sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}=\dfrac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{3-\sqrt{5}}}+\dfrac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{3+\sqrt{5}}}$
$=\dfrac{[\sqrt{3+\sqrt{5}}]^{2}+[\sqrt{3-\sqrt{5}}]^{2}}{\sqrt{3-\sqrt{5} \cdot \sqrt{3+\sqrt{5}}}}$
$=\dfrac{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$
$=\dfrac{6}{2}=3$
c] $ \dfrac{2}{\sqrt{3}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}+\dfrac{6}{\sqrt{3}+3}$
$=\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}+\dfrac{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}[\sqrt{3}+1]}$
$=\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}+\dfrac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$
$=\dfrac{2+2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}$
$=2-\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}$
$=\dfrac{2 \sqrt{3}-4-1}{\sqrt{3}-2}$
$=\dfrac{2 \sqrt{3}-5}{\sqrt{3}-2}$
$=\dfrac{[2 \sqrt{3}-5][\sqrt{3}+2]}{[\sqrt{3}-2][\sqrt{3}+2]}$
$=\dfrac{-4-\sqrt{3}}{-1}=4+\sqrt{3}$
Bài 9: Tính:
a] $ \sqrt{4+2 \sqrt{3}}$
b] $ \sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}$
c] $ \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12 \sqrt{5}}}}$
Giải:
a] $ \sqrt{4+2 \sqrt{3}}=\sqrt{3+2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1+1}=\sqrt{[\sqrt{3}+1]^{2}}=\sqrt{3}+1$
b] $ \sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}=\sqrt{5-\sqrt{13+4 \sqrt{3}}}$
$=\sqrt{5-\sqrt{[2 \sqrt{3}]^{2}+2.2 \sqrt{3}+1}}$
$=\sqrt{5-\sqrt{[2 \sqrt{3}+1]^{2}}}=\sqrt{5-[2 \sqrt{3}+1]}$
$=\sqrt{4-2 \sqrt{3}}$
$=\sqrt{3-2 \sqrt{3}+1}=\sqrt{[\sqrt{3}-1]^{2}}=|\sqrt{3}-1|$
$=\sqrt{3}-1$
$ \sqrt{29-12 \sqrt{5}}=\sqrt{20-2 \cdot 2 \sqrt{5} \cdot 3+9}$
Ta có:
$ \sqrt{29-12 \sqrt{5}}=\sqrt{20-2.2 \sqrt{5} .3+9}$
$=\sqrt{[2 \sqrt{5}-3]^{2}}=|2 \sqrt{5}-3|=2 \sqrt{5}-3$
Do đó:
$ \begin{aligned} \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12 \sqrt{5}}}} &=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-[2 \sqrt{5}-3]}} \\ &=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2 \sqrt{5}}} \\ &=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5-2 \sqrt{5}+1}} \\ &=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{[\sqrt{5}-1]^{2}}} \\ &=\sqrt{{\sqrt{5}-\left| {\sqrt{5}-1} \right|}} \\ &=\sqrt{\sqrt{5}-[\sqrt{5}-1]} \\ &=\sqrt{1}=1 \end{aligned}$
Bài 10: Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{15+\sqrt{60}+\sqrt{140}+\sqrt{84}}$
Giải:
Ta thấy:
$ \sqrt{60}=2 \sqrt{15}=2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}$
$ \sqrt{140}=2 \sqrt{35}=2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{7}$
$ \sqrt{84}=2 \sqrt{21}=2 \sqrt{7} \cdot \sqrt{3}$
Và $15=3+5+7$
Áp dụng hằng đẳng thức:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$A=\sqrt{15+\sqrt{60}+\sqrt{140}+\sqrt{84}}$
$=\sqrt{3+5+7+2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}+2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{7}+2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}$
$=\sqrt{[\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}]^{2}}$
$=\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$