Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Nhận xét
- Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và quay đều là những phép dời hình.
- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình.
II. TÍNH CHẤT
Phép dời hình
a] Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
b] Biến một đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó ;
c] Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho, biến một góc thành góc bằng góc đã cho ;
d] Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
III. HAI HÌNH BẰNG NHAU
Định nghĩa : Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Vấn đề 1
Xác định ảnh của một hình qua một phép dời hình
1. Phương pháp giải
Dùng định nghĩa và tính chất của phép dời hình.
2. Ví dụ
Ví dụ. Trong mặt phẳng Oxỵ cho đường thẳng d có phương trình 3x – ỵ – 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm 1[1; 2] và phép tinh tiến theo vectơ = [-2 ; 1].
Giải
Gọi phép dời hình cần tìm là F. Gọi là ảnh của d qua phép đối xứng tâm 1[1; 2], d’ là ảnh của qua phép tịnh tiến theo vectơ = [-2 ; 1]. Khi đó d’ = F[d]. Vì song song hoặc trùng với d, d’ song song hoặc trùng với dị nên d’ song song hoặc trùng với d. Từ đó phương trình của d’ có dạng : 3x – ỵ + C = 0. Bây giờ ta lấy điểm M[ 1 ; 0] thuộc d. Phép đối xứng tâm I[1 ; 2] biến M thành Mị [1 ; 4]. Phép tịnh tiến theo vectơ = [-2 ; 1] biến thành M’ = [1 – 2 ; 4 + 1] = [-1 ; 5]. Khi đó M’ = F[M]. Do đó M’ thuộc d’ Thay toạ độ của M’ vào phương trình của d’ ta được 3. [-1] – 1.5 + c = 0. Từ đó suy ra c = 8. Vậy phương trình của d’ là 3x – y + 8 = 0.
Vấn đề 2
Các bài toán vé mối liên quan giữa một số phép dời hình quen biết
1. Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa của các phép dời hình có liên quan.
2. Ví dụ
Ví dụ. Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ ≠ 0 là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai trục song song với nhau.
Giải
Lấy đường thẳng d nhận làm vectơ pháp tuyến. Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ 1/2 .
Vấn đề 3
Chứng minh hai hình bằng nhau
1. Phương pháp giải
Chứng minh hai hình đó là ảnh của nhau qua một phép dời hình.
2. Ví dụ
Ví dụ. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm đối xứng của nó ; E, F, G, H, I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, AH, OG.
Chứng minh rằng hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau.
Giải
Ta có phép tịnh tiến theo biến A, I, O, E lần lượt thành O, J, C, F. Phép đối xứng qua đường trung trực của OG biến o, J, X, C, F lần lượt thành G, J, F, C. Từ đó suy ra phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình trên sẽ biến hình thang AI OE thành hình thang GJFC. Do đó hai hình thang ấy bằng nhau.
C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1.19. Trong mặt phẳng Oxy, cho [2;0] và điểm M[ 1 ; 1].
a] Tìm toạ độ của điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ .
b] Tìm toạ độ của điểm M” là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ và phép đối xứng qua trục Oy.
⇒ Xem đáp án tại đây.
1.20. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ = [3 ; 1] và đường thẳng d có phương trình 2x – y = 0. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm o góc 90 và phép tịnh tiến theo vectơ .
⇒ Xem đáp án tại đây.
1.21. Chứng minh rằng mỗi phép quay đều có thể xem là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục.
⇒ Xem đáp án tại đây.
1.22. Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI
a] Xác định một phép dời hình biến A thành B và I thành E.
b] Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy.
⇒ Xem đáp án tại đây.
Related
A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.
1. Định nghĩa.
-
- Phép biến hình là phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
- Vậy nếu là phép dời khi và chỉ khi.
- - Nhận xét:
- + Các phép biến hình : Tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là các phép dời hình.
- + Thực hiện liên tiếp các phép dời hình thì cũng được một phép dời hình.
2. Tính chất của phép dời hình.
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó.
- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó , biến một góc thành góc bằng góc đã cho.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Định nghĩa hai hình bằng nhau.
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
B. BÀI TẬP.
Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP DỜI HÌNH.
Phương pháp:
Dùng định nghĩa, biểu thức tọa độ và các tính chất của các phép dời hình cụ thể [tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay ] có trong bài toán.
Ví dụ 1. Cho đường thẳng . Viết phương trình của đường thẳng là ảnh của qua phép dời hình có được bằng cách thược hiện liên tiếp phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến theo vec tơ .
| A.. | B.. |
| C.. | D.. |
Lời giải:
Gọi
Gọi
Do song song hoặc trùng với do đó phương trình của có dạng . Lấy ta có
Lại có nên .
Mà . Vậy .
Ví dụ 2. Cho hình vuông có tâm . Trên tia lấy điểm sao cho .
a] Xác định một phép dời hình biến thành và biến thành .
b] Dựng ảnh của hình vuông qua phép dời hình này.
Lời giải:
a] Gọi là phép đối xứng qua đường trung trực của , là phép đối xứng qua đường trung trực của của . Khi đó biến thành và biến thành . Từ đó phép dời hình biến thành .
do đó .
Mặt khác phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục cắt nhau tại là phép quay tâm góc quay
[ do ].
Vậy phép dời hình này chính là .
b] biến các điểm thành các điểm , biến các điểm thành các điểm . Do đó biến các điểm thành các điểm . Vậy ảnh của hình vuông là hình vuông đối xứng với hình vuông qua .
Bài toán 02: CHỨNG MINH HAI HÌNH BẰNG NHAU.
Phương pháp:
Để chứng minh hai hình bằng nhau ta cần chỉ ra một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Ví dụ 1. Cho hai tam giác và có các đương cao và sao cho các góc đều là góc tù. Chứng minh hai tam giác và bằng nhau.
Lời giải:
Vì các góc và là các góc tù nên các góc là các góc nhọn.
Suy ra ở giữa và , ở giữa và . Vì hai tam giác vuông
và bằng nhau nên có phép dời hình biến lần lượt thành các điểm . Khi đó biến thành . Vậy phép dời hình biến tam giác thành tam giác nên hai tam giác này bằngnhau.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hai tam giác bằng nhau nếu có các đường tròn nội tiếp bằng nhau, đồng thời khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của hai tam giác đó cũng bằng nhau.
Lời giải:
|
|
|
Giả sử lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và tâm đường tròn bàng tiếp góc ; tam giác có đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp góc là và .
Vì nên tồn tại phép dời hình : khi đó . Mặt khác biến cặp tiếp tuyến chung ngoài và của và thành cặp tiếp tuyến chung ngoài và của và [ hoặc và ] còn tiếp tuyến phải biến thành tiếp tuyến suy ra hoặc , hay hai tam giác và bằng nhau.