Giáo án Số học 6 bài 10: So sánh phân số được VnDoc sưu tầm và giới thiệu để có thể chuẩn bị giáo án và bài giảng hiệu quả, giúp quý thầy cô tiết kiệm thời gian và công sức làm việc. Giáo án môn Toán 6 này được soạn phù hợp quy định Bộ Giáo dục và nội dung súc tích giúp học sinh dễ dàng hiểu bài học hơn.
Giáo án Số học 6 bài 8: Quy đồng mẫu nhiều phân số
Giáo án Số học 6 chương 3 bài 9: Luyện tập
Giáo án Số học 6 bài 11: So sánh phân số
- MỤC TIÊU BÀI HỌC:
1. Kiến thức: HS hiểu và vận dụng được qui tắc so sánh hai phân số cùng mẫu và không cùng mẫu, nhận biết được phân số âm, dương.
2. Kỹ năng: Có kĩ năng viết các phân số đ cho dưới dạng các phân số có cùng mẫu dương để so sánh phân số.
3. Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận khoa học trong giải toán
II. CHUẨN BỊ TÀI LIỆU-TBDH:
1. Chuẩn bị của thầy: SGK, SGV, tài liệu tham khảo, thước thẳng.
2. Chuẩn bị của trò: ĐDHT, SGK, phiếu học tập.
III. TIẾN TRÌNH HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức:
2. Kiểm tra bài cũ:
Nêu quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số?
3. Bài mới
Hoạt động của thầy - trò
Nội dung kiến thức cần đạt
Hoạt động 1: Tìm hiểu cách so sánh hai phân số cùng mẫu
GV: Ở tiểu học các em đã được học quy tắc so sánh 2 phân số cùng mẫu [tử và mẫu đều là số tự nhiên], em nào có thể nhắc lại cho cô quy tắc đó?
HS: Với các phân số có cùng mẫu nhưng tử và mẫu đều là só tự nhiên, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
GV: Hãy lấy một số ví dụ minh họa.
?Nhắc lại quy tắc so sánh 2 số nguyên?
HS: và nhắc lại quy tắc
GV: So sánh –7 & 3 ; -5 & -9.
HS: –7 < 3; -5 > -9
GV: Vậy em nào có thể sosánh các phân số sau:
GV: nhận xét và nhấn mạnh :khi so sánh các phân số với nhau ta đưa các phân số đó về mẫu dương
HS: So sánh và GV ghi trên bảng
GV: Gọi 2-3 hs đọc quy tắc
HS: đọc quy tắc.
GV: Yêu cầu HS làm ?1
HS: làm ?1 vào vở , 2 hs lên bảng làm.
GV: Vậy khi so sánh 2 phân số cùng mẫu ta cần lưu ý điều gì?
HS: +Đưa các phân số về cùng mẫu dương .
+So sánh tử các phân số đó
Hoạt động 2: So sánh hai phân số không cùng mẫu.
GV: hãy so sánh phân số
HS: lên bảng làm, các hs khác làm vào vở và nhận xét bài của bạn
GV: Hãy nêu cách so sánh 2 phân số trên và rút ra quy tắc So sánh hai phân số không cùng mẫu?
HS: +Đưa các phân số về cùng 1 mẫu dương .
+So sánh tử các phân số đó
GV: chốt lại và nêu quy tắc.
GV: Cho hs hoạt động nhóm ?2 và ?3
HS: hoạt động nhóm
HS: lên bảng làm
GV: Các phân số ntn thì lớn hơn 0?Bé hơn 0?
HS: Nếu tử và mẫu của phân số cùng dấu thì phân số lớn hơn 0. Nếu tử và mẫu của phân số khác dấu thì phân số nhỏ hơn 0
Trên đây là bài tổng hợp kiến thức toán lớp 4 nhằm giúp các em ôn tập, củng cố kiến thức phục vụ cho học toán lớp 5. Các em tham gia thêm khóa học toán online của vuihoc.vn để biết nhiều kiến thức hay nhé.
Trong Chương 3, ta biết rằng phép trừ hai số tự nhiên không phải lúc nào cũng thực hiện được. Thực vậy, phép trừ mn − có nghĩa là từ điểm m trên trục số ta tiến về trái n bước. Tuy nhiên, trục số bắt đầu bởi 0, nếu ta bắt đầu từ điểm 3 thì chỉ có thể tiến về trái tối đa 3 bước đến vị trí của số 0 và không thể tiến thêm được nữa. Nếu ta muốn tiến về trái 4 bước thì phải làm sao? Nói cách khác, phép trừ 34 − không thể thực hiện được trên tập hợp số tự nhiên.
Một cách tổng quát, trong tập hợp số tự nhiên, phép trừ hai số tự nhiên mn − chỉ có thể thực hiện được khi mn . Tuy nhiên, thực tiễn đòi hỏi phải thực hiện phép trừ mn − khi mn . Chẳng hạn, trong kinh tế:
Hiệu quả kinh doanh = Doanh thu – Chi phí. Vấn đề ở đây là: nếu “Doanh thu < Chi phí” thì làm sao thực hiện được phép trừ này để xác định được hiệu quả kinh doanh?
Để đáp ứng nhu cầu đấy, người ta mở rộng tập hợp số tự nhiên thành một tập hợp số mới mà trong tập hợp số đó, phép trừ có thể thực hiện được một cách tùy ý. Điểm mấu chốt của vấn đề mở rộng ở đây là ta cần phải bổ sung thêm vào một loại số được coi xem như là “hiệu mn − khi mn ”, mà trong thực tiễn thường được xem như là số tiền thua lỗ trong kinh doanh hoặc “tiền âm phủ”. Loại số mới này gọi là các số âm và tập hợp số mới được hình thành đó được gọi là tập hợp số nguyên.
4.1 Số nguyên dương và số nguyên âm
Trên tập hợp các số tự nhiên khác 0, ta cho tương ứng mỗi n với một số mới ký hiệu là − n mà được gọi là số đối của n. Chẳng hạn, số đối của 2 và 5 lần lượt là − 2 và − 5. Riêng số 0 thì đối của nó là chính nó: −= 00.
Ta bổ sung tất cả số đối của các số tự nhiên khác 0 vào và thu được tập hợp số mới ký hiệu là. Theo ngôn ngữ tập hợp, ta có: = − − − { , nn , , 2, 1} {0} {1, 2, , , }.
Số nguyên. Tập hợp được gọi là tập hợp số nguyên và mỗi phần tử của được gọi là một số nguyên. Thêm nữa, ta cũng gọi: - −= − − − { 1, 2, 3, } là tập số nguyên âm và mỗi phần tử của nó là một số nguyên âm. - +={1, 2, 3, } là tập số nguyên dương và mỗi phần tử của nó là một số nguyên dương. Rõ ràng +=. Số 0 không phải là số nguyên dương cũng không phải là số nguyên âm.
Theo cách xây dựng, ta thấy là tập hợp con của. Bởi vậy, mỗi số tự nhiên cũng là một số nguyên: hoặc là 0 hoặc là số nguyên dương. Nếu sử dụng giản đồ Venn thì chứa hoàn toàn trong như trong Hình 4. Vì ta đã “nới rộng” vòng tròn để được vòng tròn nên cách xây dựng từ ở trên còn gọi là sự mở rộng [Extension].
Hình 4: Giản đồ Venn thể hiện . Số nguyên được sử dụng rất phong phú trong cuộc sống. Số nguyên dương và số nguyên âm trong thực tiễn được gọi là số dương và số âm, biểu thị cho sự đối lập nhau qua một vị trí nhất định. Chúng thực sự rất hữu ích mỗi khi ta muốn đếm về cả hai phía của một điểm tham chiếu cố định: các số dương chỉ ra một hướng còn các số âm cho biết sự thay đổi diễn ra theo chiều hướng ngược lại. Dưới đây là một số ứng dụng thường gặp.
- Nhiệt độ. Đo nhiệt độ là một cách sử dụng quen thuộc của số dương và số âm. Điểm tham chiếu cố định trên nhiệt kế là 0 oC , nhiệt độ đóng băng của nước. Nhiệt độ trên 0 biểu thị bởi số dương và nhiệt độ dưới 0 biểu thị bởi số âm. Chẳng hạn, nhiệt độ 10 dưới 0 sẽ ghi là − 10 oC , đọc là “âm mười độ C”; nhiệt độ 20 trên 0 sẽ ghi là 20 oC , đọc là “hai mươi độ C”. Một cái tủ lạnh thường có hai ngăn: ngăn mát với nhiệt độ khoảng 0 oC đến 4 oC và ngăn đông [để tạo nước đá] có nhiệt độ khoảng − 18 oC đến 0 oC.
- Thể thao. Trong thể thao, số dương và âm rất thuận tiện khi sử dụng để biểu thị số điểm đạt được từ một điểm tham chiếu cố định. Trong môn gôn, điểm tham chiếu này là số gậy chuẩn [Par]. Điểm trong môn gôn được tính bằng số gậy [kể từ gậy phát bóng đến gậy cuối cùng đưa bóng vào lỗ] trừ đi số gậy chuẩn, và số gậy càng ít càng tốt. Tùy theo sân gôn có bao nhiêu lỗ mà số gậy chuẩn khác nhau, chẳng hạn, sân gôn 18 lỗ thì tổng số gậy chuẩn là 72. Điểm số − 4 biểu thị cho bốn gậy dưới số gậy chuẩn , nghĩa là người chơi có thành tích tốt. Trong một số môn thể thao thiên về tính điểm cũng thường biểu diễn điểm số bởi số dương và số âm theo một phương thức tương tự nhưng có sự khác biệt ở mỗi môn.
- Thời gian. Các nhà khoa học thường chỉ định một thời điểm cố định là thời gian không , sau đó quy thời gian trước và thời gian sau thời điểm cố định đó lần lượt là số âm và số dương. Người ta thường áp dụng mô hình này trong việc phóng tên lửa. Nếu thời gian phóng là – 1 5 phút có nghĩa là 15 phút trước khi phóng tên lửa.
- Độ cao. Mực nước biển là điểm tham chiếu cố định để đo độ cao, tức là độ cao 0. Các bản đồ sẽ ghi độ cao dưới và trên mực nước biển bằng cách sử
Hình 4: Các mô hình đồng xu của − 2.
4.1 Phép toán trên số nguyên
Phép cộng
Ta có thể sử dụng mô hình thêm vào để tính tổng của các số nguyên bằng cách lấy hợp của các tập hợp đồng xu đen và đỏ. Theo đó, phép cộng [ 3] 2−+ có
thể được minh họa như Hình 4. Ban đầu, ta có − 3 ứng với tập hợp 3 đồng xu đỏ. Sau đó, thêm vào 2 ứng với tập hợp 2 đồng xu đen. Gộp cả hai tập hợp với nhau, tức là lấy hợp của chúng, ta được tập hợp chứa 3 đồng xu đỏ và 2 đồng xu đen. Vì 2 trong 3 đồng xu đỏ ban đầu triệt tiêu với 2 đồng xu đen được thêm vào nên tập hợp kết quả đại diện cho − 1. Từ đó, ta có [ 3] 2− + = − 1.
Hình 4: Mô hình đồng xu của [ 3] 2− + = − 1. Trục số có thể sử dụng để thực hiện phép cộng hai số nguyên bằng cách di chuyển sang trái hoặc sang phải tùy theo các số hạng là dương hay âm như Hình 4. Để tính tổng 4 [ 7]+−, ta xuất phát từ 0 trên trục số, di chuyển sang phải 4
bước [ứng với 4], sau đó di chuyển sang trái 7 bước [ứng với − 7 ]. Vì dừng ở − 3 nên 4 [ 7]+ − = − 3.
Hình 4: Mô hình trục số của tổng 4 [ 7]+ − = − 3. Cả hai mô hình ở trên đều rất thích hợp để xác định dấu của phép cộng các số nguyên. Đối với mô hình đồng xu, tổng sẽ là số dương hay số âm phụ thuộc vào tập hợp kết quả có nhiều đồng xu đen hơn hay nhiều đồng xu đỏ hơn. Đối với trục số, tổng là số dương/số âm nếu số bước di chuyển sang phải lớn hơn/nhỏ hơn số bước di chuyển sang trái. Ta có thể tổng kết như sau:
Quy tắc dấu của tổng. Với các số nguyên dương a và b : 1. Tổng của các số âm là số âm: − + − = − + a [ b ] [ a b ]. 2. Nếu ab thì số dương cộng số âm là số dương: a + − = −[] b a b. 3. Nếu ab thì số dương cộng số âm là số âm: a + − = − −[ b ] [ b a ].
Ví dụ 4.
- [ 3] [ 7]− + − = − + = −[3 7] 10.
- 13 [ 5] 13 5 8.+ − = − =
- 6 [ 11]+ − = − − = −[11 6] 5.
Phép trừ
Để trừ các số nguyên, ta kết hợp mô hình lấy bớt đi [Take-away Model] với mô hình đồng xu đen và đỏ. Trong Hình 4, để thực hiện phép trừ [ 5] [ 3]− − − , ta biểu diễn − 5 bởi tập hợp 5 đồng xu đỏ, sau đó lấy đi 3 đồng xu đỏ
ứng với − 3. Vì còn lại 2 đồng xu đỏ nên [ 5] [ 3]− − − = − 2.
Hình 4: Mô hình của phép trừ các số nguyên. Tương tự, để thực hiện phép trừ [ 5] 3−−, ta biểu thị − 5 bởi tập hợp có 8
đồng xu đỏ với 3 đồng xu đen, sau đó lấy đi 3 đồng xu đen ứng với − 3. Vì còn lại 8 đồng xu đỏ nên [ 5] 3− − = − 8. Sự kết hợp của các mô hình ở trên cho phép ta
có thể trừ một số nhỏ cho một số lớn hơn nó, chẳng hạn 35 −. Trong Hình 4, ta biểu thị 3 bởi tập hợp gồm 5 đồng xu đen và 2 đồng xu đỏ, sau đó lấy đi 5 đồng xu đen ứng với − 5. Vì còn lại 2 đồng xu đỏ nên 3 5− = − 2.
Hình 4: Mô hình của hiệu 3 5− = − 2. Chẳng hạn, trong Hình 4, thay vì lấy đi 5 đồng xu đen, ta thêm vào 5 đồng xu đỏ như trong Hình 4. Vì 5 đồng xu đen đã có triệt tiêu với 5 đồng xu đỏ thêm vào nên tập hợp cuối cùng vẫn đại diện cho − 2. Nói cách khác, thêm vào 5 đồng xu đỏ có tác dụng tương tự như lấy đi 5 đồng xu đen. Ý tưởng đó rất
Hình 4: Mô hình của kỹ thuật cộng với đối: 3 5 3− = + − = −[ ] 5 2.
thực tế: ta bị tin tặc [hacker] tấn công tài khoản ngân hàng và cướp đi 5 đồng [mất đi 5 đồng xu đen] thì cũng chẳng khác gì nợ thêm 5 đồng [thêm vào 5 đồng xu đỏ]. Điều đó ngụ ý rằng trừ cho 5 giống như cộng với số đối − 2 của nó.
Hình 4: Mô hình đồng xu của tích 4 [ 3] − = − 12. Bây giờ, ta xét phép nhân [ 4] [ 2]− −. Trong trường hợp này, a =− 4 là số
âm nên biểu thị cho 4 lần lấy bớt đi, còn b =− 2 cũng là số âm sẽ biểu thị bởi tập hợp 2 đồng xu đỏ. Trước tiên, ta biểu diễn diễn số 0 bởi tập hợp 8 đồng xu đen và 8 đồng xu đỏ như trong Hình 4. Trong tình huống này, ta không nên biểu diễn 0 bởi tập hợp không có đồng xu bởi vì biểu diễn như vậy thì chẳng có đồng xu nào để lấy đi cả! Khi đó, [ 4] [ 2]− − thể hiện quá trình lấy bớt đi 4 lần, mỗi lần
lấy đi 2 đồng xu đỏ. Vì tập hợp còn lại 8 đồng xu đen ứng với 8 nên [ 4] [ 2] 8− − =.
Hình 4: Mô hình đồng xu của tích [ 4] [ 2] 8− − =.
Ví dụ 4.
- 5 [ 2] − = − = −[5 2] 10;
- [ 7] 3− = − = −[7 3] 21;
- [ 4] [ 5] 4 5 20− − = =.
Phép chia
Phép chia thực chất là phép toán ngược của phép nhân. Định nghĩa của phép chia trên như sau:
Quy tắc dấu của tích. Cho các số nguyên dương a và b. Khi đó: 1. Tích của số dương với số âm là số âm: a − = − [ b ] [ a b ]. 2. Tích của số âm với số dương là số âm: [− = − a ] b [ a b ]. 3. Tích của hai số âm là số dương: [− − = a ] [ b ] a b.
Phép chia các số nguyên. Với các số nguyên a và b 0 a b = = k a b k với k là số nguyên nào đó.
Định nghĩa trên cho thấy: để thực hiện phép chia ab , cần tìm k mà a = b k. Nếu không tìm được k thì sao? Chẳng hạn, nếu a = 5 và b =− 2 thì không thể tìm được k để [ 2]− = k 5. Nói cách khác, phép chia trên không
phải lúc nào cũng thực hiện được! Phải làm thế nào để chia được? Câu trả lời là động lực thúc đẩy người ta mở rộng thành tập hợp số mới sẽ được trình bày ở Mục 4.
Như đã tìm hiểu ở Chương 3, khái niệm chia sẻ [Sharing] và trừ dần [Subtractive] được sử dụng để minh họa phép chia trên. Một cách tự nhiên, ta kết hợp mô hình đó với mô hình đồng xu để mô tả phép chia trên.
Xét phép chia [ 16] [ 4]− −. Trước tiên, ta biểu diễn − 16 bởi tập hợp có 16
đồng xu đỏ. Sau đó, chia 16 đồng xu đó thành nhiều nhóm mà mỗi nhóm có 4 đồng xu đỏ [đại diện cho − 4 ] như Hình 4. Vì có 4 nhóm như vậy nên [ 16] [ 4] 4− − =. Minh họa này sử dụng khái niệm trừ dần của phép chia: có thể
trừ − 4 được 4 lần từ − 16.
Hình 4: Mô hình đồng xu của phép chia [ 16] [ 4] 4− − =. Bây giờ, ta xét phép chia [ 16] 2−. Trước tiên, ta biểu diễn − 16 bởi tập
hợp có 16 đồng xu đỏ. Sau đó, chia 16 đồng xu đỏ đó thành 2 nhóm bằng nhau [đại diện cho 2] như Hình 4. Vì mỗi nhóm có 8 đồng xu đỏ nên [ 16] 2− = − 8.
Minh họa này sử dụng khái niệm chia sẻ của phép chia: một khoản nợ 16 đồng được chia đều cho 2 người thì mỗi người phải chịu khoản nợ 8 đồng.
Hình 4: Mô hình đồng xu của phép chia [ 16] 2− = − 8. Tóm lại, để thực hiện phép chia ab trên , ta biểu diễn số bị chia a thành tập hợp có a đồng xu đen/đỏ tùy theo a là số dương/âm. Khi đó: nếu b là số dương thì thương là số đồng xu trong mỗi nhóm; nếu b là số âm thì thương là số nhóm đồng xu sẽ bị chia ra.
Những đòi hỏi thực tiễn thúc đẩy người ta tiếp tục mở rộng thành tập hợp số mới, ký hiệu là , mà được gọi là tập hợp số hữu tỉ. Câu hỏi được đặt ra rất tự nhiên: mở rộng như thế nào? Tương tự như trong Mục 4, khi mở rộng thành , ta đã bổ sung thêm một loại số mới là số nguyên âm mà được xem như là “hiệu mn − khi mn ”. Bây giờ, ta cũng “mô phỏng” phương thức đó để mở rộng thành , tức là ta cũng bổ sung thêm một loại số mới, gọi là phân số , mà được xem như là thương mn các số nguyên.
Trong lịch sử, người Ai Cập đã sử dụng phân số khoảng 2500 trước Công Nguyên. Ngoại trừ 23 , tất cả các phân số Ai Cập là phân số đơn vị , đó là các
phân số với tử số 1, chẳng hạn 13 hay 14. Người Ai Cập đặt một dấu chấm trên
một chữ số để biểu diễn cho một phân số đơn vị. Ví dụ, biểu diễn cho 30 và biểu diễn cho phân số 301. Đáng chú ý là đến tận cuối thế kỷ 18, hơn 3000 năm
sau khi người Ai Cập cổ đại sử dụng các biểu tượng như vậy, các ký hiệu • 2 và • 4
mới được sử dụng trong sách tiếng Anh cho các phân số 12 và 14. Trong khi
người Ai Cập sử dụng phân số với số tử cố định, người Babylon [khoảng 2000 năm trước Công Nguyên] chỉ sử dụng phân số với mẫu số 60 và 602. Phân số 601
để chỉ “phần nhỏ đầu tiên” và 6012 là “phần nhỏ thứ hai”. Ngày nay, cách sử dụng
phút, 601 của một giờ, và giây, 6012 của một giờ, là được truyền lại từ người
Babylon.
4.2 Phân số
Thuật ngữ “phân số” bắt nguồn từ chữ Latin fractio , một dạng của từ tiếng Latin frangere , có nghĩa là ngắt. Về mặt lịch sử, phân số lần đầu tiên được sử dụng cho những đại lượng ít hơn một đơn vị toàn thể. Đây là cách trẻ em đầu tiên gặp phải phân số: một nửa thanh kẹo, một phần ba miếng bánh pizza,... Phân số ngày nay cũng bao gồm các số lớn hơn hoặc bằng 1. Ngay sau đây, ta sẽ tìm hiểu các khái niệm khác nhau về phân số.
1. Khái niệm phần-toàn thể [Part-to-Whole Concept]. Đây là cách sử dụng phân số để biểu thị cho phần trên toàn thể. Đối với một phân số a b , số b
phía dưới là số phần bằng nhau của toàn thể và số a phía trên là số phần mà ta đang xem
Ta hãy lấy một mảnh bìa hình tròn và chia nó ra thành 8 phần bằng nhau như Hình 4[a]. Nếu một em học sinh đã tô màu được 5 phần trong 8 phần đó thì ta nói rằng em học sinh đã tô màu được năm phần tám mảnh bìa. Ta sẽ viết năm phần tám là 58. Đây không phải là số nguyên mà ta gọi nó là phân số. Số 8 ở
phía dưới dấu gạch ngang gọi là mẫu số , nó là số phần bằng nhau của mảnh bìa mà ta chia ra. Số 5 ở phía trên dấu gạch ngang được gọi là tử số , nó là số phần mà em học sinh đã tô màu.
Hình 4: Các mô hình của khái niệm phần-toàn thể. Mô hình thanh phân số [Fraction Bars model] cũng là mô hình phần- toàn thể trong đó mẫu số biểu diễn số phần bằng nhau của một thanh ngang và tử số là số phần tô đậm. Hình 4[b] là mô hình thanh phân số cho các phân số 12 , 23 và 34. Thanh dưới cùng được chia thành hai phần bằng nhau [mẫu số là 2]
và có một phần được tô đậm [tử số là 1] nên biểu diễn cho 12. Tương tự, thanh ở
giữa được chia thành ba phần và có hai phần được tô đậm nên biểu diễn cho 23.
Cuối cùng, thanh thứ ba được chia thành bốn phần và có ba phần được tô đậm nên biểu diễn cho 34.
Khái niệm phần-toàn thể của một phân số cũng được sử dụng để mô tả một phần của một tập hợp các đối tượng riêng lẻ. Hình 4[c] là một tập hợp gồm các hình vuông, hình tròn và hình tam giác. Trong nhóm 12 vật có 1 hình tam giác nên ta có thể nói 121 các vật là hình tam giác. Tương tự như vậy, 123 các
vật là hình tròn và 128 các vật là hình vuông. Trong , ta không thể nói như vậy
bởi vì 121 , 123 và 128 không phải là các số nguyên. Ngoài ra, ta cũng có thể nói 124
các vật là hình tròn hoặc hình tam giác.
Ở trên là những phân số mà tử số và mẫu số đều là số dương. Trong lý thuyết, người ta còn xét cả những phân số âm mà mô hình thích hợp cho các phân số âm là trục số. Để xác định phân số r s , ta chọn một khoảng đơn vị và chia
khoảng này thành s phần bằng nhau. Sau đó, bắt đầu từ 0, đếm sang phải r phần nếu r là số dương và đếm sang trái r phần nếu r là số âm. Hình 4 là các phần mười giữa − 1 và 1.
Hình 4: Các phần mười giữa − 1 và 1.
Nhờ ý tưởng đó, nếu bổ sung các phân số vào thì ta có thể thực hiện tùy ý các phép chia [với số chia khác 0]. Vì vậy, ta định nghĩa:
Bây giờ, lấy a . Theo [ ]4 thì aa = = 1 a 1 , tức là mỗi số nguyên cũng
là một số hữu tỉ [là phân số với mẫu số bằng 1] hay a . Nói cách khác,
hay là một mở rộng của như Hình 4.
Hình 4: Giản đồ Venn thể hiện .
4.2 Quan hệ thứ tự trên tập số hữu tỉ
Chẳng hạn, 1224 = vì 1 4 2 2 = . Tương tự, 13 == 26124 vì 1 6 2 3 và 2 12 4 6. = =
Thêm nữa, định nghĩa trên cho thấy:
0 0 1 0 0. 1
a a b a b
\= = = =
Nói cách khác, một phân số bằng 0 khi và chỉ khi tử số của nó là 0. Ngoài ra, kết hợp với quy tắc về dấu của tích các số nguyên, ta cũng có:
- − bbaa =− : chúng được ký hiệu chung là − ab và gọi là phân số đối của ab.
- −− aabb =.
Từ đó, ta rút ra được quy tắc về dấu của các phân số như sau:
Số hữu tỉ. Ta gọi tập hợp = ab : , a b và b 0 là tập hợp số hữu tỉ. Mỗi
phân số a b được gọi là một số hữu tỉ , a gọi là tử số và b gọi là mẫu số. Nếu a và b chỉ cùng chia hết cho 1 thì a b được gọi là phân số tối giản.
Phân số bằng nhau. Với hai phân số ab và cd , ta định nghĩa:
ac a d b c. bd
\= = [ ]4.
Quy tắc dấu của phân số. Với các số nguyên dương a và b , ta có:
a a a và a a. b b b b b
−−= = − = −−
[ ]4.
Thật ra phân số và số hữu tỉ không đồng nhất với nhau. Về mặt toán học,
[ ]4 xác định một quan hệ tương đương 6 = trên tập tất cả các phân số. Quan hệ
tương đương = phân hoạch tập tất cả các phân số thành những tập con mà mỗi tập con đó là một số hữu tỉ và ta chọn một đại diện để ký hiệu cho số hữu tỉ đấy. Chẳng hạn, tập hợp các phân số:
1 2 3 4, , , , , , 2 4 6 8 2
k | k
k
+
là một số hữu tỉ mà ta chọn đại diện là phân số 12 , đồng thời cũng gọi phân số đại
diện này là số hữu tỉ 12. Để gần gũi với bậc tiểu học, trong giáo trình này, ta sẽ
thường xuyên sử dụng thuật ngữ “phân số” hơn là “số hữu tỉ”.
Theo trên, một số hữu tỉ có nhiều biểu diễn khác nhau tùy thuộc vào cách
chọn các đại diện. Chẳng hạn, số hữu tỉ 12 , , , , 246348 , 2 kk , có thể chọn đại diện
là 12 nhưng cũng có thể chọn đại diện là 12864. Tuy nhiên, đại diện 12864 sẽ rất cồng
kềnh trong ghi chép và tính toán so với đại diện 12. Ta có nhu cầu cần phải đơn
giản hóa đại diện. Trong ngôn ngữ toán tiểu học, quá trình đó gọi là rút gọn phân số.
Nếu xuất phát từ kakb thì tính chất ở trên chính là quá trình rút gọn các
phân số bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho k 0. Chẳng hạn:
4 4 2 2. 6 6 2 3
\==
Hãy xem minh họa ở Hình 4. Ban đầu, ta có một thanh phân số gồm 6 phần bằng nhau với 4 phần tô đậm biểu diễn cho 64. Tiếp theo, gộp 6 phần đó thành 3
nhóm bằng nhau [mỗi nhóm 2 phần] như thể hiện bởi các đường nét đứt. Kết quả tạo ra một thanh phân số có 3 phần bằng nhau với 2 phần được tô đậm, biểu diễn cho 23.
Hình 4: Rút gọn phân số 46 thành 23.
6 Xem Chương 2.
Quy tắc rút gọn phân số. Khi nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số khác 0, ta nhận được một phân số mới bằng phân số đã cho. Nói cách khác, với mọi phân số a b và mọi k 0 , ta luôn có: a k a. b k b
\=
phân số, ta dễ dàng thay thế hai phân số ban đầu bởi những phân số mới có cùng mẫu số chung.
Ví dụ 4. Xét cặp phân số 127 và − 154. Để thay thế chúng bởi các phân số
có mẫu số chung nhỏ nhất, ta tìm BCNN của 12 và 15. Vì UCLN của 12 và 15 là 3 nên BCNN của 12 và 15 là 12 15 3 60 =. Do đó, 127 ==12 57 5 3560 và
− = − = − 154 15 44 4 1660. Bây giờ, ta trở lại Hình 4 về sự phân bố các phân số trên trục số. Ta có thể thấy ngay là đối với các phân số có cùng mẫu số dương thì sự hơn kém giữa chúng, suy cho cùng, cũng chỉ là sự hơn kém giữa các số nguyên mà cụ thể là tử số của chúng. Nói cách khác, nếu c 0 thì
a b,
a b.
ab cc ab cc
[ ]4.Chẳng hạn, − 553 − 1. Vậy so sánh hai phân số có cùng mẫu số âm thì sao? Từ quy
tắc dấu của phân số, ta quy về so sánh hai phân số có cùng mẫu số dương. Giả
sử ta muốn so sánh hai phân số − ac và − bc với c 0. Nhờ công thức [ ]4 :a a và b b , c c c c
\==−− −−
ta sẽ so sánh − ca và − cb có cùng mẫu số dương c , tức là so sánh − a với − b.
Những lập luận ở trên cho thấy ta chỉ còn phải so sánh hai phân số có mẫu số khác nhau mà thôi. Một suy nghĩ rất tự nhiên: ta quy về so sánh hai phân số có cùng mẫu số bằng cách thay thế cặp phân số cần so sánh bởi cặp phân số có cùng mẫu số chung.
Ví dụ 4. Để so sánh 35 và 58 , ta thay thế chúng bởi cặp phân số: 3 3 8 24 và 5 5 5 25. 5 5 8 40 8 8 5 40
\= = = =
Từ [ ]4 suy ra 3558 . Nhờ [ ]4 , thay vì so sánh − 25 và − 37 , ta sẽ so sánh − 52 và − 73.Thay thế chúng bởi: 2 [ 2] 7 14 3 [ 3] 5 15. 5 5 7 35 7 7 5 35
− − −= = và − − −= =
Từ [ ]4 suy ra −− 257 3. Tổng quát, để so sánh hai phân số ab và cd có các mẫu số dương, ta thay
thế chúng bởi các phân số ab dd và bdbc có cùng mẫu số dương bd rồi so sánh các
tử số ad và bc . Kết hợp với [ ]4 , ta có:So sánh phân số. Cho các phân số ab và cd với bd , +. Khi đó:
,
.
ac d b c bd aca d b c bd
a
Ví dụ 4. 37 104 vì 3 10 4 7 ; − 753 − 2 vì [ 3] 5 7 [ 2]− −. 1132 − vì 13 là số
dương còn − 21 là số âm.
Trong lịch sử hình thành khái niệm phân số, thuật ngữ phân số có nghĩa là phần trên toàn thể nên biểu diễn cho các số bé hơn 1. Chính vì vậy, những phân số với tử số lớn hơn hoặc bằng mẫu số, chẳng hạn 44 hay 54 , không được phổ
biến cho tới tận thế kỷ XVI và chúng được gọi là phân số không thực sự [Improper Fraction]. Vì lẽ đó, người ta sẽ biểu diễn chúng thành tổ hợp của một số tự nhiên cùng với một phân số dương bé hơn 1 mà được gọi là hỗn số [Mixed Number]. Chẳng hạn, 115 [đọc là “một và một phần năm”] là phân số 115 ==1 5 1+ 5 65.
Lưu ý: − = − = − = − 2234 [ ] 34 2 4 3+ 4 114.
4.2 Phép toán trên số hữu tỉ
Phép cộng
Phép cộng các phân số cũng giống như phép cộng các số tự nhiên. Trong Chương 3, ta đã biết rằng phép cộng các số tự nhiên được minh họa bằng cách gộp chung hai nhóm đối tượng. Tương tự, phép cộng các phân số có thể được minh họa bằng cách gộp chung hai đại lượng.
Chẳng hạn, ta muốn tìm tổng 244 + 3. Trong trường hợp này, hai số hạng có
mẫu số giống nhau. Ta sử dụng thanh phân số biểu diễn cho 24 và 34 như Hình
- Các phần tô đậm của mỗi thanh phân số được đặt tiếp nối nhau. Tổng số phần tô đậm chiếm trọn 1 thanh phân số và 14 thanh phân số , tức là hỗn số 114.
Vì vậy, 214 + = = 354144.
Hình 4: Mô hình thanh phân số của tổng 24 += 3544. Có thể sử dụng trục số để cộng các phân số bằng cách đặt các mũi tên biểu diễn các phân số tiếp nối nhau. Chẳng hạn, phép cộng 477 + 6 có thể được
minh họa như Hình 4. Trước tiên, ta chia các khoảng đơn vị thành 7 phần bằng nhau. Phân số 47 có tử số dương nên ta bắt đầu từ 0 và đếm sang phải 4
phần. Tiếp theo, thêm vào phân số 67 có tử số cũng dương nên lại tiếp tục đếm
sang phải 6 phần. Tổng cộng, ta được 10 phần, chiếm trọn khoảng đơn vị thứ nhất và 37 khoảng đơn vị thứ hai, tức là hỗn số 137. Do đó, 74 + = = 67 1. 34107
Phép trừ
Phép trừ các phân số cũng giống như phép trừ các số tự nhiên. Các khái niệm lấy bớt đi , khái niệm so sánh và khái niệm số hạng khuyết cũng được áp dụng cho phép trừ các phân số. Trong Hình 4[a], khái niệm so sánh cho thấy sự khác biệt giữa 34 và 14 là 24 ; khái niệm số hạng khuyết cho thấy phải thêm 24
vào 14 để được 34. Hình 4[b] minh họa phép trừ trên trục số cho thấy rằng 67
lấy bớt đi 47 thì bằng 72 , tức là 27 phải được thêm vào 47 để có 67. Các mô hình này
nói rằng: 34 − = = 142412 và 67 −= 4277.
Hình 4: Mô hình các khái niệm của phép trừ các phân số. Để trừ các phân số có mẫu số khác nhau, ta cũng thay các phân số trong phép trừ bởi các phân số có cùng mẫu số. Sau đó, trừ các tử số cho nhau và giữ lại mẫu số chung. Chẳng hạn, để tính 343 − 2 , ta thay thế 34 và 23 bởi 129 và 128 có
cùng mẫu số 12. Khi đó, 34 − = − = 213 .
Tóm lại, để trừ các phân số, trước tiên, ta biểu diễn chúng bởi các phân số có mẫu số chung là tích của hai mẫu số [chưa chắc là mẫu số chung nhỏ nhất]. Khi hai phân số có mẫu số chung, hiệu của chúng có được bằng cách trừ các tử số và giữ lại mẫu số chung đấy. Có thể cần phải rút gọn phân số kết quả nếu tử số và mẫu số của nó cùng chia hết cho một số lớn hơn 1.
Ví du 4.
- 7 1 7 3 1 8 21813. 8 3 8 3 8 3 24 24 24
− = − = − =
- 1 4 1 5 4 2 583. 2 5 2 5 5 2 10 10 10
− = − = − =−
- 2 1 2 4 [ 1] 3 838311 3 4 3 4 4 3 12 12 12 12 12
− =− − − = − = + =−
.
Tương tự như phép cộng, hiệu của hai hỗn số có được bằng cách lấy hiệu của phần nguyên và hiệu của phần phân số. Đôi khi việc nhóm lại [mượn] là cần thiết trước khi thực hiện phép trừ. Nếu các mẫu số của các phân số trong các hỗn số khác nhau, các phân số phải được quy về cùng một mẫu số chung. Trong một
Phép trừ các phân số. Với hai phân số ba và cd , ta có: a c a d b c a d b c. b d b d b d b d
− = − = −
số trường hợp, ta cần đồng thời nhóm lại lẫn thay đổi mẫu số trước khi trừ các hỗn số.
Ví dụ 4. Để tính hiệu các hỗn số, ta cũng đặt phép tính rồi thực hiện phép trừ cho thuận tiện. Chẳng hạn:
Do đó, 415 −= 125 254 và 516 −= 2354 212. Dĩ nhiên, ta cũng có thể chuyển các hỗn số
thành phân số không thực sự, sau khi thực hiện phép trừ các phân số, ta chuyển phân số kết quả ngược lại thành hỗn số [nếu có thể]. 1525652545 16 34 122 129 1412 129 125
4 1 3 1 2 , 5 2 5 2 4 2 2.
− = − = − = − = − =
Phép nhân
Như đã biết ở Chương 3, trong tích mn , có thể xem m chỉ “số lần” của n. Chẳng hạn, 23 nghĩa là 2 lần của 3. Phép nhân các phân số có thể được hiểu theo cách thức tương tự như vậy. Trong tích 13 6 , thừa số thứ nhất cho ta biết
“số lần” của thừa số thứ hai, tức là 13 của 6. Thế thì, ta chia tập hợp 6 vật thành 3
phần bằng nhau [mỗi phần có 2 vật]. Vì 13 có nghĩa là 1 phần của 3 phần nên 13 = 62.
Có sự khác biệt giữa kết quả khi nhân với một số tự nhiên và khi nhân với một phân số. Khi nhân với một số tự nhiên lớn hơn 1, tích lớn hơn số thứ hai được nhân lên. Tuy nhiên, khi nhân với một phân số nhỏ hơn 1, tích nhỏ hơn số thứ hai được nhân lên.
1. Tích của số tự nhiên với phân số. Trong trường hợp này, phép nhân cũng có nghĩa là cộng lặp lại như đã làm với phép nhân các số tự nhiên trong Chương 3. Số tự nhiên cho biết số lần phân số được thêm vào chính nó. Hình 4 minh họa tích 3 14. Ta xếp ba thanh phân số sao cho các phần tô đậm tiếp
nối nhau. Tổng số phần tô đậm chiếm ba phần của một thanh phân số bốn phần cho thấy rằng tích này bằng 34.
Hình 4: Mô hình của tích 3.= 1443 Bây giờ, tích 14 3 có nghĩa là 14 của 3. Ta xếp ba thanh chồng lên nhau và