So sánh 2 số trung bình
|
So sánh 2 giá trị trung bình
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (270.24 KB, 15 trang ) BỘ CÔNG THƯƠNG a. Bảng Laplace……………………………………………...12 b. Bảng phân phối Student …………………………………..13 III. NGUỒN KHAM KHẢO ……………………………………..14 3 I. PHẦN CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Các đặc trưng mẫu: 1 k _ Trung bình mẫu: X = ∑ ni xi n i =1 _ Phương sai mẫu Sx2= 1 K ni xi 2 − ( X ) 2 ∑ n i =1 _ Phương sai hiệu chỉnh: S2 = n Sx2 n −1 _ Độ lệch tiêu chuẩn mẫu hiệu chỉnh: S= S 2 1. Bài toán: Giả sử đám đông X và Y có EX= µx, EY= µy. Từ hai mẫu độc lập: (X1,...,Xm) của X và (Y1,...,Yn) của Y với mức ý nghĩa α kiểm định giả thuyết H0: µx=µy Giả sử σx2=VX ; σy2=VY. Khi H0 đúng ta sử dụng tiêu chuẩn kiểm định G trong các trường hợp sau: Trường hợp 1: m>= 30, n>=30,σx,2σy2 biết: X −Y u= σ X2 σ Y2 + m n Trường hợp 2: m>=30, n>=30, σ\x2,σy2 chưa biết: X −Y u= S X 2 m + SY 2 n Trường hợp 3: m và n <=30, X và Y có phân phối chuẩn σx2,σy2 biết: X −Y u= σ X 2 σ Y 2 + m n Trường hợp 4: m và n < 30, X và Y có phân phối chuẩn σx2,σy2 chưa biết: X −Y u= S 2 S2 + m n ở đây Sx2, Sy2 là phương sai mẫu tương ứng của X, Y: (m − 1) S X 2 + (n − 1) SY 2 S= m+n−2 2 4 2. Quy tắc thực hành: cho hai mẫu (x1,...,xn), (y1,...,yn) Với đối thuyết về hai phía: H1:µx≠µy. 1.m,n>=30, σx2,σy2 biết 2 2 X , Y ,Sx ,Sy X −Y X ,Y X −Y u= 2. m,n >= 30, σx2,σy2 chưa biết σX σ + Y m n 1−α α→ tra bảng 2 hàm laplace →tα 2 u > tα: bác bỏ H0, chấp nhận H1 u= Ngược lại chấp nhận H0 Ngược lại chấp nhận H0 2 2 2 2 SX S + Y m n 1−α α→ tra bảng 2 hàm laplace →tα 2 u > tα: bác bỏ H0, chấp nhận H1 3.m,n <=30, X,Y chuẩn σx2,σy2 biết: 4. m,n<=30,X,Y chuẩn σx2=σy2 chưa biết Tương tự trường hợp 1 2 2 X , Y ,Sx ,Sy (m − 1) S X 2 + (n − 1) SY 2 S2 = m+n−2 X −Y u= S 2 m + S2 n α→tra bảng phân phối Student→ t(m+n-2,α)= t u >t: Bác bỏ H0, chấp nhận H1 Ngược lại chấp nhận H0 3. Chú ý: _Quy tắc thực hành cho (3) khi m,n<30, X và Y có phân phối chuẩn σx2≠σy2 đều chưa biết: với H1:ux≠uy: X −Y u= S 2 m V1= SX 2 m + S 2 ; α→tra bảng phân phối student t1=t(m-1,α/2); t2=t(n-1,α/2) n t1V1 + t2V2 S 2 V2= Y t= → u >t: Bác bỏ H0, chấp nhận H1. V1 + V2 n Ngược lại chấp nhận H0 . II. PHẦN BÀI TẬP ÁP DỤNG: 5 1. Người ta cho hai nhóm học sinh, theo thứ tự, đại diện cho hai trường A và B, làm một bài kiểm tra. Nhóm thứ nhất gồm 40 học sinh, có điểm trung bình 7,4; nhóm thứ hai gồm 50 học sinh, có điểm trung bình 7,8. Dựa vào mẫu trên, có thể kết luận rằng: Điểm trung bình của trường B tốt hơn điểm trung bình của trường A không? (kết luận ở mức ý nghĩa 4%). Biết rằng điểm số của mỗi học sinh của hai trường A và B có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn, theo thứ tự là 0,8 và 0,7. Giải: Gọi X, Y lần lượt là điểm số của mỗi học sinh của hai trường A, B thì X ~ N(µx, (0,8)2 ) và Y~ N(µy, (0,7)2 ). Đặt: H0: µx=µy H1: µx≠µy Ta có m= 40, n= 50 , X = 7, 4 ; Y = 7,8 ; σx2 = 0,82 ,σy2 = 0,72 Ta áp dụng công thức trường hợp 1: u= X −Y σ X2 σ Y2 + m n = với α = 0.04 → 7, 4 − 7,8 0,82 0, 7 2 + 40 50 = −2, 49 1−α 2 = 0,48→ tα= 2,06 u = 2, 49 > 2,06 Vậy bác bỏ H0, chấp nhận H1 Điểm trung bình của trường B thực sự tốt hơn trường A. 2. So sánh hai phương pháp dạy môn xác xuất thống kê, phương pháp xác xuất thống kê, phương pháp A không thực hành, phương pháp B có thực hành kết quả thi của 100 sinh viên theo mỗi phương pháp như sau: Điể 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m A 1 3 5 11 20 24 20 12 4 1 B 0 1 4 7 14 20 28 16 6 4 Với mức ý nghĩa 5%, có nhận xét gì về sự khác nhau của hai phương pháp dạy trên. Có thể coi phương pháp dạy môn thống kê có thực hành tốt hơn hay không? 6 Giải: Gọi X,Y là khả năng thi đạt kết quả của phương pháp A và phương pháp B. Đặt: H0: µx=µy H1: µx≠µy Ta có m,n>30, σx2,σy2 chưa biết ta áp dụng công thức trường hợp thứ hai: 1 k 1 k Ta có: X = ∑ mi xi = 5,86 Y = ∑ ni xi = 6,5 m i =1 n i =1 Sx=1.732 Sy=3,465 X −Y u= S X 2 + 2 SY =2,473 n m 1−α α=0.05→ =0,475→ tα=1,96 2 Vậy bác bỏ H0, chấp nhận H1 Phương pháp B có hiệu quả hơn phương pháp A. 3. Trọng lượng của một loại sản phẩm tuân theo phân phối chuần. Quan sát số sản phẩm do máy I và máy II sản xuất ta thu được số liệu tương ứng sau: Số sản phẩm Máy I Máy II Trọng lượng (g) 9 9.5 2 4 1 4 10 7 6 10.5 2 3 Với mức ý nghĩa 5%, phải chăng trọng lượng trung bình của sản phẩm do hai máy là khác nhau? Giải: Gọi X, Y là trọng lượng trung bình của sản phẩm do hai máy. Đặt: H0: µx=µy H1: µx≠µy Ta có m,n<30, σx2,σy2 chưa biết ta áp dụng công thức trường hợp thứ tư: m=15 n=14 1 k 1 k m x Ta có: X = ∑ i i = 9,8 Y = ∑ ni xi = 9,89 m i =1 n i =1 Sx=0,455 Sy=0,446 S2= (m − 1) S X 2 + (n − 1) SY 2 =0,203 m+n−2 7 X −Y u= S 2 m + S 2 = -0,538 n α=0.05→ t(m+n-2,α)=2,052 Vậy chấp nhận H0, bác bỏ H1 Vậy trọng lượng trung bình sản phẩm của máy I và máy II không khác nhau. 4. Giám đốc một hãng sản xuất thép muốn xát định xem có sự khác biệt năng suất giữa ca ngày và ca tối không. Một mẫu 100 công nhân ca ngày sản xuất được X = 74,3 với độ lệch tiêu chuẩn S 1=16; một mẫu khác 100 công nhân ca tối sản xuất được Y =69,7 với S2=18 ,với mức ý nghĩa 0.1, hãy xem có sự khác biệt giữa năng suất giữa hai ca không? Giải: Gọi X,Y là số phần/ giờ của mỗi công nhân làm ca sáng và ca tối. Đặt: H0: µx=µy H1: µx≠µy Do m,n>30, áp dụng trường hợp 2: X −Y u= S X 2 S =1,91 + Y m n 1−α α=0.1→ =0.45→ tα=1,65 2 u > tα: bác bỏ H0, chấp nhận H1. 2 Vậy với mức ý nghĩa 0,1 thì có sự khác nhau giữa ca sáng và ca tối. 5. Giám đốc của một công ty thực phẩm muốn xát định liệu một kiểu đóng gói mới có làm tăng sản lượng hàng bán được hay không. Một mẫu gồm 30 quầy tương đương nhau, chọn ngẫu nhiên 15 quầy bán hàng theo gói mới, còn 15 quầy khác bán hàng theo gói cũ và tính được lượng hàng bán được trong thời gian nghiên cứu: _ loại gói mới: X = 130 hộp với s1=10 _loại gói cũ: Y =170 hộp với s2=12 Với mức ý nghĩa 5% hãy xem kiểu đóng gói mới có làm tăng sản lượng bán hàng không? Giả sử lượng hàng hóa bán được có cùng phương sai chuẩn. Giải Gọi X,Y là lượng hàng trung bình bán được của loại gói mới và gói cũ. 8 Đặt: H0: µx=µy H1: µx>µy m,n<30 ta dùng trường hợp thứ tư: (m − 1) S X 2 + (n − 1) SY 2 S= =122 m+n−2 2 X −Y u= S 2 m + S 2 =3,223 n α=0,05→t(28,0.05)=2,048 Vậy bác bỏ H0, chấp nhận H1 Với mức ý nghĩa 5% kiểu đóng gói mới làm tăng sản lượng hàng bán. 6. Kết quả chuẩn hóa dng dịch HCl theo hai chất gốc sau: (1) Theo Na2CO3 (mol/L): 0,1250 0,1248 0,1252 0,1254 (2) Theo Na2B4O7.10H2O (mol/L): 0,1254 0,1258 0,1253 0,1255 Hãy so sánh giá trị trung bình của 2 dãy kết quả trên, biết mức ý nghĩa α=95%. Giải: Gọi X,Y là giá trị trung bình của nồng độ mol hai chất trên. Đặt: H0: µx=µy H1: µx≠µy m,n<30 ta dùng trường hợp thứ tư: Theo công thức ta tính được: 1 k 1 k n x X = ∑ i i = 0,1251 Y = ∑ ni xi =0,1255 m i =1 n i =1 Sx= 2,58.10-4 S2= Sy= 2,16.10-4 (m − 1) S X 2 + (n − 1) SY 2 = 5,661.10-8 m+n−2 X −Y u= S 2 m + S 2 = -2,378 n Tra bảng Student Do u <→ Bác bỏ H1, nhận H0 Vậy hai giá trị trung bình trên giống nhau. 9 7. Người ta phát hiện một ít tóc trong tay nạn nhân của một vụ án mạng. Việc phân tích hàm lượng kẽm trong tóc bằng phương pháp hấp thụ phân tử ở tay nạn nhân với tóc người phục vụ bị nghi vấn có kết quả như sau: Tóc người phục vụ, %Zn: 250 265 258 268 ppm Tóc trong tay nạn nhân,%Zn: 234 245 249 242 237 ppm Có thể khẳng định người phục vụ nằm trong viện nghi vấn không? Giải: Gọi X,Y lần lượt là hàm lượng kẽm trong tóc của nạn nhân và tóc của người phục vụ. Đặt: H0: µx = µy H1: µx ≠ µy m,n<30 ta dùng trường hợp thứ tư: Theo công thức ta tính được: 1 k 1 k n x X = ∑ i i = 241,4 Y = ∑ ni xi = 260,25 m i =1 n i =1 Sx=6,025 S2= Sy= 8,106 (m − 1) S X + (n − 1) SY 2 = 48,282 m+n−2 2 X −Y u= S 2 S 2 = 4,044 + m n Tra bảng Student Do u = 4,044 > → bác bỏ H0, chấp nhận H1 Người phục vụ nằm trong viện nghi vấn. 8. Điều tra năng suất của 8 thửa ruộng trồng giống lúa A và năng suất của 10 thửa ruộng trồng giống lúa B với cùng một điều kiện canh tác ta có kết quả sau: X 40 38 40 42 44 41 36 39 Y 41 44 38 42 40 45 39 37 43 41 Biết rằng X∼N( µ x ;σ 2), Y∼N(µ y ; σ 2). Với mức ý nghĩa α = 0,05. Hãy xem có sự khác biệt giữa năng suất của 2 thửa ruộng không? 10 Giải Gọi: X, Y là năng suất trồng được giống lúa A và giống lúa B. Đặt: H0: µx = µy H1: µx # µy Ta có: m, n<30, σx2,σy2 chưa biết. Ta áp dụng công thức trường hợp thứ tư: m=8 n=10 Ta có: X = S = 2 u= 1 k 1 k 42 m x = 40 Y = ni xi = 41 , S X2 = = 6 , SY2 = 6, 66 7 , ∑ ∑ i i m i =1 n i =1 7 (m − 1) S x 2 + (n − 1) S y 2 m+n−2 S = 2,52 = 6,375 , X −Y 1 = = 0,835 1 1 1 1 S + 2,52 + m n 8 10 t(16;0,05) = 2,12 ; u = 0,835< t (16;0.05) = 2,12. ⇒ Chấp nhận H0 Vậy cùng điều kiện canh tác, năng suất trồng được giống lúa A và B là bằng nhau 9. Trong một công ty sản xuất bóng đèn, người ta muốn kiểm tra sự làm việc của hai phân xưởng A và B. Một mẫu gồm m = 10 bóng đèn của phân xưởng A cho tuổi thọ trung bình 4000 giờ với độ lệch chuẩn 200 giờ. Một mẫu gồm n = 8 bóng đèn của phân xưởng B cho tuổi thọ trung bình 4300 giờ với độ lệch chuẩn 250 giờ. Biết rằng tuổi thọ của mỗi bóng đèn của hai phân xưởng A và B, theo thứ tự, tuân theo luật phân phối chuẩn có cùng phương sai. Hãy cho kết luận về sự khác nhau giữa tuổi thọ trung bình của hai loại bóng đèn trên ở mức ý nghĩa 1%. Giải Gọi X và Y là tuổi thọ trung bình của bóng đèn của phân xưởng A và B. Đặt: H0: µx = µy H1: µx ≠ µy Ta có: m, n<30, σx2,σy2 chưa biết. Ta áp dụng công thức trường hợp thứ tư: m = 10 n = 8 Ta có: X = 4000 , Y = 4300 , S X = 200, SY = 250 S2 = (m − 1) S x 2 + (n − 1) S y 2 m+n−2 = 9.200 2 + 7.2502 = 49843, 75 , 10 + 8 − 2 11 S = 223, 26 u= X −Y = −2.832 1 1 S + m n t(16;0,01) = 2,921 ; u = 2,832 < t(16;0,01) = 2,921. ⇒ Chấp nhận giả thuyết H0. Vậy 2 phân xưởng A, B làm việc như nhau. 10. Hai máy cùng gia công một loại chi tiết. Để kiểm tra độ chính xác của hai máy người ta lấy ngẫu nhiên mỗi máy 7 chi tiết và đo được kết quả: Máy 1 135 138 136 140 138 135 139 Máy 2 140 135 140 138 135 138 140 Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng chất lượng sản phẩm của hai máy có như nhau không? Giải Gọi X, Y lần lượt là độ chính xác của máy 1 và máy 2 Đặt: H0: µx=µy H1: µx≠µy Ta có: m,n<30 ta sử dụng trường hợp 4: 1 k 1 k n x X = ∑ i i = 137,28 Y = ∑ ni xi =138 m i =1 n i =1 Sx=1,976 Sy=2,236 m − 1) S X 2 + (n − 1) SY 2 ( u= = 4,452 m+n−2 t(12;0,05)= 2,217 u >t Bác bỏ H0, chấp nhận H1 . Vậy độ chính xác của hai máy là khác nhau. 11. Để so sánh thời gian sản xuất ra 1 sản phẩm của hai máy (đơn vị là giây) người ta điều tra và ghi lại kết quả: Máy 1 58 58 56 38 70 38 42 75 68 67 Máy 2 57 55 63 24 67 43 33 68 56 54 Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng máy 2 tốt hơn máy 1 không. Giả sử độ lệch chuẩn thời gian sản xuất mỗi sản phẩm hai máy là như nhau và có phân phối chuẩn. Giải Gọi X và Y lần lượt là thời gian sản xuất của máy 2 và máy 1 Đặt: H0: µx = µy 12 H1: µx < µy Ta có: m, n<30, σx2,σy2 chưa biết. Ta áp dụng công thức trường hợp thứ tư: 1 k 1 k X = ∑ ni xi = 57 Y = ∑ ni xi =52 m i =1 n i =1 u= Sx=13,597 Sy=14,461 ( m − 1) S X 2 + (n − 1) SY 2 = 196,999 m+n−2 t(18;0,05)= 2,101 u >t Bác bỏ H0, chấp nhận H1 Vậy máy 2 làm việc tốt hơn máy 1. CÁC BẢNG TRA Bảng 2: Phân phối chuẩn hoá (Hàm Laplace) zo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.0000 0.0398 0.0793 0.1179 0.1554 0.1915 0.2257 0.2580 0.2881 0.3159 0.01 0.0040 0.0438 0.0832 0.1217 0.1591 0.1950 0.2291 0.2611 0.2910 0.3186 0.02 0.0080 0.0478 0.0871 0.1255 0.1628 0.1985 0.2324 0.2642 0.2939 0.3212 0.03 0.0120 0.0517 0.0910 0.1293 0.1664 0.2019 0.2357 0.2673 0.2967 0.3238 0.04 0.0160 0.0557 0.0948 0.1331 0.1700 0.2054 0.2389 0.2704 0.2995 0.3264 0.05 0.0199 0.0596 0.0987 0.1368 0.1736 0.2088 0.2422 0.2734 0.3023 0.3289 0.06 0.0239 0.0636 0.1026 0.1406 0.1772 0.2123 0.2454 0.2764 0.3051 0.3315 0.07 0.0279 0.0675 0.1064 0.1443 0.1808 0.2157 0.2486 0.2794 0.3078 0.3340 0.08 0.0319 0.0714 0.1103 0.1480 0.1844 0.2190 0.2517 0.2823 0.3106 0.3365 0.09 0.0359 0.0753 0.1141 0.1517 0.1879 0.2224 0.2549 0.2852 0.3133 0.3389 1.0 1.1 1.2 1.3 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032 0.3438 0.3665 0.3869 0.4049 0.3461 0.3686 0.3888 0.4066 0.3485 0.3708 0.3907 0.4082 0.3508 0.3729 0.3925 0.4099 0.3531 0.3749 0.3944 0.4115 0.3554 0.3770 0.3962 0.4131 0.3577 0.3790 0.3980 0.4147 0.3599 0.3810 0.3997 0.4162 0.3621 0.3830 0.4015 0.4177 13 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.4192 0.4332 0.4452 0.4554 0.4641 0.4713 0.4207 0.4345 0.4463 0.4564 0.4649 0.4719 0.4222 0.4357 0.4474 0.4573 0.4656 0.4726 0.4236 0.4370 0.4484 0.4582 0.4664 0.4732 0.4251 0.4382 0.4495 0.4591 0.4671 0.4738 0.4265 0.4394 0.4505 0.4599 0.4678 0.4744 0.4279 0.4406 0.4515 0.4608 0.4686 0.4750 0.4292 0.4418 0.4525 0.4616 0.4693 0.4756 0.4306 0.4429 0.4535 0.4625 0.4699 0.4761 0.4319 0.4441 0.4545 0.4633 0.4706 0.4767 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 0.4772 0.4821 0.4861 0.4893 0.4918 0.4938 0.4953 0.4965 0.4974 0.4981 0.4987 0.4778 0.4826 0.4864 0.4896 0.4920 0.4940 0.4955 0.4966 0.4975 0.4982 0.4987 0.4783 0.4830 0.4868 0.4898 0.4922 0.4941 0.4956 0.4967 0.4976 0.4982 0.4987 0.4788 0.4834 0.4871 0.4901 0.4925 0.4943 0.4957 0.4968 0.4977 0.4983 0.4988 0.4793 0.4838 0.4875 0.4904 0.4927 0.4945 0.4959 0.4969 0.4977 0.4984 0.4988 0.4798 0.4842 0.4878 0.4906 0.4929 0.4946 0.4960 0.4970 0.4978 0.4984 0.4989 0.4803 0.4846 0.4881 0.4909 0.4931 0.4948 0.4961 0.4971 0.4979 0.4985 0.4989 0.4808 0.4850 0.4884 0.4911 0.4932 0.4949 0.4962 0.4972 0.4979 0.4985 0.4989 0.4812 0.4854 0.4887 0.4913 0.4934 0.4951 0.4963 0.4973 0.4980 0.4986 0.4990 0.4817 0.4857 0.4890 0.4916 0.4936 0.4952 0.4964 0.4974 0.4981 0.4986 0.4990 BẢNG 3: PHÂN PHỐI STUDENT Bậc tự do 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 t0.10 0.1 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 t0.05 0.05 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 t0.025 0.025 25.452 6.205 4.177 3.495 3.163 2.969 2.841 2.752 2.685 2.634 2.593 2.560 2.533 2.510 2.490 2.473 2.458 2.445 2.433 14 t0.01 0.01 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 t0.005 0.005 127.321 14.089 7.453 5.598 4.773 4.317 4.029 3.833 3.690 3.581 3.497 3.428 3.372 3.326 3.286 3.252 3.222 3.197 3.174 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 1000000 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 1.684 1.671 1.658 1.645 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 2.021 2.000 1.980 1.960 2.423 2.414 2.405 2.398 2.391 2.385 2.379 2.373 2.368 2.364 2.360 2.329 2.299 2.270 2.241 III. Nguồn tham khảo Bài tập Xác xuất thống kê_ Dương Hoàng Kiệt Xác xuất thống kê và ứng dụng_ Lê Sỹ Đồng 15 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 2.704 2.660 2.617 2.576 3.153 3.135 3.119 3.104 3.091 3.078 3.067 3.057 3.047 3.038 3.030 2.971 2.915 2.860 2.807 |
