Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay

Trang trước Trang sau Quảng cáo

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể  làm theo các cách sau:

+ Gọi u  và v  là hai vecto chỉ phương của  hai đường thẳng; chứng minh: u. v = 0

(u ; v)  = 90°

+ Dùng định lí Pytago đảo chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

+ Nếu a // a; b // b và a  b  thì a'  b'

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có  AC = a; BD = 3a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Gọi P là trung điểm của AB

PN; PM  lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ABD.

Suy ra

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Ta có AC  BD  PN  PM hay tam giác PMN vuông tại P

Do đó

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn B

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD  có AB  vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt  BC; DB; AD; AC tại M; N; P; Q . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Tứ giác không phải hình thang

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Ta có

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB  và  QP // CD

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có MN  MQ(do AB  CD)

Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Chọn C

Ví dụ 3: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC có chung cạnh AB  và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC và CA . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình vuông

D. Hình thang

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Vì M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC và CA

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác ABC và ABC đều  nên

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Suy ra AB  (CHC'). Do đó AB  CC'

Ta có

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?

A. A'C'  BD

B. BB'   BD

C. A'B   DC'

D. BC'   A'D

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn B

Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi

A đúng vì:

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB.AC = AC.AD = AD.AB thì AB  CD, AC  BD, AD  BC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1: AB.AC = AC.AD  AC.(AB - AD) = 0  AC.DB = 0  AC  BD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ  AC.AD = AD.AB ta được AD  BC  và AB.AC = AD.AB ta được  AB  CD

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Đúng

B. Sai từ bước 1

C. Sai từ bước 1

D. Sai  bước 3

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Quảng cáo

Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của  AB, CD, AD, BC và AC. Tính góc của hai đường thẳng AB và CD?

A. (AB, CD) = 60°

B. (AB, CD) = 30°

C. (AB, CD) = 45°

D. (AB, CD) = 90°

Hiển thị lời giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

+  Ta chứng minh  MN vuông  góc  với RQ :

Ta có MC = MD = (a3)/2  nên tam giác MCD cân tại M, do đó MN  CD

Lại có RP // CD  MN  RQ

+  Tương tự ta có QP  AD

+  Trong tam giác vuông PDQ ta có :

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn D

Câu 2: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh  AC, CB,  BC và CA. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình vuông

D. Hình thang

Hiển thị lời giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn B

+ xét  tam  giác  ABC có  MN là đường trung bình nên

MN // AB và  MN = (1/2)AB(1)

+ Tương  tự có:  PQ // AB và PQ = 1/2 AB(2)

Từ (1)  và (2) suy  ra:   MNPQ là hình bhình hành.

Gọi  H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác ABC và ABC đều nên

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11
Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Trên các cạnh DC và  BB' lấy các điểm M và N sao cho MD = NB = x (0  x  a). Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. AC'  B'D'

B. AC cắt BD

C. AC và BD đồng phẳng

D. Cả A, B, C đều đúng

b) khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. AC'  MN

B. AC và MN cắt nhau

C. AC và MN đồng phẳng

D. Cả A, B, C đều đúng

Hiển thị lời giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11
Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M và N  lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Hiển thị lời giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn A

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD

Ta có:

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Mà:

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Từ (1), (2)   MENF là hình chữ nhật.

Từ đó ta có:

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn D

Câu 5: Cho tứ diện ABCD có AB = a ; BD = 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Hiển thị lời giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn B

Kẻ NP // AC, nối MP

Do NP là đường trung bình tam giác ABC

PN = (1/2).AC = a/2

Do MP là đường trung bình tam giác ABD

PM = (1/2).BD = 3a/2

Lại có (AC, BD) = (PN, PM) = MPN = 90°

Tam giác MNP vuông tại P.

Vậy

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của AC; BC; BD; AD.  Góc (IE; JF) bằng

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°

Hiển thị lời giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

Chọn D

Tam giác ABC có IJ  là đường trung bình nên IJ // AB và IJ = 1/2 AB  (1)

Tam giác ABD có EF là đường trung bình nên EF // AB và EF = 1/2 AB  (2)

Từ (1) và (2) suy ra : Tứ giác IJEF là hình bình hành.

Mặt khác

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay - Toán lớp 11

mà AB = CD nên IJ = JE

Do đó IJEF  là hình thoi

Suy ra (IE ; JF) = 90°

Giới thiệu kênh Youtube Tôi

Trang trước Trang sau