Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối
|
\[\left| f(x) \right|=\left\{ \begin{matrix} f(x) \\ -f(x) \\ \end{matrix}\begin{matrix} khi \\ khi \\ \end{matrix} \right.\begin{matrix} f(x)\ge 0 \\ f(x)<0>
$+)\Delta <0:af(x)>0;\forall x\in R$ $+)\Delta =0:af(x)>0;\forall x\ne -\frac{b}{2a}$ $+)\Delta >0:\left[ \begin{matrix} a.f(x)>0;\forall x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty \right) \\ a.f(x)<0;\forall x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right) \\ \end{matrix} \right.$ Với x1;x2 là nghiệm của f(x)=0 và x1 $\left| {f(x)} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x)}&{khi}&{f(x) > 0}
\end{array}}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{ – f(x)}&{khi}&{f(x) < 0}
\end{array}}
\end{array}} \right.$ Phương pháp 2. Phương pháp lập bảng.Sử dụng kết hợp bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai để khử trị tuyệt đối. Phương pháp 3. Biến đổi tương đương.a)$BPT:\left| {f(x)} \right| > \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow {\left( {f(x)} \right)^2} > {\left( {g(x)} \right)^2}$ b)$\left| {f(x)} \right| > g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {g(x) < 0}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g(x) \ge 0}\\ {{f^2}(x) > {g^2}(x)} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ c)$\left| {f(x)} \right| < g(x) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{g(x) > 0}\\ III. Ví dụ minh họaPhương pháp 1: Khử trị tuyệt đối bằng định nghĩa.Ví dụ 1:Giải bất phương trình sau: $\left| 2-5x \right|\ge x+1$ Giải:
Bất phương trình có dạng: $2-5x\ge x+1\Leftrightarrow 6x\le 1\Leftrightarrow x\le \frac{1}{6}$ . Kết hợp điều kiện: $x\in \left( -\infty ;\frac{1}{6} \right]$ (1)
Bất phương trình có dạng: $5x-2\ge x+1\Leftrightarrow 4x\ge 3\Leftrightarrow x\ge \frac{3}{4}$ Kết hợp điều kiện: $x\in \left[ \frac{3}{4};+\infty \right)$ (2)
Ví dụ 2:Giải bất phương trình sau: ${{x}^{2}}-\left| x-3 \right|-5\ge 0$ Giải• Trường hợp 1: $x-3\ge 0\Leftrightarrow x\ge 3$ Bất phương trình có dạng: ${{x}^{2}}-x-2\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x\le -1 \\ x\ge 2 \\ \end{matrix} \right.$ Kết hợp điều kiện: $x\ge 3$ (1). • Trường hợp 2: $x-3<0\leftrightarrow> Phương pháp 2: Khử trị tuyệt đối bằng bảngVí dụ 1:Giải bất phương trình sau: $\left| x-3 \right|+\left| x-1 \right|\ge x+1$ GiảiTrước tiên ta lưu ý: Bước 1: Lập bảng khử trị tuyệt đối vế trái.
Bước 2: Từ bảng khử trị tuyệt đối ta có các trường hợp sau: • Với $x\in \left( -\infty ;1 \right)$ : Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x<1> • Với $x\ge 3$ : Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge 3 \\ 2x-4\ge x+1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge 3 \\ x\ge 5 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\ge 5$ (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra bất phương trình có nghiệm: $x\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \left[ 5;+\infty \right)$. Ví dụ 2:Giải bất phương trình: $\left| 3x-\left| x-1 \right| \right|\ge x+2$ Giải
Bước 2: Dựa vào bảng trên ta có các trường hợp sau: * Trường hợp 2: Với $\frac{1}{4}\le x<1$> * Trường hợp 3: Với $x\ge 1$ Bất phương trình \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge 1 \\ 2x+1\ge x+2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge 1 \\ x\ge 1 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \right.x\ge 1\] (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra bất phương trình có nghiệm: $x\in \left( -\infty ;-\frac{1}{5} \right]\cup \left[ 1;+\infty \right)$. Phương pháp 3: Sử dụng phép biến đổi tương đươngVí dụ 1:Giải bất phương trình sau: $\left| 2x-1 \right|>\left| x-2 \right|$ GiảiBpt $\Leftrightarrow {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}>{{\left( x-2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} Lưu ý: $\begin{array}{l} \left| {2x – 1} \right| > \left| {x – 2} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {2x – 1} \right)^2} > {\left( {x – 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {2x – 1} \right)^2} – {\left( {x – 2} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x – 3} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 1}\\ {x > 1} \end{array}} \right. \end{array}$ Ví dụ 2:Giải bất phương trình sau: $\left| 2-5x \right|\ge x+1$ GiảiBPT$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1 < 0}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1 \ge 0}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 5x \ge x + 1}\\ {2 - 5x \le - x - 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 1}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge - 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {6x \le - 1}\\ {4x \ge 3} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 1}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge - 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \le x \le - \frac{1}{6}}\\ {x \ge \frac{3}{4}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ \begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \le x \le - \frac{1}{6}}\\ {x \ge \frac{3}{4}} \end{array} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le - \frac{1}{6}}\\ {x \ge \frac{3}{4}} \end{array}} \right. \end{array}$ Tổng quát: $\left| f \right|>g\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} Ví dụ 3:Giải bất phương trình sau: $\left| 3x+1 \right|\le x-2$ Giải$\begin{array}{l} \left| {3x – 1} \right| \le x + 2\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2 \ge 0}\\ {3x – 1 \le x + 2}\\ {3x – 1 \ge – x – 2} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge – 2}\\ {2x \le 3}\\ {4x \ge – 1} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge – 2}\\ {x \le \frac{3}{2}}\\ {x \ge – \frac{1}{4}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow – \frac{1}{4} \le x \le \frac{3}{2} \end{array}$ Tổng quát: $\left| {f(x)} \right| < g(x) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g(x) > 0}\\ {{{\left[ {f(x)} \right]}^2} < {{\left[ {g(x)} \right]}^2}} \end{array}} \right.$ Bài luyện tậpGiải các bất phương trình sau: $a)\left| 4x-1 \right|\le \left| 2x+3 \right|$ $b)\left| 3x+5 \right|\ge 2x-1$ $c)\left| 5-3x \right|\le x+3$ $d){{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|+1\le 0$ $e)\left| x+3 \right|+\left| x-1 \right|\le 2x-1$ $f)\left| x-\left| x-1 \right| \right|+\left| 2x-\left| x-3 \right| \right|\ge x+1$ ————————————— Download tài liệu: PDF-Tại đây Word-Tại đây: ———————————- Xem thêm: ——————————— |
